ベクトルの和の最大・最小

【答え】
　(1) 最大値は\(\hspace{1pt}11\hspace{1pt}\), 最小値は\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)
　(2) \(\hspace{1pt}1 \leqq |\vec{x}| \leqq 5\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}7 \leqq |\vec{x}| \leqq 11\)
　

【解答のポイント】
以下の不等式はベクトルの三角不等式という有名な不等式です。 $${|\vec{a} +\vec{b}| \leqq |\vec{a}| +|\vec{b}| }$$

この不等式をベクトルの絶対値の最大値・最小値の問題に適応させます。

本問は $$\vec{x}= \vec{a} +\vec{b} +\vec{c}$$ と\(\hspace{1pt}3\hspace{2pt}\)つのベクトルの和である点がやっかいですが、\(\vec{a} +\vec{b}\hspace{2pt}\)をまとめて\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)つのベクトルと考えると、不等式を適応させることができます。

\(\hspace{1pt}\vec{x}\hspace{2pt}\)を\(\hspace{1pt} (\vec{a} +\vec{b})\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt} \vec{c} \hspace{2pt}\)の和と考えると

と変形することができます。
　

【問題(1)の解答】
　問題 : 『\(\hspace{1pt}|\vec{a}|=6 , |\vec{b}|=3 , |\vec{c}|=2\hspace{2pt}\)を満たすベクトルに対して\(\hspace{1pt}\vec{x} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\hspace{3pt}\)が成り立つとする. 次の問いに答えよ.
　(1) \(\hspace{1pt}|\vec{x}|\hspace{2pt}\)の最大値・最小値を求めよ.
　(2) \(\hspace{1pt}\vec{x}\hspace{3pt}\)と\(\hspace{3pt}\vec{a}\hspace{3pt}\)が同じ方向を向くとき, \(|\vec{x}|\hspace{2pt}\)のとりうる範囲を求めよ.
　(必要であれば任意のベクトル\(\hspace{2pt}\vec{p},\vec{q}\hspace{3pt}\)に成り立つ不等式 \(\hspace{1pt} |\vec{p}+ \vec{q}| \leqq |\vec{p}| +|\vec{q}|\hspace{2pt}\)を用いてもよい.)』
　

任意のベクトル\(\hspace{2pt}\vec{p},\vec{q}\hspace{3pt}\)に成り立つ不等式 \(\hspace{1pt} |\vec{p}+ \vec{q}| \leqq |\vec{p}| +|\vec{q}|\hspace{2pt}\)から

より、\(|x| \leqq 11\hspace{2pt}\)となることから\(|\vec{x}|\hspace{2pt}\)の最大値は\(\hspace{1pt}11\hspace{1pt}\)となります。
　

また $${|\vec{p} +\vec{q}| \leqq |\vec{p}| +|\vec{q}| }$$ において \(\vec{p}\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}\vec{a}+\vec{b}\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}\vec{q}\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}-\vec{b}\hspace{2pt}\)とすると $$ \begin{aligned} |(\vec{a}+\vec{b}) - \vec{b}| & \leqq |\vec{a}+\vec{b}| +| -\vec{b}|\\[0.5em] |\vec{a}| & \leqq |\vec{a}+\vec{b}| +|\vec{b}|\\[0.5em] |\vec{a}|-|\vec{b}| & \leqq |\vec{a}+\vec{b}| \cdots(1)\\[0.5em] \end{aligned} $$ また \(\vec{p}\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}\vec{a}+\vec{b}\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}\vec{q}\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}-\vec{a}\hspace{2pt}\)とすれば、同様の手順で $${|\vec{b}|-|\vec{a}| \leqq |\vec{a}+\vec{b}|\cdots(2)}$$ が成り立ちます。

よって、(1)式と(2)式から

が得られます。

すなわち、(3)式から\(\hspace{2pt} |\vec{x}|=|\vec{a} +\vec{b} +\vec{c}|\hspace{2pt}\)に対して

が成り立ちます。ここで、\(|\vec{a} +\vec{b}|\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt} |\vec{c}|\hspace{1pt}\)の大小関係を調べると(3)式から $${|\vec{a} +\vec{b}| \geqq ||\vec{a} | -|\vec{b}||}$$ より\(\hspace{1pt}|\vec{a}|=6 \hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}|\vec{b}|=3 \hspace{2pt}\)から\(\hspace{1pt}|\vec{a} +\vec{b}| \geqq 3\hspace{2pt}\)となります。

よって\(\hspace{3pt} |\vec{a} +\vec{b}| > |\vec{c}|\hspace{2pt}\)から、(4)式は $${| |\vec{a} +\vec{b}| -|\vec{c}||=|\vec{a} +\vec{b}| -|\vec{c}|}$$ となります。さらに、(3)式を用いると $${|\vec{a} +\vec{b}| -|\vec{c}| \geqq |\vec{a}| - |\vec{b}| -|\vec{c}|}$$ となります。

すなわち\(\hspace{1pt}|\vec{a}| - |\vec{b}| -|\vec{c}| = 1\hspace{2pt}\)であることから $${|\vec{x}| \geqq 1}$$ となります。

よって、\(|\vec{x}|\hspace{2pt}\)の最小値は\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)となります。

以上から、\(|\vec{x}|\hspace{2pt}\)の最大値は\(\hspace{1pt}11\hspace{1pt}\)、最小値は\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)となります。
　

【問題(2)の解答】
　問題 : 『\(\hspace{1pt}|\vec{a}|=6 , |\vec{b}|=3 , |\vec{c}|=2\hspace{2pt}\)を満たすベクトルに対して\(\hspace{1pt}\vec{x} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\hspace{3pt}\)が成り立つとする. 次の問いに答えよ.
　(1) \(\hspace{1pt}|\vec{x}|\hspace{2pt}\)の最大値・最小値を求めよ.
　(2) \(\hspace{1pt}\vec{x}\hspace{3pt}\)と\(\hspace{3pt}\vec{a}\hspace{3pt}\)が同じ方向を向くとき, \(|\vec{x}|\hspace{2pt}\)のとりうる範囲を求めよ.
　(必要であれば任意のベクトル\(\hspace{2pt}\vec{p},\vec{q}\hspace{3pt}\)に成り立つ不等式 \(\hspace{1pt} |\vec{p}+ \vec{q}| \leqq |\vec{p}| +|\vec{q}|\hspace{2pt}\)を用いてもよい.)』
　

\(\hspace{1pt}\vec{x}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)が同じ方向を向くとき、ある正の実数を\(\hspace{1pt}k\hspace{1pt}\)とすると $${\vec{x} = k \vec{a}}$$ が成り立ちます。

よって、\(\vec{x} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\hspace{2pt}\)は $$ \begin{aligned} k \vec{a} & = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \\[0.5em] (k-1)\vec{a} & = \vec{b} +\vec{c} \\[0.5em] \end{aligned} $$ すなわち $$ \begin{aligned} |(k-1)\vec{a} |& =| \vec{b} +\vec{c}| \\[0.5em] |k-1| |\vec{a}|& =| \vec{b} +\vec{c}| \\[0.5em] 6 |k-1|& =| \vec{b} +\vec{c}| \\[0.5em] \end{aligned} $$ となります。ここで、\(| \vec{b} +\vec{c}|\hspace{2pt}\)のとりうる範囲は $${|\vec{b}+\vec{c}| \leqq |\vec{b}|+ | \vec{c}|}$$ \(\hspace{1pt}|\vec{b}|+ | \vec{c}| =5\hspace{2pt}\)であることから、最大値は\(\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\)となります。

また $${|\vec{b}+\vec{c}| \geqq ||\vec{b}|-|\vec{c}||}$$ \(\hspace{1pt}||\vec{b}|-|\vec{c}|| =1\hspace{2pt}\)であることから、最小値は\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)となります。

よって、\(1 \leqq |\vec{b}+\vec{c}| \leqq 5\hspace{2pt}\)であるので $${1 \leqq 6 |k-1| \leqq 5}$$ すなわち $${\frac{1}{6} \leqq |k-1| \leqq \frac{5}{6}}$$ となります。

上式は絶対値記号を含むため
　① \(\hspace{1pt}k \geqq 1\hspace{2pt}\)
　② \(\hspace{1pt}k < 1\hspace{2pt}\)
で場合分けします。
　

【①\(\hspace{1pt}k \geqq 1\hspace{2pt}\)のとき】
$${\frac{1}{6} \leqq k-1 \leqq \frac{5}{6}}$$ となることから $${\frac{7}{6} \leqq k \leqq \frac{11}{6}}$$ となります。
　

【②\(\hspace{1pt}k < 1\hspace{2pt}\)のとき】
$${\frac{1}{6} \leqq -k+1 \leqq \frac{5}{6}}$$ となることから $${-\frac{5}{6} \leqq -k \leqq -\frac{1}{6}}$$ つまり $${\frac{1}{6} \leqq k \leqq \frac{5}{6}}$$ となります。
　

①と②から、\(\vec{x}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)が同じ方向を向くときの\(\hspace{1pt}k\hspace{1pt}\)の値は \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{7}{6} \leqq k \leqq \frac{11}{6} \\[0.7em] \displaystyle \frac{1}{6} \leqq k \leqq \frac{5}{6} \\ \end{cases} \] となります。

よって、\(\vec{x} = k\vec{a}\hspace{2pt}\)から\(\hspace{1pt}|\vec{x}| = |k \vec{a}| = |k| | \vec{a}|=6k\hspace{1pt}\)であるので、\(|\vec{x}|\hspace{2pt}\)のとりうる範囲は \[ \begin{cases} \displaystyle 7 \leqq |\vec{x}| \leqq 11 \\[0.7em] \displaystyle 1 \leqq |\vec{x}| \leqq 5 \\ \end{cases} \] となります。
　

【入試本番に向けたアドバイス】
本問はベクトルの三角不等式を利用して最大値・最小値を求める問題です。

ベクトルの分野でよく出題される最大値・最小値の主なパターンには以下のような種類があります。

　(1) \(\hspace{1pt}|\vec{a} + \vec{b}|\hspace{1pt},\hspace{1pt}|\vec{a} +\vec{b}+\vec{c} |\hspace{2pt}\)の最大最小

　(2) \(\hspace{1pt}s , t\hspace{2pt}\)を動かしたときの\(\hspace{1pt}|\vec{a} + t \vec{b}|\hspace{2pt}\)や\(\hspace{2pt}|\vec{a} + t \vec{b} + s \vec{c}|\hspace{2pt}\)の最大最小

　(3) 三角形の辺の長さ, 頂点の角度(\(\hspace{1pt}\cos \theta\hspace{1pt}\))の大きさ, 面積の最大最小
　

本問のような(1)のパターンでは\(\hspace{2pt}|\vec{a}|,|\vec{b}|\hspace{1pt}\)の値は示されており、ベクトルのなす角が変数となる場合が多いです。この場合はベクトルの三角不等式 $${|\vec{a}+ \vec{b}| \leqq |\vec{a}| +|\vec{b}|}$$ を使うことが鍵となります。

ベクトルの三角不等式は問題文に示されないこともありますが、その場合は内積の定義式から導くこともできます。
　

また、(2)のパターンでは\(\hspace{2pt}\vec{a},\vec{b}\hspace{1pt}\)の大きさやなす角は示されており、\(t\hspace{1pt}\)などの変数を動かして最大・最小を求めます。この場合は絶対値を二乗して $${ |\vec{a} + t \vec{b}|^2 =| \vec{a}|^2 + 2t \vec{a} \cdot \vec{b} + t^2|\vec{b}|^2}$$ と変形して\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)の二次関数として最大・最小を求めます。
　

(3)のパターンには様々な出題パターンがありますが、ベクトルから三角形の頂点の角度や面積を求めて計算します。
その過程で余弦定理や三角形の面積公式をベクトルと組み合わせて使えるかがポイントになります。
　

【関連するページ】
　・ベクトルの演算