内心の位置ベクトルを求める問題
◆第問目！
(1) \(\overrightarrow{OI}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OA}=\vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OB}={\vec{b}}\hspace{2pt}\)により表せ.
(2) 内接円の半径を求めよ.
内心とは、以下の図のような三角形の内接円の中心のことをいいます。
内心が三角形の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの内角の二等分線の交点であることを利用します。
求める内接円の半径を\(\hspace{1pt}r\), 角\(\angle OAB\hspace{2pt}\)の大きさを\(\hspace{1pt}\theta\hspace{1pt}\)とすると
が成り立つことを利用します。
【答え】
(1) \(\displaystyle \overrightarrow{OI} = \frac{3 \vec{a} + 2\vec{b}}{9}\)
(2) \(\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{6}\)
【解答のポイント】
内心とは、以下の図のような三角形の内接円の中心のことをいいます。
内心が三角形の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの内角の二等分線の交点であることを利用します。
また、内分点の公式から 点\(\hspace{1pt}A\hspace{2pt}\)\((\vec{a})\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}B\hspace{2pt}\)\((\vec{b})\hspace{2pt}\)を結ぶ線分\(AB\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}m : n\hspace{2pt}\)に内分する点\(\hspace{1pt}P\hspace{2pt}\)を表す位置ベクトル\(\hspace{1pt}\vec{p}\hspace{2pt}\)が
$${\vec{p} = \frac{n \hspace{1pt} \vec{a}+ m \hspace{1pt}\vec{b}}{m+n}}$$
と表されることを利用します。
【問題(1)の解答】
問題 : 三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{1pt}\)において\(\hspace{1pt}OA =2 \hspace{1pt},\hspace{1pt}OB = 3\hspace{1pt}\)\(,\hspace{1pt}AB =4\hspace{2pt}\)であるとする.
三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{1pt}\)の内心を\(\hspace{1pt}I\hspace{1pt}\)としたとき, 以下の問に答えよ.
(1) \(\overrightarrow{OI}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OA}=\vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OB}={\vec{b}}\hspace{2pt}\)により表せ.
(2) 内接円の半径を求めよ.
下図のように、\( \angle AOB\hspace{2pt}\)に角の二等分線を引き、辺\(AB\hspace{1pt}\)との交点を\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}\)とします。また、線分\(AC\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}CB\hspace{1pt}\)の長さをそれぞれ\(\hspace{1pt}m\hspace{1pt},\hspace{1pt}n\hspace{1pt}\)とします。
角の二等分線の性質から $${ m : n = 2 : 3}$$ ここで、辺\(AB\hspace{1pt}\)の長さが\(\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\)であることから $${ m = \frac{2}{2+3}\cdot 4 = \frac{8}{5}}$$ $${ n = \frac{3}{2+3}\cdot 4 = \frac{12}{5}}$$ となります。
また、内分点の公式から $$ \begin{aligned} \overrightarrow{OC} &= \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n} \\[0.5em] &= \frac{3 \vec{a} + 2\vec{b}}{5} \\[0.5em] \end{aligned} $$
また、\( \angle OAB\hspace{2pt}\)に角の二等分線を引いたとき、交点が点\(\hspace{1pt}I\hspace{1pt}\)となることから、角の二等分線の性質より $${ OI : IC = 2 : \frac{8}{5}}$$ となります。
よって求める\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OI}\hspace{1pt}\)は
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{OI} &= \frac{OI}{OC} \overrightarrow{OC} \\[0.5em]
&= \frac{2}{ 2 + \frac{8}{5}} \times \frac{3 \vec{a} + 2\vec{b}}{5} \\[0.5em]
&= \frac{5}{9} \times \frac{3 \vec{a} + 2\vec{b}}{5} \\[0.5em]
&= \frac{3 \vec{a} + 2\vec{b}}{9} \\[0.5em]
\end{aligned}
$$
となります。
【問題(2)の解答】
問題 : 三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{1pt}\)において\(\hspace{1pt}OA =2 \hspace{1pt},\hspace{1pt}OB = 3\hspace{1pt}\)\(,\hspace{1pt}AB =4\hspace{2pt}\)であるとする.
三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{1pt}\)の内心を\(\hspace{1pt}I\hspace{1pt}\)としたとき, 以下の問に答えよ.
(1) \(\overrightarrow{OI}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OA}=\vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OB}={\vec{b}}\hspace{2pt}\)により表せ.
(2) 内接円の半径を求めよ.
求める内接円の半径を\(\hspace{1pt}r\), 角\(\angle OAB\hspace{2pt}\)の大きさを\(\hspace{1pt}\theta\hspace{1pt}\)とすると三角形の面積公式から
が成り立ちます。
\(\hspace{1pt}\cos \theta\hspace{1pt}\)を求めると余弦定理から
三角比の相互関係を用いると\(\hspace{1pt}\sin \theta \hspace{1pt}\)の値は $$ \begin{aligned} \sin \theta &= \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{4} \right)^2} \\[0.5em] &= \frac{\sqrt{15}}{4}\\[0.5em] \end{aligned} $$
よって、三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{1pt}\)の面積は $$ \begin{aligned} & \frac{1}{2}OA \cdot OB \sin \theta\\[0.5em] &=\frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} \\[0.5em] &= \frac{3\sqrt{15}}{4} \\[0.5em] \end{aligned} $$ となります。
したがって、内接円の半径\(\hspace{1pt}r\hspace{1pt}\)は
と求められます。
【入試本番に向けたアドバイス】
本問は内心の位置ベクトルを求める問題です。
位置ベクトルに関連した問題では 重心・内心・外心・垂心 の位置ベクトルを求める問題が頻繁に出題されます。
本問は『内心が三角形の\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)つの内角の二等分線の交点である』ことを上手く利用することがポイントです。
ベクトルの入試問題では、重心・垂心・内心・外心の性質は前提知識としてヒントなしで出題されることが多いので、必ず覚えておくようにしましょう。
【関連するページ】
・内分点の公式
・余弦定理