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定数を含む空間ベクトルの和

◆第問目！

【 難易度 ★★ 】
　\(\hspace{1pt}\vec{a} = (2\hspace{1pt},\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-1)\hspace{2pt},\)\(\hspace{3pt}\vec{b}=(-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt}\)であるとする.
　\(a +tb\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}a-tb\hspace{2pt}\)のなす角が\(\hspace{1pt}60^\circ\hspace{1pt}\)であるときの定数\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)の値を求めよ.

\(\hspace{1pt}\vec{p} = \vec{a}+t \vec{b}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{q}=\vec{a}-t \vec{b}\hspace{2pt}\)の内積を以下の\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの方法で求めます。(\(\hspace{1pt}\vec{p} =(p_1 , p_2 , p_3)\hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{q} =(q_1 , q_2 , q_3) \hspace{2pt}\)とします。)

$$ \begin{aligned} \vec{p}\cdot \vec{q} & = |\vec{p}| |\vec{q}| \cos \theta \cdots (1)\\[0.5em] \hspace{10pt}\vec{p}\cdot \vec{q} &= p_1 q_1 + p_2 q_2 + p_3 q_3 \cdots (2)\hspace{10pt}\\ \end{aligned} $$

\(\hspace{1pt}(1),(2)\hspace{2pt}\)で求められた内積が等しいことを利用し, 定数\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)の値を求めます。
　

【答え】
　\(\displaystyle t=\pm\sqrt{\frac{7 - \sqrt{13}}{ 2}}\)
　

【解答のポイント】
\(\hspace{1pt}\vec{p} = \vec{a}+t \vec{b}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{q}=\vec{a}-t \vec{b}\hspace{2pt}\)の内積を以下の\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの方法で求めます。(\(\hspace{1pt}\vec{p} =(p_1 , p_2 , p_3)\hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{q} =(q_1 , q_2 , q_3) \hspace{2pt}\)とします。)

$$ \begin{aligned} \vec{p}\cdot \vec{q} & = |\vec{p}| |\vec{q}| \cos \theta \cdots (1)\\[0.5em] \hspace{10pt}\vec{p}\cdot \vec{q} &= p_1 q_1 + p_2 q_2 + p_3 q_3 \cdots (2)\hspace{10pt}\\ \end{aligned} $$

\(\hspace{1pt}(1),(2)\hspace{2pt}\)で求められた内積が等しいことを利用し, 定数\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)の値を求めます。
　

得られた定数\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)の値が条件式を満たすことを必ず確認しましょう。
\(\hspace{1pt}\vec{a}+t \vec{b}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{a}-t \vec{b}\hspace{2pt}\)のなす角が\(\hspace{1pt}60^\circ\hspace{2pt}\)であることから、その内積\(\hspace{1pt}(\vec{a}+t \vec{b})\cdot (\vec{a}-t \vec{b})\hspace{2pt}\)は正の値となります。
　

【問題の解答】
　問題 : 『\(\hspace{1pt}\vec{a} = (2\hspace{1pt},\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-1)\hspace{2pt},\)\(\hspace{3pt}\vec{b}=(-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt}\)であるとする.
　\(a +tb\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}a-tb\hspace{2pt}\)のなす角が\(\hspace{1pt}60^\circ\hspace{1pt}\)であるときの定数\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)の値を求めよ.』
　

まず、内積\(\hspace{2pt}\vec{a}\cdot \vec{b}\hspace{2pt}\)を求めると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}\vec{a}\cdot \vec{b} &= 2 \times (-1) + 1 \times 0 -1 \times 1 \hspace{10pt}\\[0.5em] &= -3\\[0.5em] \end{aligned} $$

また \(|\vec{a}| \hspace{1pt},\hspace{1pt}|\vec{b}| \hspace{2pt}\)を求めると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt} |\vec{a}| &= \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} \hspace{10pt} \\[0.5em] &= \sqrt{6}\\[0.8em] |\vec{b}| &= \sqrt{(-1)^2 + 0^2 +1^2} \\[0.5em] &= \sqrt{2}\\ \end{aligned} $$

となります。

ここで、\(\hspace{1pt}\vec{a}+t \vec{b}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}\vec{a}-t \vec{b}\hspace{2pt}\)の内積は

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}(\vec{a}+t \vec{b})\cdot (\vec{a}-t \vec{b}) &=|\vec{a}|^2 -t^2 |\vec{b}|^2 \hspace{10pt}\\[0.5em] \hspace{10pt} &= 6 -2t^2 \hspace{10pt}\\[0.5em] \end{aligned} $$

また\(\hspace{2pt}|\vec{a}+t \vec{b}|^2\hspace{1pt} ,\hspace{1pt} |\vec{a}-t \vec{b}|^2\hspace{2pt}\)を求めると

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}|\vec{a}+t \vec{b}|^2 &=|\vec{a}|^2 +2t \vec{a}\cdot \vec{b} +t^2 |\vec{b}|^2 \hspace{10pt}\\[0.5em] \hspace{10pt} &= 6 + 2t\times (-3)+2t^2 \hspace{10pt}\\[0.5em] \hspace{10pt} &= 2t^2 -6t +6 \hspace{10pt}\\[0.5em] \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}|\vec{a}-t \vec{b}|^2 &=|\vec{a}|^2 -2t \vec{a}\cdot \vec{b} +t^2 |\vec{b}|^2 \hspace{10pt}\\[0.5em] \hspace{10pt} &= 6 - 2t \times (-3)+2t^2 \hspace{10pt}\\[0.5em] \hspace{10pt} &= 2t^2 +6t +6 \hspace{10pt}\\[0.5em] \end{aligned} $$

したがって、内積の定義式から

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}(\vec{a}+t \vec{b})\cdot (\vec{a}-t \vec{b}) &=|\vec{a}+t \vec{b}| |\vec{a}-t \vec{b}| \cos 60^\circ\hspace{10pt}\\[0.5em] \hspace{10pt}((\vec{a}+t \vec{b})\cdot (\vec{a}-t \vec{b}))^2 &=|\vec{a}+t \vec{b}|^2 |\vec{a}-t \vec{b}|^2 \cos^2 60^\circ\hspace{10pt}\\[0.5em] \hspace{10pt}(6 -2t^2 )^2 &=(2t^2 -6t +6) (2t^2 +6t +6) \left(\frac{1}{2}\right)^2\hspace{10pt}\\[0.5em] \end{aligned} $$

上式を整理すると $${t^4 -7t^2+9 = 0}$$

ここで 二次方程式の解の公式から $$ \begin{aligned} t^2 &= \frac{7 \pm \sqrt{49 -36}}{ 2}\\[0.5em] &=\frac{7 \pm \sqrt{13}}{ 2}\\[0.5em] \end{aligned} $$ となります。

ここで\(\displaystyle\hspace{3pt}t^2 = \frac{7 + \sqrt{13}}{ 2}\hspace{2pt}\)のとき \((\vec{a}+t\vec{b})\cdot(\vec{a}-t\vec{b})\hspace{2pt}\)の値は

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}(\vec{a}+t \vec{b})\cdot (\vec{a}-t \vec{b}) &=6-2t^2\hspace{10pt}\\[0.5em] &=6-2 \cdot \frac{7 + \sqrt{13}}{ 2}\hspace{10pt}\\[0.5em] &=-1- \sqrt{13}\hspace{10pt}\\[0.5em] \end{aligned} $$

また\(\displaystyle\hspace{3pt}t^2 = \frac{7 - \sqrt{13}}{ 2}\hspace{2pt}\)のとき \((\vec{a}+t\vec{b})\cdot(\vec{a}-t\vec{b})\hspace{2pt}\)の値は

$$ \begin{aligned} \hspace{10pt}(\vec{a}+t \vec{b})\cdot (\vec{a}-t \vec{b}) &=6-2t^2\hspace{10pt}\\[0.5em] &=6-2 \cdot \frac{7 - \sqrt{13}}{ 2}\hspace{10pt}\\[0.5em] &=-1+ \sqrt{13}\hspace{10pt}\\[0.5em] \end{aligned} $$

\(\hspace{1pt}\vec{a}+t\vec{b}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{a}-t\vec{b}\hspace{2pt}\)のなす角が\(\hspace{2pt}60^\circ\hspace{2pt}\)より、\(\hspace{1pt}(\vec{a}+t \vec{b})\cdot (\vec{a}-t \vec{b}) > 0\hspace{2pt}\)であるので\(\displaystyle\hspace{2pt}t^2 = \frac{7 + \sqrt{13}}{ 2}\hspace{2pt}\)は不適となります。

したがって、求める\(\hspace{1pt}t\hspace{2pt}\)は\(\displaystyle\hspace{2pt}t = \pm\sqrt{\frac{7 - \sqrt{13}}{ 2}}\hspace{2pt}\)となります。
　

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