点Pの存在範囲(条件式が不等式)

【答え】
　(1) \(\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を満たす点を\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt},\hspace{1pt}D\hspace{1pt}\)としたときの三角形\(\hspace{1pt}OCD\hspace{2pt}\)の周および内部

　(2) \(\displaystyle\hspace{2pt}\overrightarrow{OC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\overrightarrow{OD} = \frac{1}{6}\overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を満たす点を\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt},\hspace{1pt}D\hspace{1pt}\)としたときの三角形\(\hspace{1pt}OCD\hspace{2pt}\)の周および内部
　

【解答のポイント】
異なる二点\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)を通る直線を表す直線のベクトル方程式は $${\overrightarrow{OP} = s \hspace{1pt}\overrightarrow{OA} + t \hspace{1pt} \overrightarrow{OB}\hspace{10pt}(s+t=1)}$$ と表されます。

問題(1)では、まず条件式を\(\hspace{1pt}s + t = k \hspace{2pt}\)\(\hspace{1pt}(0 \leqq k \leqq 2)\hspace{2pt}\)とおいて点\(\hspace{1pt}P\hspace{2pt}\)の存在範囲を求めます。

\(\hspace{1pt}k \neq 0\hspace{2pt}\)であるとき、右辺を\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)にするために両辺を\(\hspace{1pt}k\hspace{1pt}\)で割ると $${\frac{s}{k} + \frac{t}{k} = 1}$$ となります。

\(\displaystyle \hspace{3pt}\frac{s}{k} = s' \hspace{1pt},\hspace{1pt}\frac{t}{k} = t'\hspace{2pt}\)とすると $${s' +t' = 1}$$ となることから、\(s'\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}t'\hspace{1pt}\)に対する直線の方程式 $${\overrightarrow{OP} = s' \overrightarrow{OA'} + t' \overrightarrow{OB'}}$$ $${s' + t' = 1 \hspace{1pt},\hspace{1pt}s' \geqq 0 \hspace{1pt},\hspace{1pt} t' \geqq 0}$$ を作ることができます。

このとき、\(k\hspace{2pt}\)を\(\hspace{1pt}(0 \leqq k \leqq 2)\hspace{2pt}\)と変化させたときの通過範囲が求める点\(\hspace{1pt}P\hspace{2pt}\)の存在範囲となります。

点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲を求める問題において条件式が不等式の場合は『先に\(\hspace{1pt}s+t=k\hspace{2pt}\)を満たす点\(P\hspace{1pt}\)の存在範囲を求め、後から\(\hspace{1pt}k\hspace{2pt}\)を変化させて全体の存在範囲を求める』と覚えておきましょう。
　

【問題(1)の解答】
　問題 : 『 三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{2pt}\)において\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OP} = s \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)(\(\hspace{1pt}s\hspace{1pt},\hspace{1pt}t\hspace{2pt}\)は実数)とする. このとき, 次の条件を満たす点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲を求めよ.
　(1) \(\hspace{1pt}s + t \leqq 2 \hspace{1pt},\hspace{1pt}s \geqq 0 \hspace{1pt},\hspace{1pt} t \geqq 0\)
　(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}s + 2t \leqq \frac{1}{3}\hspace{1pt},\hspace{1pt}s \geqq 0 \hspace{1pt},\hspace{1pt} t \geqq 0\)』
　

まず、\(s + t = k \hspace{1pt}\)\(\hspace{1pt}(0 \leqq k \leqq 2)\hspace{2pt}\)における点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲を求めます。
\(\hspace{1pt}k \neq 0\hspace{2pt}\)であるとき、両辺を\(\hspace{1pt}k\hspace{1pt}\)で割ると $${\frac{s}{k} + \frac{t}{k} = 1}$$ ここで\(\displaystyle \hspace{3pt}\frac{s}{k} = s' \hspace{1pt},\hspace{1pt}\frac{t}{k} = t'\hspace{2pt}\)とすると $$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} & = \frac{s}{k} \left( k\overrightarrow{OA} \right)+ \frac{t}{k} \left( k\overrightarrow{OB} \right)\\[0.5em] & = s' \left( k\overrightarrow{OA} \right)+ t' \left( k\overrightarrow{OB} \right)\\[0.5em] \end{aligned} $$

すなわち\(\hspace{3pt}\overrightarrow{OA'} = k\overrightarrow{OA}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\overrightarrow{OB'} = k\overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を満たす点\(\hspace{1pt}A'\hspace{1pt},\hspace{1pt}B'\hspace{1pt}\)をとると $${\overrightarrow{OP} = s' \overrightarrow{OA'} + t' \overrightarrow{OB'}}$$ $${s' + t' = 1 \hspace{1pt},\hspace{1pt}s' \geqq 0 \hspace{1pt},\hspace{1pt} t' \geqq 0}$$ となります。

このとき、点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲は\(\hspace{2pt}\overrightarrow{OA'} = k\overrightarrow{OA}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\overrightarrow{OB'} = k\overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を満たす点を\(\hspace{1pt}A'\hspace{1pt},\hspace{1pt}B'\hspace{1pt}\)としたときの線分\(\hspace{1pt}A'B'\hspace{2pt}\)となります。

また、\(k=0\hspace{2pt}\)のときは\(\hspace{3pt}s + t =0 \hspace{1pt},\hspace{1pt}s \geqq 0 \hspace{1pt},\hspace{1pt} t \geqq 0\) を満たす\(\hspace{1pt}s\hspace{1pt},\hspace{1pt}t\hspace{2pt}\)は\(\hspace{1pt}s=t=0\hspace{2pt}\)であるため、点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)は原点\(O\hspace{2pt}\)に一致します。

したがって、求める点\(\hspace{1pt}P\hspace{2pt}\)の存在範囲は\(\hspace{2pt}k\hspace{2pt}\)を\(\hspace{1pt}0 \leqq k \leqq 2\hspace{2pt}\)まで変化させたときの線分\(\hspace{1pt}A'B'\hspace{2pt}\)の通過範囲となるので、\(\hspace{2pt}\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を満たす点を\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt},\hspace{1pt}D\hspace{1pt}\)としたときの三角形\(\hspace{1pt}OCD\hspace{2pt}\)の周および内部となります。

　

【問題(2)の解答】
　問題 : 『 三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{2pt}\)において\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OP} = s \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)(\(\hspace{1pt}s\hspace{1pt},\hspace{1pt}t\hspace{2pt}\)は実数)とする. このとき, 次の条件を満たす点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲を求めよ.
　(1) \(\hspace{1pt}s + t \leqq 2 \hspace{1pt},\hspace{1pt}s \geqq 0 \hspace{1pt},\hspace{1pt} t \geqq 0\)
　(2) \(\displaystyle\hspace{1pt}s + 2t \leqq \frac{1}{3}\hspace{1pt},\hspace{1pt}s \geqq 0 \hspace{1pt},\hspace{1pt} t \geqq 0\)』
　

まず、\(s + 2t = k \hspace{1pt}\)\(\displaystyle\hspace{1pt}(0 \leqq k \leqq \frac{1}{3})\hspace{2pt}\)における点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲を求めます。
\(\hspace{1pt}k \neq 0\hspace{2pt}\)であるとき、両辺を\(\hspace{1pt}k\hspace{1pt}\)で割ると $${\frac{s}{k} + \frac{2}{k}t = 1}$$ ここで\(\displaystyle \hspace{3pt}\frac{s}{k} = s' \hspace{1pt},\hspace{1pt}\frac{2}{k}t = t'\hspace{2pt}\)とすると $$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} & = \frac{s}{k} \left( k\overrightarrow{OA} \right)+ \frac{2}{k}t \left( \frac{k}{2}\overrightarrow{OB} \right)\\[0.5em] & = s' \left( k\overrightarrow{OA} \right)+ t' \left( \frac{k}{2}\overrightarrow{OB} \right)\\[0.5em] \end{aligned} $$

すなわち\(\displaystyle\hspace{3pt}\overrightarrow{OA'} = k\overrightarrow{OA}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\overrightarrow{OB'} = \frac{k}{2}\overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を満たす点\(\hspace{1pt}A'\hspace{1pt},\hspace{1pt}B'\hspace{1pt}\)をとると $${\overrightarrow{OP} = s' \overrightarrow{OA'} + t' \overrightarrow{OB'}}$$ $${s' + t' = 1 \hspace{1pt},\hspace{1pt}s' \geqq 0 \hspace{1pt},\hspace{1pt} t' \geqq 0}$$ となります。

このとき、点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲は\(\displaystyle\hspace{2pt}\overrightarrow{OA'} = k\overrightarrow{OA}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\overrightarrow{OB'} = \frac{k}{2}\overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を満たす点を\(\hspace{1pt}A'\hspace{1pt},\hspace{1pt}B'\hspace{1pt}\)としたときの線分\(\hspace{1pt}A'B'\hspace{2pt}\)となります。

また、\(k=0\hspace{2pt}\)のときは\(\hspace{3pt}s + 2t =0 \hspace{1pt},\hspace{1pt}s \geqq 0 \hspace{1pt},\hspace{1pt} t \geqq 0\) を満たす\(\hspace{1pt}s\hspace{1pt},\hspace{1pt}t\hspace{2pt}\)は\(\hspace{1pt}s=t=0\hspace{2pt}\)であるため、点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)は原点\(O\hspace{2pt}\)に一致します。

したがって、求める点\(\hspace{1pt}P\hspace{2pt}\)の存在範囲は\(\hspace{2pt}k\hspace{2pt}\)を\(\displaystyle\hspace{1pt}0 \leqq k \leqq \frac{1}{3}\hspace{2pt}\)まで変化させたときの線分\(\hspace{1pt}A'B'\hspace{2pt}\)の通過範囲となるので、\(\displaystyle\hspace{2pt}\overrightarrow{OC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\overrightarrow{OD} = \frac{1}{6}\overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を満たす点を\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt},\hspace{1pt}D\hspace{1pt}\)としたときの三角形\(\hspace{1pt}OCD\hspace{2pt}\)の周および内部となります。
　

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