正六角形の問題
◆第問目！
(1) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{CF}\)
(2) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{FE}\)
(3) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{AM}\)
ベクトルの向きを変えるときは、始点と終点の記号を入れ替えて負の記号を付けます。例えば、\(\overrightarrow{AB}\hspace{2pt}\)は $${\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}}$$ となります。
また、正六角形の性質から、向きと大きさの等しい辺におけるベクトルは、以下のように等号で結ぶことができます。 $${\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{FO}= \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{ED}}$$
ベクトルの分解の公式 $${\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A\square} + \overrightarrow{\square B}}$$ $${\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{\square B} - \overrightarrow{\square A}}$$ から問題のベクトルを変形します。
\( \overrightarrow{AM}\hspace{2pt}\)は、点\(\hspace{1pt}B\hspace{2pt}\)を経由する和の式で以下のように変形できます。 $${\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} }$$
【答え】
\(\overrightarrow{CF} = -2\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}\)
\(\displaystyle \overrightarrow{AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AF}\)
【解答のポイント】
ベクトルの分解の公式
$${\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A\square} + \overrightarrow{\square B}}$$
$${\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{\square B} - \overrightarrow{\square A}}$$
から問題のベクトルを変形します。
また、正六角形の性質から、向きと大きさの等しい辺におけるベクトルは、以下のように等号で結ぶことができます。 $${\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{FO}= \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{ED}}$$
【問題(1)の解答】
問題 : 以下の正六角形\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}B\hspace{1pt}C\hspace{1pt}D\hspace{1pt}E\hspace{1pt}F\hspace{2pt}\)において, 辺\(\hspace{1pt}BC\hspace{2pt}\)の中点を\(\hspace{1pt}M\hspace{2pt}\)とするとき, \( \overrightarrow{CF}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt} \overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\overrightarrow{AF}\hspace{2pt}\)で表せ.
\(\overrightarrow{CF}\hspace{1pt}\)は以下のように向きを入れ替えて変形します。
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{CF} &= -\overrightarrow{FC} \\[0.3em]
&=-2\overrightarrow{FO} \\[0.3em]
&=-2\overrightarrow{AB} \\[0.3em]
\end{aligned}
$$
と求められます。
【問題(2)の解答】
問題 : 以下の正六角形\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}B\hspace{1pt}C\hspace{1pt}D\hspace{1pt}E\hspace{1pt}F\hspace{2pt}\)において, 辺\(\hspace{1pt}BC\hspace{2pt}\)の中点を\(\hspace{1pt}M\hspace{2pt}\)とするとき, \( \overrightarrow{FE}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt} \overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\overrightarrow{AF}\hspace{2pt}\)で表せ.
\( \overrightarrow{FE}\hspace{2pt}\)は、点\(\hspace{1pt}O\hspace{1pt}\)を基準にして差の式で変形します。
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{FE} &= \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OF} \\[0.3em]
&= \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{BA} \\[0.3em]
&= \overrightarrow{AF} - (\hspace{1pt}-\overrightarrow{AB}) \\[0.3em]
&= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} \\[0.3em]
\end{aligned}
$$
【問題(3)の解答】
問題 : 以下の正六角形\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}B\hspace{1pt}C\hspace{1pt}D\hspace{1pt}E\hspace{1pt}F\hspace{2pt}\)において, 辺\(\hspace{1pt}BC\hspace{2pt}\)の中点を\(\hspace{1pt}M\hspace{2pt}\)とするとき, \( \overrightarrow{AM}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt} \overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\overrightarrow{AF}\hspace{2pt}\)で表せ.
まず、\( \overrightarrow{AM}\hspace{2pt}\)は、点\(\hspace{1pt}B\hspace{2pt}\)を経由する和の式で変形します。
$${\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} }$$
ここで、六角形の性質から\(\displaystyle \hspace{1pt}\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{FE}\hspace{2pt}\)であるので
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{AM} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} \\[0.3em]
&= \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{FE} \\[0.3em]
&= \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}) \\[0.3em]
&=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AF} \\[0.3em]
\end{aligned}
$$
となります。
【関連するページ】
・ベクトルの分解