◆第問目！
内積の定義から $${\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \hspace{1pt}|\vec{b}| \cos \theta}$$ と計算します。
内積の定義から、同じベクトル同士の内積が $${\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| \hspace{1pt}|\vec{a}| \cos 180^\circ}$$ であることから $${\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2}$$ となります。
上式から、問題の\(\hspace{1pt}|\vec{a} + \vec{b}|\hspace{2pt}\)を二乗すると
であることから、右辺を展開して\(\hspace{1pt}|\vec{a} + \vec{b}|^2 \hspace{2pt}\)の値を求めます。
問題(2)と同様に、\(\hspace{1pt}|\vec{a} -2 \vec{b}|\hspace{2pt}\)を二乗すると
であることから、右辺を展開して\(\hspace{1pt}|\vec{a} -2 \vec{b}|^2 \hspace{2pt}\)の値を求めます。
【答え】
(1) \(\vec{a} \cdot \vec{b} =3\)
(2) \(|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{19}\)
(3) \(|\vec{a} -2 \vec{b}| = \sqrt{13}\)
【解答のポイント】
内積の定義から\(\hspace{1pt}\vec{a} \cdot \vec{b}\hspace{2pt}\)は
$${\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \hspace{1pt}|\vec{b}| \cos \theta}$$
と計算します。
また、同じベクトル同士の内積が $${\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| \hspace{1pt}|\vec{a}| \cos 180^\circ}$$ であることから $${\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2}$$ となります。
上式から、\(\hspace{1pt}|\vec{a} + \vec{b}|\hspace{2pt}\)を二乗すると
であることから、右辺を展開することで\(\hspace{1pt}|\vec{a} + \vec{b}|^2 \hspace{2pt}\)の値を求めることができます。
【問題(1)の解答】
問題 : 『\(\hspace{1pt}|\vec{a}| = 3\hspace{2pt},\hspace{2pt}|\vec{b}|=2\hspace{2pt}\)であり, \(\vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)のなす角が\(\hspace{1pt}\theta = 60^\circ\hspace{1pt}\)であるとき, \( \vec{a} \cdot \vec{b}\hspace{2pt}\)の値を求めよ.』
内積の定義から
$$
\begin{aligned}
\vec{a} \cdot \vec{b} &= 3 \times 2 \times \cos 60^\circ \\[0.3em]
&=6\times \frac{1}{2} \\[0.3em]
&=3 \\[0.3em]
\end{aligned}
$$
と求められます。
【問題(2)の解答】
問題 : 『\(\hspace{1pt}|\vec{a}| = 3\hspace{2pt},\hspace{2pt}|\vec{b}|=2\hspace{2pt}\)であり, \(\vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)のなす角が\(\hspace{1pt}\theta = 60^\circ\hspace{1pt}\)であるとき, \( |\vec{a} + \vec{b}|\hspace{2pt}\)の値を求めよ.』
内積の定義から $$ \begin{aligned} |\vec{a} + \vec{b}|^2 &= (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \\[0.3em] &= \vec{a} \cdot \vec{a} +2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} \\[0.3em] &= |\vec{a}|^2 +2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 \\[0.3em] &= 3^2 +2 \times 3 +2^2 \\[0.3em] &= 19\\[0.3em] \end{aligned} $$ となります。
\(\hspace{1pt}|\vec{a} + \vec{b}| \geqq 0\hspace{2pt}\)であることから $${|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{19}}$$ と求められます。
【問題(3)の解答】
問題 : 『\(\hspace{1pt}|\vec{a}| = 3\hspace{2pt},\hspace{2pt}|\vec{b}|=2\hspace{2pt}\)であり, \(\vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)のなす角が\(\hspace{1pt}\theta = 60^\circ\hspace{1pt}\)であるとき, \(|\vec{a} -2 \vec{b}|\hspace{2pt}\)の値を求めよ.』
内積の定義から $$ \begin{aligned} |\vec{a} -2 \vec{b}|^2 &= (\vec{a} -2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} -2 \vec{b}) \\[0.3em] &= \vec{a} \cdot \vec{a} -4 \vec{a} \cdot \vec{b} + 4\vec{b} \cdot \vec{b} \\[0.3em] &= |\vec{a}|^2 -4 \vec{a} \cdot \vec{b} +4 |\vec{b}|^2 \\[0.3em] &= 3^2 -4 \times 3 +4\times 2^2 \\[0.3em] &= 13\\[0.3em] \end{aligned} $$ となります。
\(\hspace{1pt}|\vec{a} -2 \vec{b}| \geqq 0\hspace{2pt}\)であることから $${|\vec{a} -2 \vec{b}| = \sqrt{13}}$$ と求められます。
【関連するページ】
・内積の定義