ベクトルの平行条件

【答え】
　\(x = 1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-3\hspace{2pt}\)
　

【解答のポイント】
　\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つのベクトル\(\hspace{2pt}\vec{a} \hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)が平行であるとき、以下の式を満たす実数\(\hspace{1pt}k\hspace{2pt}\)が存在することを利用して\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の値を求めます。 $${\vec{a} = k \hspace{1pt}\vec{b}}$$ 　

【解答】
　問題 : 『\(\hspace{2pt}\vec{a} = (\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}3\hspace{1pt}) \hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}\vec{b} = (\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}x+2\hspace{1pt}) \hspace{2pt}\)が平行であるときの\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の値を求めよ.』
　

\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つのベクトル\(\hspace{2pt}\vec{a} \hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)が平行であるとき $${\vec{a} = k \hspace{1pt}\vec{b}}$$ を満たす実数\(\hspace{1pt}k\hspace{2pt}\)が存在すればよいので $$ \begin{aligned} (\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}3\hspace{1pt}) &= k\hspace{1pt}(\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}x+2\hspace{1pt}) \\[0.3em] &=(\hspace{1pt}k\hspace{1pt},\hspace{1pt}k(x+2)\hspace{1pt}) \\[0.3em] \end{aligned} $$ よって \[ \begin{cases} x=k\\[0.5em] 3 = k(x+2) \end{cases} \] 上式を\(\hspace{1pt}k\hspace{1pt}\)について解くと $$ \begin{aligned} k^2 +2k -3 &=0 \\[0.3em] (k-1)(k+3) &=0 \\[0.3em] \end{aligned} $$ よって、\(\vec{a} = k \hspace{1pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)を満たす\(\hspace{1pt}k\hspace{2pt}\)は $${k = 1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-3}$$ となります。

したがって、\(x=k\hspace{2pt}\)から\(\hspace{2pt}\vec{a} \hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)が平行であるとき $${x = 1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-3}$$ となります。
　

【別解】
　問題 : 『\(\hspace{2pt}\vec{a} = (\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}3\hspace{1pt}) \hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}\vec{b} = (\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}x+2\hspace{1pt}) \hspace{2pt}\)が平行であるときの\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)の値を求めよ.』
　

　\(\vec{a} = (a_1\hspace{1pt},\hspace{1pt}a_2)\hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{b} = (b_1\hspace{1pt},\hspace{1pt}b_2)\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(\vec{a} \neq \vec{0} \hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{b} \neq \vec{0} )\hspace{2pt}\)であるとき、内積の定義から導かれるベクトルの平行条件は $$a_1 \hspace{1pt} b_2 - a_2 \hspace{1pt} b_1 = 0$$ となります。

ベクトルの平行条件から $$ \begin{aligned} x \times (x+2) - 3 \times 1 &= 0 \\[0.3em] x^2 +2\hspace{1pt}x -3 &= 0 \\[0.3em] (x-1)(x+3) &= 0 \\[0.3em] \end{aligned} $$ したがって、\(\vec{a} \hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)が平行であるとき $${x = 1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-3}$$ となります。
　

【関連するページ】
・内積の定義(ベクトルの平行条件)