直線の交点の位置ベクトル

【答え】
　\(\displaystyle\overrightarrow{OP} =\frac{4}{9}\vec{a}+ \frac{1}{3}\vec{b}\)
　　

【解答のポイント】
　\(2\hspace{2pt}\)直線の交点のベクトル\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OP}\hspace{2pt}\)を\(\hspace{1pt}2\hspace{2pt}\)通りの方法で表し、係数を比較する方法で解きます。

　点\(P\hspace{2pt}\)が線分\(AD\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}AP : PD = s : 1-s\hspace{2pt}\)、線分\(BC\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}BP : PC = t : 1-t\hspace{2pt}\)と内分すると考えて、\(\overrightarrow{OP}\hspace{2pt}\)を表す式を\(\hspace{1pt}2\hspace{2pt}\)つ作ります。

　\(\overrightarrow{OP}\hspace{2pt}\)を表す式は以下のベクトルの内分点の公式を用います。

　点\(\hspace{1pt}A\hspace{2pt}\)\((\vec{a})\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}B\hspace{2pt}\)\((\vec{b})\hspace{2pt}\)を結ぶ線分\(AB\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}m : n\hspace{2pt}\)に内分する点\(\hspace{1pt}P\hspace{2pt}\)の位置ベクトル\(\hspace{1pt}\vec{p}\hspace{2pt}\)は $${\vec{p} = \frac{n \hspace{1pt} \vec{a}+ m \hspace{1pt}\vec{b}}{m+n}}$$ と表される。
　

【解答】
　問題 : 三角形\(OAB\hspace{2pt}\)において、辺\(\hspace{1pt}OA\hspace{2pt}\)を\(\hspace{1pt}2 : 1\hspace{2pt}\)に内分する点を\(\hspace{2pt}C\hspace{2pt}\)、辺\(\hspace{1pt}OB\hspace{2pt}\)を\(\hspace{1pt}3 : 2\hspace{2pt}\)に内分する点を\(\hspace{2pt}D\hspace{2pt}\)とする。また、線分\(AD\hspace{2pt}\)と線分\(BC\hspace{2pt}\)の交点を\(\hspace{1pt}P\hspace{2pt}\)とする。
　\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OA} = \vec{a}\hspace{2pt},\hspace{2pt}\overrightarrow{OB} = \vec{b}\hspace{2pt}\)とするとき、\(\overrightarrow{OP}\hspace{2pt}\)を\(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{1pt},\hspace{2pt} \vec{b}\hspace{2pt}\)により表せ。
　

以下の図のように\(\hspace{2pt}AP : PD = s : 1-s\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}BP : PC = t : 1-t\hspace{2pt}\)とします。

内分点の公式から、点\(P\hspace{2pt}\)が線分\(AD\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}AP : PD = s : 1-s\hspace{2pt}\)に内分することから $$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} &= \frac{(1-s)\hspace{1pt}\overrightarrow{OA} + s \hspace{1pt}\overrightarrow{OD}}{s + (1-s)} \\[0.3em] &= (1-s)\hspace{1pt}\vec{a} + s \times\left(\frac{3}{5} \hspace{1pt}\vec{b}\right) \\[0.3em] &= (1-s)\hspace{1pt}\vec{a} +\frac{3}{5} s\hspace{1pt}\vec{b} \cdots (1) \\[0.3em] \end{aligned} $$
　

また、点\(P\hspace{2pt}\)が線分\(BC\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}BP : PC = t : 1-t\hspace{2pt}\)に内分することから $$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} &= \frac{t\hspace{1pt}\overrightarrow{OC} + (1-t) \hspace{1pt}\overrightarrow{OB}}{t + (1-t)} \\[0.3em] &= t \times \frac{2}{3}\hspace{1pt}\vec{a} + (1-t)\hspace{1pt} \vec{b} \\[0.3em] &= \frac{2}{3}t\hspace{1pt}\vec{a} +(1-t)\hspace{1pt}\vec{b} \cdots (2) \\[0.3em] \end{aligned} $$

(1)と(2)から

ここで、\(\vec{a} \neq \vec{0}\hspace{1pt},\hspace{2pt}\vec{b} \neq \vec{0}\hspace{3pt}\)かつ\(\hspace{3pt}\vec{a}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{b}\hspace{3pt}\)は平行でないことから $$ \begin{aligned} 1-s &= \frac{2}{3}t \\[0.3em] \frac{3}{5} s &= 1-t \\[0.3em] \end{aligned} $$

これを解くと $${s = \frac{5}{9}\hspace{1pt},\hspace{1pt}t = \frac{2}{3}}$$ となります。

したがって、求める\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OP}\hspace{2pt}\)は $${\overrightarrow{OP} =\frac{4}{9}\vec{a}+ \frac{1}{3}\vec{b}}$$ となります。

【関連するページ】
・直線の交点を求める問題