◆第問目！
\(\hspace{2pt}|\vec{a}+x \hspace{1pt}\vec{b} +y \hspace{1pt}\vec{c}| \geqq 0\hspace{2pt}\)から
\(|\vec{a}+x \hspace{1pt}\vec{b} +y \hspace{1pt}\vec{c}|^2\hspace{2pt}\)が最小であるとき\(\hspace{3pt}|\vec{a}+x \hspace{1pt}\vec{b} +y \hspace{1pt}\vec{c}|\hspace{2pt}\)も最小
であることを利用します。
\(|\vec{a}+x \hspace{1pt}\vec{b} +y \hspace{1pt}\vec{c}|^2\hspace{2pt}\)の値は同じベクトル同士の内積 $$ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{p} & = |\vec{p}| \hspace{1pt}|\vec{p}| \cos 180^\circ\\[0.5em] &= |\vec{p}|^2\\ \end{aligned} $$ を利用して求めます。
上式から\(\hspace{3pt}|\vec{a}+x \hspace{1pt}\vec{b} +y \hspace{1pt}\vec{c}|^2\hspace{2pt}\)は
となります。
\(\hspace{3pt}|\vec{a}+x \hspace{1pt}\vec{b} +y \hspace{1pt}\vec{c}|^2\hspace{2pt}\)の値を求めると\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)の二変数の関数となります。
\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)の二変数の関数の最小値を求めるときは\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)それぞれに対して平方完成をして $${a(x-p)^2 + b(y-q)^2 + k}$$ の式に変形します。
このように変形すると\(\hspace{1pt}x=p\hspace{1pt},\hspace{1pt}y=q\hspace{2pt}\)のとき最小値が\(\hspace{1pt}k\hspace{1pt}\)と求められます。
【答え】
\(\displaystyle x = -\frac{\sqrt{3}}{4}\hspace{1pt},y = -\frac{\sqrt{3}}{4}\hspace{1pt} \hspace{2pt}\)のとき最小値\(\displaystyle\hspace{1pt}\sqrt{\frac{3}{2}}\hspace{1pt}\)
【解答のポイント】
\(\hspace{2pt}|\vec{a}+x \hspace{1pt}\vec{b} +y \hspace{1pt}\vec{c}| \geqq 0\hspace{2pt}\)から
\(|\vec{a}+x \hspace{1pt}\vec{b} +y \hspace{1pt}\vec{c}|^2\hspace{2pt}\)が最小であるとき\(\hspace{3pt}|\vec{a}+x \hspace{1pt}\vec{b} +y \hspace{1pt}\vec{c}|\hspace{2pt}\)も最小
であることを利用します。
\(|\vec{a}+x \hspace{1pt}\vec{b} +y \hspace{1pt}\vec{c}|^2\hspace{2pt}\)の値は同じベクトル同士の内積 $$ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{p} & = |\vec{p}| \hspace{1pt}|\vec{p}| \cos 180^\circ\\[0.5em] &= |\vec{p}|^2\\ \end{aligned} $$ を利用して求めます。
上式から\(\hspace{3pt}|\vec{a}+x \hspace{1pt}\vec{b} +y \hspace{1pt}\vec{c}|^2\hspace{2pt}\)は
となります。
\(\hspace{3pt}|\vec{a}+x \hspace{1pt}\vec{b} +y \hspace{1pt}\vec{c}|^2\hspace{2pt}\)の値を求めると\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)の二変数の関数となります。
\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)の二変数の関数の最小値を求めるときは\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)それぞれに対して平方完成をして $${a(x-p)^2 + b(y-q)^2 + k}$$ の式に変形します。
このように変形すると\(\hspace{1pt}x=p\hspace{1pt},\hspace{1pt}y=q\hspace{2pt}\)のとき最小値が\(\hspace{1pt}k\hspace{1pt}\)と求められます。
【解答】
問題 : 『\(\hspace{1pt}|\vec{a}| = \sqrt{3}\hspace{1pt},\hspace{2pt}|\vec{b}| = 2\hspace{1pt},\hspace{2pt}|\vec{c}| = 2\hspace{1pt},\)\(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)のなす角が\(\hspace{2pt}60^\circ ,\)\(\hspace{2pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}\vec{c}\hspace{2pt}\)のなす角が\(\hspace{2pt}60^\circ ,\)\(\hspace{2pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}\vec{c}\hspace{2pt}\)が垂直であるとする.
このとき, \(|\vec{a}+x \hspace{1pt}\vec{b} +y \hspace{1pt}\vec{c}|\hspace{1pt}\)を最小にする\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y \hspace{2pt}\)と, そのときの最小値を求めよ.』
\(|\vec{a}+x \hspace{1pt}\vec{b} +y \hspace{1pt}\vec{c}|^2\hspace{2pt}\)を求めると
ここで $$ \begin{aligned} \vec{a}\cdot \vec{b} & = \sqrt{3}\times 2 \times \cos 60^\circ \\[0.5em] &= 2\sqrt{3} \times \frac{1}{2} \\[0.5em] & = \sqrt{3}\\[0.5em] \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \vec{a}\cdot \vec{c} & = \sqrt{3}\times 2 \times \cos 60^\circ \\[0.5em] &= 2\sqrt{3} \times \frac{1}{2} \\[0.5em] & = \sqrt{3}\\[0.5em] \end{aligned} $$ \(\hspace{2pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}\vec{c}\hspace{2pt}\)が垂直であることから $${\vec{b}\cdot \vec{c}=0 }$$ となります。
すなわち
したがって、\(|\hspace{1pt}\vec{a} + x\vec{b} + y\vec{c}| \geqq 0\hspace{2pt}\)であることから、\(\displaystyle x = -\frac{\sqrt{3}}{4}\hspace{1pt},y = -\frac{\sqrt{3}}{4}\hspace{1pt} \hspace{2pt}\)のとき\(\hspace{2pt}|\hspace{1pt}\vec{a} + x\vec{b} + y\vec{c}|\hspace{2pt}\)は最小値\(\displaystyle\hspace{1pt}\sqrt{\frac{3}{2}}\hspace{1pt}\)を取ります。
【関連するページ】
・内積の定義