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定数を含む空間ベクトル

◆第問目！

【 難易度 ★★ 】
　\(\hspace{1pt}\vec{a} = (k\hspace{1pt},\hspace{1pt}1-k\hspace{1pt},\hspace{1pt}1+k)\hspace{2pt}\)が\(\hspace{3pt}\vec{b}=(1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2)\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}60^\circ\hspace{2pt}\)の角をなすとき, 定数\(\hspace{1pt}k\hspace{1pt}\)の値を求めよ.

\(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)の内積を以下の\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの方法で求めます。

$$ \begin{aligned} \vec{a}\cdot \vec{b} & = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \cdots (1)\\[0.5em] \hspace{10pt}\vec{a}\cdot \vec{b} &= a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \cdots (2)\hspace{10pt}\\ \end{aligned} $$

\(\hspace{1pt}(1),(2)\hspace{2pt}\)で求められた内積が等しいことを利用し, 定数\(\hspace{1pt}k\hspace{1pt}\)の値を求めます。

【答え】
　\(\displaystyle k =\frac{-8 + 2\sqrt{39}}{23}\)
　

【解答のポイント】
\(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)の内積を以下の\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの方法で求めます。

$$ \begin{aligned} \vec{a}\cdot \vec{b} & = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \cdots (1)\\[0.5em] \hspace{10pt}\vec{a}\cdot \vec{b} &= a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \cdots (2)\hspace{10pt}\\ \end{aligned} $$

\(\hspace{1pt}(1),(2)\hspace{2pt}\)で求められた内積が等しいことを利用し, 定数\(\hspace{1pt}k\hspace{1pt}\)の値を求めます。
　

得られた定数\(\hspace{1pt}k\hspace{1pt}\)の値が条件式を満たすことを必ず確認しましょう。
\(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)のなす角が\(\hspace{1pt}60^\circ\hspace{2pt}\)であることから、その内積\(\hspace{1pt}\vec{a}\cdot \vec{b}\hspace{2pt}\)は正の値となります。
　

【問題の解答】
　問題 : 『\(\hspace{1pt}\vec{a} = (k\hspace{1pt},\hspace{1pt}1-k\hspace{1pt},\hspace{1pt}1+k)\hspace{2pt}\)が\(\hspace{3pt}\vec{b}=(1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2)\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}60^\circ\hspace{2pt}\)の角をなすとき, 定数\(\hspace{1pt}k\hspace{1pt}\)の値を求めよ.』
　

まず、内積\(\hspace{2pt}\vec{a}\cdot \vec{b}\hspace{2pt}\)を求めると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}\vec{a}\cdot \vec{b} &= k \times 1 + (1-k) \times (-1) + (1+k) \times 2 \hspace{10pt}\\[0.5em] &= 4k +1\\[0.5em] \end{aligned} $$

また \(|\vec{a}| \hspace{1pt},\hspace{1pt}|\vec{b}| \hspace{2pt}\)を求めると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt} |\vec{a}| &= \sqrt{k^2 + (1-k)^2 + (1+k)^2} \hspace{10pt} \\[0.5em] &= \sqrt{3k^2 +2}\\[0.8em] |\vec{b}| &= \sqrt{1^2 + (-1)^2 +2^2} \\[0.5em] &= \sqrt{6}\\ \end{aligned} $$

となります。

すなわち、内積の定義式から

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}\vec{a}\cdot \vec{b} &=|\vec{a}| |\vec{b}| \cos 60^\circ \hspace{10pt}\\[0.5em] \hspace{10pt}(\vec{a}\cdot \vec{b})^2 &=|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 60^\circ \hspace{10pt}\\[0.5em] \hspace{10pt}(4k +1)^2 &= (\sqrt{3k^2 +2})^2 (\sqrt{6})^2 \left(\frac{1}{2}\right)^2\hspace{10pt}\\[0.5em] (4k +1)^2 &= \frac{3}{2}(3k^2 +2) \\[0.5em] \end{aligned} $$

上式を整理すると $${23k^2 +16k -4 =0}$$ となります。

二次方程式の解の公式から $$ \begin{aligned} k &= \frac{-8 \pm \sqrt{156}}{ 23}\\[0.5em] &=\frac{-8 \pm 2\sqrt{39}}{23}\\[0.5em] \end{aligned} $$ となります。

ここで\(\displaystyle\hspace{1pt}k = \frac{-8 + 2\sqrt{39}}{23}\hspace{2pt}\)のとき \(\vec{a}\cdot \vec{b}\hspace{2pt}\)の値は $$ \begin{aligned} \vec{a}\cdot \vec{b} &= 4k +1\\[0.5em] &=4 \times \frac{-8 + 2\sqrt{39}}{23} +1\\[0.5em] &= \frac{-9 + 8\sqrt{39}}{23}\\[0.5em] \end{aligned} $$

また\(\displaystyle\hspace{1pt}k = \frac{-8 - 2\sqrt{39}}{23}\hspace{2pt}\)のとき \(\vec{a}\cdot \vec{b}\hspace{2pt}\)の値は $$ \begin{aligned} \vec{a}\cdot \vec{b} &= 4k +1\\[0.5em] &=4 \times \frac{-8 - 2\sqrt{39}}{23} +1\\[0.5em] &= \frac{-9 - 8\sqrt{39}}{23} \\[0.5em] \end{aligned} $$

\(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)のなす角は\(\hspace{1pt}60^\circ\hspace{2pt}\)より、\(\hspace{1pt}\vec{a}\cdot \vec{b} > 0\hspace{2pt}\)であるので\(\displaystyle\hspace{1pt}k = \frac{-8 - 2\sqrt{39}}{23}\hspace{2pt}\)は不適となります。

したがって、求める\(\hspace{1pt}k\hspace{2pt}\)は\(\displaystyle\hspace{2pt}k =\frac{-8 + 2\sqrt{39}}{23}\hspace{2pt}\)となります。
　

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