正五角形とベクトルの問題

【答え】
　(1) \(\displaystyle \overrightarrow{BC} = \frac{ \sqrt{5}-1}{2}\hspace{1pt}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}\)

　(2) \(\displaystyle\overrightarrow{CD} =\frac{\sqrt{5}-1}{2}(\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB})\)

　(3) \(\displaystyle \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AB} + \frac{ \sqrt{5}-1}{2}\hspace{1pt}\overrightarrow{AE} \)

　(4) \(\displaystyle \cos 108^\circ = \frac{1-\sqrt{5} }{4}\)

　(5) \(\displaystyle\frac{\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}{4} \)
　

【解答のポイント】
正五角形の各辺をベクトルの分解の公式 $${\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A\square} + \overrightarrow{\square B}}$$ $${\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{\square B} - \overrightarrow{\square A}}$$ から変形する問題です。

問題のベクトルを\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\overrightarrow{AE}\hspace{1pt}\)で表すためには、正五角形の対角線のベクトルを求める必要があります。

正五角形の内角は対角線によって三等分されるという性質があります。
この性質から、対角線のベクトルの向きは、\(\angle BAC = \angle ACE\hspace{1pt}\)より、錯角が等しいことから\(\hspace{1pt}AB\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}EC\hspace{1pt}\)が平行であることを利用します。

また、対角線のベクトルの大きさは、三角形の対角線の長さを\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)とおき、\(x\hspace{1pt}\)の満たす方程式を作ります。

図中に相似となる三角形を見つけ、"相似な三角形同士の辺の比は等しい"ことを利用します。
　

【問題(1)の解答】
　問題 : \(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)辺の長さが\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)である正五角形\(\hspace{1pt}A\hspace{0.5pt}B\hspace{0.5pt}C\hspace{0.5pt}D\hspace{0.5pt}E\hspace{1pt}\)において次の問いに答えよ.
　 (1) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{BC}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\overrightarrow{AE}\hspace{1pt}\)で表せ.
　 (2) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{CD}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\overrightarrow{AE}\hspace{1pt}\)で表せ.
　 (3) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{ED}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\overrightarrow{AE}\hspace{1pt}\)で表せ.
　 (4) \(\hspace{1pt}\cos 108^\circ\)の値を求めよ.
　 (5) 正五角形\(\hspace{1pt}A\hspace{0.5pt}B\hspace{0.5pt}C\hspace{0.5pt}D\hspace{0.5pt}E\hspace{1pt}\)の面積を求めよ.

　

ベクトルの分解の公式から

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BC} &= \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \\[0.3em] &= \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EC}- \overrightarrow{AB} \\[0.3em] \end{aligned} $$ となります。

ここで 上式の\(\hspace{1pt}\overrightarrow{EC}\hspace{1pt}\)を求めます。
まず、\(\overrightarrow{EC}\hspace{1pt}\)の大きさ、すなわち正五角形の対角線の長さを求めます。

正五角形の対角線の長さを\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt}\)とします。また、\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)つの内角を三等分した角度を\(\hspace{1pt} \theta\hspace{1pt}\)とします。

また、以下の図のように対角線\(\hspace{1pt}AD\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}BE\hspace{1pt}\)の交点を\(\hspace{1pt}F\hspace{1pt}\)とします。

上図から、三角形\(\hspace{1pt}ABE\hspace{1pt}\)と三角形\(\hspace{1pt}AFE\hspace{1pt}\)が相似であることから $${BE : AB = AE : FE}$$ \(\hspace{1pt}AB = AE = 1\hspace{1pt},\hspace{1pt}BE = x\hspace{2pt}\)より $${x : 1 = 1 : FE}$$ すなわち $${FE = \frac{1}{x}}$$ となります。

また、\(\angle BAF = \angle AFB\hspace{1pt}\)であることから三角形\(\hspace{1pt}ABF\hspace{1pt}\)は二等辺三角形であるため $${BF = 1}$$ となります。すなわち $$ \begin{aligned} BF + FE &= BE \\[0.3em] 1 + \frac{1}{x} &= x \\[0.5em] x^2 -x -1 &= 0 \\[0.3em] \end{aligned} $$ となります。

上式の\(\hspace{1pt}x > 0\hspace{2pt}\)における解が対角線の長さとなります。

解の公式から $$ \begin{aligned} x &= \frac{1 \pm \sqrt{1 +4}}{2} \\[0.3em] &= \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \\[0.3em] \end{aligned} $$ より、\(\displaystyle x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\hspace{1pt}\hspace{1pt}\)と求められます。

また、\(\angle BAC = \angle ACE\hspace{1pt}\)より、錯角が等しいことから\(\hspace{1pt}AB\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}EC\hspace{1pt}\)は平行となります。

つまり、\(\displaystyle\overrightarrow{EC} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\overrightarrow{AB} \hspace{1pt}\)となります。

したがって $$ \begin{aligned} \overrightarrow{BC} &= \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EC}- \overrightarrow{AB} \\[0.3em] &= \overrightarrow{AE} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\hspace{1pt}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} \\[0.3em] &= \frac{ \sqrt{5}-1}{2}\hspace{1pt}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE} \\[0.3em] \end{aligned} $$ と求められます。
　

【問題(2)の解答】
　問題 : \(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)辺の長さが\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)である正五角形\(\hspace{1pt}A\hspace{0.5pt}B\hspace{0.5pt}C\hspace{0.5pt}D\hspace{0.5pt}E\hspace{1pt}\)において次の問いに答えよ.
　 (1) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{BC}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\overrightarrow{AE}\hspace{1pt}\)で表せ.
　 (2) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{CD}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\overrightarrow{AE}\hspace{1pt}\)で表せ.
　 (3) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{ED}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\overrightarrow{AE}\hspace{1pt}\)で表せ.
　 (4) \(\hspace{1pt}\cos 108^\circ\)の値を求めよ.
　 (5) 正五角形\(\hspace{1pt}A\hspace{0.5pt}B\hspace{0.5pt}C\hspace{0.5pt}D\hspace{0.5pt}E\hspace{1pt}\)の面積を求めよ.

　

以下の図のように\(\hspace{2pt}\angle BEC = \angle ECD\hspace{1pt}\)より、錯角が等しいことから\(\hspace{1pt}BE\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}CD\hspace{1pt}\)は平行となります。

したがって $$ \begin{aligned} \overrightarrow{CD} &= \frac{1}{x}\overrightarrow{BE} \\[0.3em] &= \frac{2}{1 + \sqrt{5}} \cdot (\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB}) \\[0.3em] &= \frac{\sqrt{5}-1}{2}(\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB}) \\[0.3em] \end{aligned} $$ と求められます。
　

【問題(3)の解答】
　問題 : \(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)辺の長さが\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)である正五角形\(\hspace{1pt}A\hspace{0.5pt}B\hspace{0.5pt}C\hspace{0.5pt}D\hspace{0.5pt}E\hspace{1pt}\)において次の問いに答えよ.
　 (1) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{BC}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\overrightarrow{AE}\hspace{1pt}\)で表せ.
　 (2) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{CD}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\overrightarrow{AE}\hspace{1pt}\)で表せ.
　 (3) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{ED}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\overrightarrow{AE}\hspace{1pt}\)で表せ.
　 (4) \(\hspace{1pt}\cos 108^\circ\)の値を求めよ.
　 (5) 正五角形\(\hspace{1pt}A\hspace{0.5pt}B\hspace{0.5pt}C\hspace{0.5pt}D\hspace{0.5pt}E\hspace{1pt}\)の面積を求めよ.

　

ベクトルの分解の公式から $${\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AE}}$$ となります。

ここで \(\overrightarrow{AD}\hspace{2pt}\)を求めます。
\(\angle BCA = \angle CAD\hspace{1pt}\)より、錯角が等しいことから\(\hspace{1pt}BC\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}AD\hspace{1pt}\)は平行となります。

つまり、\(\displaystyle\overrightarrow{AD} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\overrightarrow{BC} \hspace{1pt}\)となります。

したがって、問題(1)より\(\displaystyle\hspace{1pt}\overrightarrow{BC} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\hspace{1pt}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}\hspace{2pt}\)であるので $$ \begin{aligned} \overrightarrow{ED} &= \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AE} \\[0.3em] &= \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AE} \\[0.3em] &= \overrightarrow{AB} + \frac{ \sqrt{5}-1}{2}\hspace{1pt}\overrightarrow{AE} \\[0.3em] \end{aligned} $$ と求められます。
　

【問題(4)の解答】
　問題 : \(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)辺の長さが\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)である正五角形\(\hspace{1pt}A\hspace{0.5pt}B\hspace{0.5pt}C\hspace{0.5pt}D\hspace{0.5pt}E\hspace{1pt}\)において次の問いに答えよ.
　 (1) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{BC}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\overrightarrow{AE}\hspace{1pt}\)で表せ.
　 (2) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{CD}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\overrightarrow{AE}\hspace{1pt}\)で表せ.
　 (3) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{ED}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\overrightarrow{AE}\hspace{1pt}\)で表せ.
　 (4) \(\hspace{1pt}\cos 108^\circ\)の値を求めよ.
　 (5) 正五角形\(\hspace{1pt}A\hspace{0.5pt}B\hspace{0.5pt}C\hspace{0.5pt}D\hspace{0.5pt}E\hspace{1pt}\)の面積を求めよ.

　

正五角形の\(\hspace{1pt}1\hspace{2pt}\)つの内角は\(\hspace{1pt}108^\circ\hspace{2pt}\)であることから、三角形\(\hspace{1pt}ABE\hspace{1pt}\)に対して余弦定理を用いると

と求められます。
　

【問題(5)の解答】
　問題 : \(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)辺の長さが\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)である正五角形\(\hspace{1pt}A\hspace{0.5pt}B\hspace{0.5pt}C\hspace{0.5pt}D\hspace{0.5pt}E\hspace{1pt}\)において次の問いに答えよ.
　 (1) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{BC}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\overrightarrow{AE}\hspace{1pt}\)で表せ.
　 (2) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{CD}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\overrightarrow{AE}\hspace{1pt}\)で表せ.
　 (3) \(\hspace{1pt} \overrightarrow{ED}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB}\hspace{1pt},\overrightarrow{AE}\hspace{1pt}\)で表せ.
　 (4) \(\hspace{1pt}\cos 108^\circ\)の値を求めよ.
　 (5) 正五角形\(\hspace{1pt}A\hspace{0.5pt}B\hspace{0.5pt}C\hspace{0.5pt}D\hspace{0.5pt}E\hspace{1pt}\)の面積を求めよ.

　

三角比の相互関係から\(\hspace{1pt}\sin 108^\circ \hspace{1pt}\)を求めると $$ \begin{aligned} \sin 108^\circ &= \sqrt{1 -(\cos 108^\circ)^2}\\[0.5em] &=\sqrt{1 - \left(\frac{1-\sqrt{5} }{4}\right)^2}\\[0.5em] &=\sqrt{1 - \frac{6 -2\sqrt{5} }{16}}\\[0.5em] &= \frac{\sqrt {10 + 2\sqrt{5}} }{4} \\[0.3em] \end{aligned} $$

ここで、三角形\(\hspace{1pt}ABE\hspace{1pt}\)の面積を\(\hspace{1pt}S\hspace{1pt}\)とします。

\(\hspace{1pt}AB\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}CE\hspace{1pt}\)は平行であるので三角形の底辺の比が面積の比となり、三角形\(\hspace{1pt}BCE\hspace{1pt}\)の面積は\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{1 + \sqrt{5}}{2}S\hspace{2pt}\)となります。

また、三角形\(\hspace{1pt}CDE\hspace{1pt}\)は三角形\(\hspace{1pt}ABE\hspace{1pt}\)と三辺の長さが等しい三角形であるため、面積は\(\hspace{1pt}S\hspace{1pt}\)となります。

したがって、正五角形\(\hspace{1pt}A\hspace{0.5pt}B\hspace{0.5pt}C\hspace{0.5pt}D\hspace{0.5pt}E\hspace{1pt}\)の面積は、三角形の面積公式から

と求められます。
　

【入試本番に向けたアドバイス】
本問は正五角形の辺によって定義されたベクトルを分解する問題です。

ベクトルで平面図形を扱う問題では 正三角形・平行四辺形・正五角形・正六角形 がよく出題されます。

正三角形や平行四辺形、正六角形の問題は図形的な知識がなくても、図形の対称性などから対処できる場合が多いです。

一方、正五角形の問題は、『内角の大きさ・対角線が内角を三等分する・辺と向かい合う対角線が平行になる』など図形の性質を理解していないと解答に時間がかかってしまいます。

正五角形の問題はベクトル以外でもよく出題されるので、本問を通して正五角形の性質を利用した計算に慣れておきましょう。
　

【関連するページ】
・ベクトルの分解

・三角形の面積公式

・余弦定理