◆第問目！
求めるベクトルを\(\hspace{1pt}\vec{c} = (x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{1pt},\hspace{1pt}z)\hspace{2pt}\)とおいて\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{1pt},\hspace{1pt}z\hspace{2pt}\)に関する連立方程式を作ります。
\(\hspace{1pt}\vec{c}\hspace{2pt}\)が\(\hspace{2pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)の両方に垂直であることから $${\vec{a} \cdot \vec{c} = 0 }$$ $${\vec{b} \cdot \vec{c} = 0 }$$ から\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{1pt},\hspace{1pt}z\hspace{2pt}\)の満たす方程式を作ります。
また、\(\vec{c} \hspace{2pt}\)の大きさが\(\hspace{1pt}3\hspace{2pt}\)であることから $${\sqrt{x^{\hspace{1pt}2} + y^{\hspace{1pt}2} + z^{\hspace{1pt}2} }=3 }$$ が成り立ちます。
【答え】
\(\displaystyle\hspace{1pt}(2\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{1pt},\hspace{1pt}(-2\hspace{1pt},\hspace{1pt}-2\hspace{1pt},\hspace{1pt}-1)\)
【解答のポイント】
求めるベクトルを\(\hspace{1pt}\vec{c} = (x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{1pt},\hspace{1pt}z)\hspace{2pt}\)とおいて\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{1pt},\hspace{1pt}z\hspace{2pt}\)に関する連立方程式を作ります。
空間ベクトルの内積は $${\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 }$$ から計算されます。
\(\hspace{1pt}\vec{c}\hspace{2pt}\)が\(\hspace{2pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)の両方に垂直であることから $${\vec{a} \cdot \vec{c} = 0 }$$ $${\vec{b} \cdot \vec{c} = 0 }$$ から\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{1pt},\hspace{1pt}z\hspace{2pt}\)の満たす方程式を作ります。
\(\hspace{1pt}\vec{c} \hspace{2pt}\)の大きさは\(\hspace{1pt}3\hspace{2pt}\)であることから
$${\sqrt{x^{\hspace{1pt}2} + y^{\hspace{1pt}2} + z^{\hspace{1pt}2} }=3 }$$
が成り立ちます。
【解答】
問題 :『\(\hspace{1pt}\vec{a} = (1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-2\hspace{1pt},\hspace{1pt}2)\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}\vec{b} = (-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt}\)の両方に垂直な大きさが\(\hspace{1pt}3\hspace{2pt}\)のベクトルを求めよ.』
求める空間ベクトルを\(\hspace{1pt}\vec{c} = (x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{1pt},\hspace{1pt}z)\hspace{2pt}\)とします。
\(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}\vec{c}\hspace{2pt}\)が垂直であることから $${\vec{a} \cdot \vec{c} = 0 }$$ すなわち $${x-2y+2z = 0 \cdots (1)}$$ となります。
また、\(\vec{b}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}\vec{c}\hspace{2pt}\)が垂直であることから $${\vec{b} \cdot \vec{c} = 0 }$$ すなわち $${-x+y = 0 \cdots (2)}$$ となります。
また、\(\vec{c}\hspace{2pt}\)の大きさが\(\hspace{2pt}3\hspace{2pt}\)であることから $${\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2} }=3}$$ すなわち $${x^{2} + y^{2} + z^{2 }=9 \cdots (3)}$$ となります。
(2)から $${x =y}$$ (1),(3)に代入して\(\hspace{2pt}y\hspace{2pt}\)を削除すると \[ \begin{cases} x = 2z \\[0.5em] 2x^2 + z^2 = 9 \end{cases} \] 上式から\(\hspace{2pt}x\hspace{2pt}\)を削除すると $${z^2 = 1}$$ であることから $${z = \pm 1}$$ となります。
よって求めるベクトル\(\hspace{1pt}\vec{c}\hspace{2pt}\)は
$${(2\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{1pt},\hspace{1pt}(-2\hspace{1pt},\hspace{1pt}-2\hspace{1pt},\hspace{1pt}-1)}$$
と求められます。
【関連するページ】
・内積の定義