◆第問目！
\(\hspace{2pt}|\vec{a} + t\vec{b}| \geqq 0\hspace{2pt}\)から
\(|\vec{a} + t\vec{b}|^2\hspace{2pt}\)が最小であるとき\(\hspace{3pt}|\vec{a} + t\vec{b}|\hspace{2pt}\)も最小
であることを利用して最小値を求めます。
同じベクトル\(\hspace{2pt}\vec{p}\hspace{2pt}\)同士の内積は $$ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{p} & = |\vec{p}| \hspace{1pt}|\vec{p}| \cos 180^\circ\\[0.5em] &= |\vec{p}|^2\\ \end{aligned} $$ となります。上式から\(\hspace{3pt}|\vec{a} + t \vec{b}|^2\hspace{2pt}\)は
となります。
本問はベクトルが成分表示で与えられているため、成分表示の内積を計算します。
空間ベクトル\(\hspace{2pt}\vec{a} = (a_1\hspace{1pt},\hspace{1pt}a_2\hspace{1pt},\hspace{1pt}a_3)\hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{b} = (b_1\hspace{1pt},\hspace{1pt}b_2\hspace{1pt},\hspace{1pt}b_3)\hspace{2pt}\)の内積は $${\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \hspace{1pt} b_1 + a_2 \hspace{1pt} b_2 + a_3 \hspace{1pt} b_3}$$ と求められます。
【答え】
\(\displaystyle t = \frac{1}{3} \hspace{2pt}\)のとき最小値\(\displaystyle\hspace{1pt}\sqrt{5}\)
【解答のポイント】
\(\hspace{2pt}|\vec{a} + t\vec{b}| \geqq 0\hspace{2pt}\)から
\(|\vec{a} + t\vec{b}|^2\hspace{2pt}\)が最小であるとき\(\hspace{3pt}|\vec{a} + t\vec{b}|\hspace{2pt}\)も最小
であることを利用します。
\(|\vec{a} + t\vec{b}|^2\hspace{2pt}\)の値は同じベクトル同士の内積 $$ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{p} & = |\vec{p}| \hspace{1pt}|\vec{p}| \cos 180^\circ\\[0.5em] &= |\vec{p}|^2\\ \end{aligned} $$ を利用して求めます。
上式から\(\hspace{3pt}|\vec{a} + t \vec{b}|^2\hspace{2pt}\)は
と求められます。
【解答】
問題 : 『\(\vec{a} = (1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2)\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}\vec{b} = (-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}-2)\hspace{2pt}\)とする. \(|a + tb|\hspace{2pt}\)を最小にする\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)とそのときの最小値を求めよ.』
\(\hspace{1pt}\vec{a} + t\vec{b}\hspace{2pt}\)を成分で表すと $$ \begin{aligned} \vec{a} + t\vec{b} &= (1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2) + t (-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}-2) \\[0.5em] &=(1-t \hspace{1pt},\hspace{1pt}1+2t\hspace{1pt},\hspace{1pt}2-2t)\\[0.5em] \end{aligned} $$ となります。
次に、\(|\hspace{1pt}\vec{a} + t\vec{b}|^2\hspace{2pt}\)を計算すると $$ \begin{aligned} |\hspace{1pt}\vec{a} + t\vec{b}|^2 &= (\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (\vec{a} + t\vec{b})\\[0.5em] &= (1-t)^2 + (1+2t)^2+ (2-2t)^2 \\[0.5em] &= 9t^2 -6t +6\\[0.5em] &= 9 \left(t^2 -\frac{2}{3}t \right) +6\\[0.5em] &= 9\left(t -\frac{1}{3} \right)^2 +5\\[0.5em] \end{aligned} $$ よって\(\displaystyle \hspace{3pt}t = \frac{1}{3} \hspace{2pt}\)のとき\(\hspace{2pt}|\hspace{1pt}\vec{a} + t\vec{b}|^2\hspace{2pt}\)は最小値\(\displaystyle\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)を取ります。
したがって、\(|\hspace{1pt}\vec{a} + t\vec{b}| \geqq 0\hspace{2pt}\)であることから、\(\displaystyle t = \frac{1}{3} \hspace{2pt}\)のとき\(\hspace{2pt}|\hspace{1pt}\vec{a} + t\vec{b}|\hspace{2pt}\)は最小値\(\displaystyle\hspace{1pt}\sqrt{5}\hspace{1pt}\)を取ります。
【関連するページ】
・内積の定義