ベクトルの大きさと垂直条件から内積を求める

【答え】
\(\vec{a}\cdot \vec{b} = 5\)
　　

【解答のポイント】
\(2\vec{a}+\vec{b}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\vec{a}-\vec{b}\hspace{2pt}\)が垂直であるという条件から、\(2\vec{a}+\vec{b}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\vec{a}-\vec{b}\hspace{2pt}\)の内積の値が\(\hspace{1pt}0\hspace{2pt}\)となります。

すなわち $${(2\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b}) = 0}$$ が成り立ちます。

上式の左辺を展開することで\(\hspace{1pt}\vec{a} \cdot \vec{b}\hspace{2pt}\)の値を求めます。
　

【解答】
　問題 : 『\(\hspace{1pt}|\vec{a}| = 2\hspace{2pt},\hspace{2pt}|\vec{b}|=\sqrt{3}\hspace{2pt}\)であり, \(2\vec{a}+\vec{b}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\vec{a}-\vec{b}\hspace{2pt}\)が垂直であるとき, \(\vec{a} \cdot \vec{b}\hspace{2pt}\)の値を求めよ.』
　

\(2\vec{a}+\vec{b}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\vec{a}-\vec{b}\hspace{2pt}\)が垂直であるという条件から $$ \begin{aligned} (2\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b}) &= 0 \\[0.5em] 2 \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{b} &=0 \\[0.5em] 2 |\vec{a}|^2 -\vec{a}\cdot \vec{b} - |\vec{b}|^2 &=0 \\[0.5em] 2 \times 2^2 -\vec{a}\cdot \vec{b} - (\sqrt{3})^2 &=0 \\[0.5em] \vec{a}\cdot \vec{b} &=5 \\[0.5em] \end{aligned} $$ 以上から、\(\vec{a}\cdot \vec{b} = 5\hspace{2pt}\)と求められます。
　

【関連するページ】
・内積の定義