単位円上のベクトルの平方和

【答え】
　\(\displaystyle 105 + \sqrt{3}\)
　

【解答のポイント】
\(\hspace{1pt}|\vec{a} +\vec{b}|\hspace{2pt}\)や\(\hspace{1pt}|\vec{a} +\vec{b}|^2\hspace{1pt}\)などベクトルの和の絶対値を求める問題は、以下のように同じベクトル同士の内積の計算から始めることが定石です。 $$ \begin{aligned} |\vec{a_n} +\vec{b_n}|^2 &= (\vec{a_n} +\vec{b_n}) \cdot (\vec{a_n} +\vec{b_n}) \\[0.5em] &= |\vec{a_n}|^2 + 2 \vec{a_n} \cdot \vec{b_n} + |\vec{b_n}|^2 \\[0.5em] \end{aligned} $$
　

【問題の解答】
　問題 : 『\(\displaystyle \vec{a_n} = \left( \cos \frac{n \pi}{6}\hspace{1pt}, \hspace{1pt}\sin \frac{n \pi}{6} \right)\hspace{2pt},\)\(\displaystyle \hspace{3pt}\vec{b_n} = \left( \cos \frac{n \pi}{3}\hspace{1pt}, \hspace{1pt}\sin \frac{n \pi}{3}\right)\hspace{2pt}\)\(\hspace{2pt}(n =0, 1 , 2 , \cdots)\hspace{2 pt}\)とするとき,\(\displaystyle\hspace{3pt}\sum_{n=0}^{50} |\vec{a_n} +\vec{b_n}|^2\hspace{2pt}\)の値を求めよ.』
　

まず、第\(\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)項における\(\hspace{1pt}|\vec{a_n} +\vec{b_n}|^2\hspace{1pt}\)の値を求めると

ここで \(\hspace{1pt}|\vec{a_n}|=1 \hspace{1pt},\hspace{1pt}|\vec{b_n}| = 1\hspace{2pt}\)であることから

となります。

ここで 内積\(\hspace{1pt}\vec{a_n} \cdot \vec{b_n}\hspace{2pt}\)を求めると

上式は加法定理

から $$ \begin{aligned} \vec{a_n} \cdot \vec{b_n}&= \cos \left(\frac{n \pi}{6} - \frac{n \pi}{3} \right) \\[0.5em] &= \cos \left( - \frac{n \pi}{6} \right) \\[0.5em] &= \cos \frac{n \pi}{6} \\[0.5em] \end{aligned} $$ すなわち $${|\vec{a_n} +\vec{b_n}|^2 = 2 ( \cos \frac{n \pi}{6} + 1) }$$ となります。

よって、和を求めるとシグマ記号の性質から $$ \begin{aligned} & \sum_{n=0}^{50} |\vec{a_n} +\vec{b_n}|^2 \\[0.5em] &= \sum_{n=0}^{50} 2 ( \cos \frac{n \pi}{6} + 1) \\[0.5em] &= 2\sum_{n=0}^{50} \cos \frac{n \pi}{6} + 2\sum_{n=0}^{50} 1\\[0.5em] &= 2\sum_{n=0}^{50} \cos \frac{n \pi}{6} + 102 \\[0.5em] \end{aligned} $$

ここで \(\displaystyle \sum_{n=0}^{50} \cos \frac{n \pi}{6}\hspace{2pt}\)の値を求めます。

三角関数の性質から $${\cos (\pi -\theta) = - \cos \theta}$$ であることから、単位円上で\(\hspace{1pt}y\hspace{2pt}\)軸対象となる\(\hspace{1pt}12\hspace{1pt}\)項ずつ値が打ち消し合うため、\(12 \times 4 = 48\hspace{3pt}\)から\(\hspace{2pt}48\hspace{1pt}\)項目までの和が\(\hspace{1pt}0\hspace{1pt}\)となります。 $${\sum_{n=0}^{47} \cos \frac{n \pi}{6} = 0}$$ よって、残りの項を求めると $$ \begin{aligned} & \cos \frac{48 \pi}{6} + \cos \frac{49 \pi}{6} +\cos \frac{50 \pi}{6} \\[0.5em] &= \cos 0 + \cos \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{3}\\[0.5em] &= 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\\[0.5em] &= \frac{3 + \sqrt{3}}{2}\\[0.5em] \end{aligned} $$ よって $${\sum_{n=0}^{50} \cos \frac{n \pi}{6} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}}$$ すなわち $$ \begin{aligned} & \sum_{n=0}^{50} |\vec{a_n} +\vec{b_n}|^2 \\[0.5em] &= 2\sum_{n=0}^{50} \cos \frac{n \pi}{6} + 102 \\[0.5em] &= 2 \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{2} +102\\[0.5em] &= 105 + \sqrt{3}\\[0.5em] \end{aligned} $$
　

【入試本番に向けたアドバイス】
本問はベクトルの和の二乗の和を計算する問題です。

本問は、ベクトルの他に三角関数の性質・加法定理や数列のシグマ記号も含まれた融合問題となっています。

教科書の例題や演習では融合問題はあまり含まれていませんが、実際の入試問題ではベクトルに三角関数・数列・確率・極限などを融合した問題がたびたび出題されます。

本番で焦らないように、様々なパターンの問題に慣れておきましょう。
　

【関連するページ】
・内積

・三角関数の性質

・加法定理

・シグマ記号の計算