外心の位置ベクトルを求める問題

【答え】
　\(\displaystyle \overrightarrow{AO} = \frac{5}{13} \vec{b} + \frac{2}{13}\vec{c}\)
　

【解答のポイント】
外心とは、以下の図のような三角形の外接円の中心のことをいいます。

本問は、外心が三角形の各辺の垂直二等分線の交点であることを利用します。

\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)を実数とし $${\overrightarrow{AO} = x \vec{b} + y\vec{c}}$$ とおき、外心が三角形の各辺の垂直二等分線の交点であるという条件から\(\hspace{1pt}(x,y)\hspace{1pt}\)の満たす式を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つ作り、連立させて\(\hspace{1pt}(x,y)\hspace{1pt}\)の値を求めます。
　

【問題の解答】
　問題 : 『三角形\(\hspace{1pt}ABC\hspace{1pt}\)において\(\hspace{1pt}AB =\sqrt{6} \hspace{1pt},\hspace{1pt}AC = \sqrt{5}\hspace{2pt}\)であり, 三角形\(\hspace{1pt}ABC\hspace{1pt}\)の面積が\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{\sqrt{39}}{4}\hspace{2pt}\)であるとする. 三角形\(\hspace{1pt}ABC\hspace{1pt}\)の外心を\(\hspace{1pt}O\hspace{1pt}\)としたとき, \(\overrightarrow{AO}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}=\vec{b}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AC}={\vec{c}}\hspace{3pt}\)により表せ.』
　

まず、後の計算で必要となるので内積\(\hspace{2pt}\vec{b} \cdot \vec{c}\hspace{2pt}\)の値を求めます。

三角形\(\hspace{1pt}ABC\hspace{1pt}\)の面積が\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{\sqrt{39}}{4}\hspace{2pt}\)であることから、\(\angle BAC\hspace{1pt}\)の角度を\(\hspace{1pt}\theta\hspace{1pt}\)とすると三角形の面積公式から

$$ \begin{aligned} \frac{\sqrt{39}}{4} &= \frac{1}{2} |\vec{b}|\hspace{1pt} |\vec{c}| \sin \theta \\[0.5em] &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{5} \cdot \sin \theta \\[0.5em] & = \frac{\sqrt{30}}{2} \sin \theta \end{aligned} $$ すなわち $${\sin \theta = \frac{\sqrt{13}}{2 \sqrt{10}}}$$ 三角比の相互関係を用いると\(\hspace{1pt}\cos \theta\hspace{2pt}\)の値は $$ \begin{aligned} \cos \theta &= \sqrt{1 - \left( \frac{\sqrt{13}}{2 \sqrt{10}} \right)^2} \\[0.5em] &= \sqrt{1 - \frac{13}{40} } \\[0.5em] &= \frac{3\sqrt{3}}{2 \sqrt{10}}\\[0.5em] \end{aligned} $$

となります。

したがって、内積\(\hspace{2pt}\vec{b} \cdot \vec{c}\hspace{2pt}\)は $$ \begin{aligned} \vec{b} \cdot \vec{c} &= |\vec{b}| \hspace{1pt} |\vec{c}| \cos \theta \\[0.5em] &= \sqrt{6} \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2 \sqrt{10}} \\[0.5em] & = \frac{9}{2} \end{aligned} $$ となります。
　

ここで\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)を実数とし $${\overrightarrow{AO} = x \vec{b} + y\vec{c}}$$ とします。

また、辺\(AB\hspace{1pt}\)と辺\(AC\hspace{1pt}\)の中点をそれぞれ\(\hspace{1pt}M\hspace{1pt},\hspace{1pt}N\hspace{1pt}\)とします。

\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB} = \vec{b} \hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\overrightarrow{MO}\hspace{1pt}\)が垂直であることから $${\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{MO} = 0}$$ すなわち $${\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AM} ) = 0}$$ よって $${\vec{b} \cdot \left(x \vec{b} + y\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b} \right) = 0}$$ となります。上式を展開すると

となります。
　

また、\(\overrightarrow{AC} = \vec{c} \hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\overrightarrow{NO}\hspace{1pt}\)が垂直であることから $${\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{NO} = 0}$$ すなわち $${\overrightarrow{AC} \cdot (\overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AN} ) = 0}$$ よって $${\vec{c} \cdot \left(x \vec{b} + y\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{c} \right) = 0}$$ となります。上式を展開すると

となります。

\(\hspace{1pt}|\vec{b}| =\sqrt{6} \hspace{1pt},\hspace{2pt}|\vec{c}| = \sqrt{5}\hspace{1pt},\)\(\displaystyle\hspace{2pt}\vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{9}{2}\hspace{2pt}\)であることから (1),(2)式は \[ \begin{cases} \displaystyle 6 \left(x - \frac{1}{2} \right) + \frac{9}{2} y = 0 \\[1em] \displaystyle \frac{9}{2}x + 5 \left(y - \frac{1}{2} \right) = 0 \end{cases} \] となります。

この連立方程式を解くと\(\displaystyle\hspace{1pt}x = \frac{5}{13}\hspace{1pt},\hspace{1pt}y=\frac{2}{13}\hspace{2pt}\)となります。

したがって、求める\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AO}\hspace{1pt}\)は $${\overrightarrow{AO} = \frac{5}{13} \vec{b} + \frac{2}{13}\vec{c}}$$ となります。
　

【入試本番に向けたアドバイス】
本問は外心の位置ベクトルを求める問題です。

位置ベクトルに関連した問題では 重心・内心・外心・垂心 の位置ベクトルを求める問題が頻繁に出題されます。

本問は『外心が三角形の各辺の垂直二等分線の交点である』ことを利用し、(内積)\(\hspace{1pt}=0\hspace{1pt}\)の条件から方程式を作ることがポイントです。

ベクトルの入試問題では、重心・垂心・内心・外心の性質は前提知識としてヒントなしで出題されることが多いので、必ず覚えておくようにしましょう。
　

【関連するページ】
・内積

・余弦定理

・三角形の面積公式

・三角比の相互関係