◆第問目！
求めるベクトルを\(\hspace{1pt}\vec{e} = (x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y)\hspace{2pt}\)とおいて\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{2pt}\)の値を求めます。
\(\hspace{1pt}\vec{e} = (x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y)\hspace{2pt}\)は単位ベクトルであるので、その大きさは\(\hspace{1pt}1\hspace{2pt}\)となります。
よって $${x^{2} + y^{2} =1 }$$ が成り立ちます。
また、成分表示された内積から $${\vec{a} \cdot \vec{e} = a_1 b_1 + a_2 b_2 }$$ を求め、\(\vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\vec{e}\hspace{2pt}\)が垂直であることから\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{2pt}\)の条件式を求めます。
【答え】
\(\displaystyle\hspace{1pt}\left( \frac{3\sqrt{10}}{10}\hspace{1pt},\hspace{1pt} \frac{\sqrt{10}}{10}\right)\hspace{2pt},\hspace{2pt}\)\(\displaystyle\hspace{1pt}\left(- \frac{3\sqrt{10}}{10}\hspace{1pt},\hspace{1pt} -\frac{\sqrt{10}}{10}\right)\hspace{2pt}\)
【解答のポイント】
求めるベクトルを\(\hspace{1pt}\vec{e} = (x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y)\hspace{2pt}\)とおいて\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{2pt}\)の値を求めます。
\(\hspace{1pt}\vec{e} = (x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y)\hspace{2pt}\)は単位ベクトルであるので、その大きさは\(\hspace{1pt}1\hspace{2pt}\)となります。
よって $${x^{2} + y^{2} =1 }$$ が成り立ちます。
また、成分表示された内積から
$${\vec{a} \cdot \vec{e} = a_1 b_1 + a_2 b_2 }$$
を求め、\(\vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\vec{e}\hspace{2pt}\)が垂直であることから\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{2pt}\)の条件式を求めます。
【解答】
問題 : 『\(\hspace{1pt}\vec{a} = (1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-3)\hspace{2pt}\)と垂直な単位ベクトルを求めよ.』
求める単位ベクトルを\(\hspace{1pt}\vec{e} = (x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y)\hspace{2pt}\)とします。
\(\hspace{1pt}\vec{e}\hspace{2pt}\)の大きさが\(\hspace{1pt}1\hspace{2pt}\)であることから $$ \begin{aligned} \sqrt{x^{\hspace{1pt}2} + y^{\hspace{1pt}2}} &= 1 \\[0.5em] x^{\hspace{1pt}2} + y^{\hspace{1pt}2} &=1 \cdots (1)\\[0.5em] \end{aligned} $$
成分表示されたベクトルの内積から $$ \begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{e} &= 1 \times x -3 \times y \\[0.5em] &= x -3y \\[0.5em] \end{aligned} $$
\(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\vec{e}\hspace{2pt}\)が垂直であることから $$ \begin{aligned} x -3y &= 0 \\[0.5em] x &= 3y \cdots (2)\\[0.5em] \end{aligned} $$
(1)と(2)から $$ \begin{aligned} (3y)^{2} + y^{2} &=1 \\[0.5em] 10y^2 &= 1 \\[0.5em] y^2 &= \frac{1}{10}\\[0.5em] y &= \pm \frac{\sqrt{10}}{10}\\[0.5em] \end{aligned} $$ よって\(\displaystyle\hspace{3pt}y = \pm \frac{\sqrt{10}}{10}\hspace{2pt}\)となります。
これを満たす\(\hspace{1pt}x\hspace{2pt}\)は
\(\displaystyle\hspace{1pt}y= \frac{\sqrt{10}}{10}\hspace{2pt}\)のとき\(\displaystyle\hspace{1pt}x = \frac{3\sqrt{10}}{10}\hspace{1pt},\)
\(\displaystyle\hspace{2pt}y= -\frac{\sqrt{10}}{10}\hspace{2pt}\)のとき\(\displaystyle\hspace{1pt}x = -\frac{3\sqrt{10}}{10}\hspace{2pt}\)
となります。
したがって、求めるベクトルは\(\displaystyle\hspace{1pt}\left( \frac{3\sqrt{10}}{10}\hspace{1pt},\hspace{1pt} \frac{\sqrt{10}}{10}\right)\hspace{2pt},\hspace{2pt}\)\(\displaystyle\hspace{1pt}\left(- \frac{3\sqrt{10}}{10}\hspace{1pt},\hspace{1pt} -\frac{\sqrt{10}}{10}\right)\hspace{2pt}\)と求められます。
【関連するページ】
・内積の定義