◆第問目！
ベクトルの加法・減法・実数倍の計算は、通常の文字式と同じように計算をすることができます。
【答え】
\(\displaystyle \vec{x} = \frac{1}{5}(\vec{a} + 4\hspace{1pt}\vec{b} )\hspace{2pt},\hspace{2pt}\)\(\displaystyle \vec{y} = \frac{3}{5}(\vec{a} -\vec{b})\)
【解答のポイント】
任意のベクトル\(\hspace{1pt}\vec{a} \hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{b}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{c}\hspace{2pt}\)について以下の[1]～[3]が成り立ちます。
[1] 交換法則・結合法則
$$
\begin{aligned}
\vec{a} +\vec{b} &= \vec{b} +\vec{a} \\[0.3em]
(\vec{a} +\vec{b}) + \vec{c} &= \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) \\[0.3em]
\end{aligned}
$$
[2] 零ベクトルと逆ベクトル
$$
\begin{aligned}
\vec{a} +(-\vec{a}) &= \vec{0} \\[0.3em]
\vec{a} + \vec{0} &= \vec{a} \\[0.3em]
\end{aligned}
$$
[3] ベクトルの実数倍
$${ k \hspace{1pt}(\hspace{1pt} l \hspace{1pt}\vec{a} ) = (k \hspace{1pt} l\hspace{1pt})\hspace{1pt} \vec{a} }$$
$${ (k + l )\hspace{1pt}\vec{a} = k \hspace{1pt}\vec{a} + l \hspace{1pt}\vec{a} }$$
$${ k \hspace{1pt}(\vec{a} +\vec{b}) = k \hspace{1pt}\vec{a} + k \hspace{1pt}\vec{b} }$$
上記の[1]～[3]から、ベクトルの加法・減法・実数倍の計算は、通常の文字式と同じように計算をすることができます。
【解答】
問題 : 次の等式を満たすベクトル\(\hspace{2pt}\vec{x} \hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}\vec{a}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{b} \hspace{2pt}\)を用いて表せ。
\[
\begin{cases}
2\hspace{1pt}\vec{x} + \vec{y} = \vec{a} + \vec{b} \cdots(1)\\[0.5em]
\vec{x} + 3\hspace{1pt}\vec{y} = 2\hspace{1pt}\vec{a} -\vec{b} \cdots(2)
\end{cases}
\]
\((2)\)式の両辺を\(\hspace{1pt}2\hspace{2pt}\)倍すると $${2\hspace{1pt}\vec{x} + 6\hspace{1pt}\vec{y} = 4\hspace{1pt}\vec{a} -2\hspace{1pt}\vec{b}\cdots(2)' }$$ \((2)'-(1)\hspace{1pt}\)から $$ \begin{aligned} 5\hspace{1pt}\vec{y} &= 3\hspace{1pt}\vec{a} -3\hspace{1pt}\vec{b} \\[0.5em] \vec{y} &= \frac{3}{5}(\vec{a} -\vec{b}) \\[0.5em] \end{aligned} $$ また、\((2)\)式から
となります。
【関連するページ】
・ベクトルの演算