点Pの存在範囲

【答え】
　(1) \(\overrightarrow{OA'} = 3\overrightarrow{OA}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\overrightarrow{OB'} = 3\overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を満たす点を\(\hspace{1pt}A'\hspace{1pt},\hspace{1pt}B'\hspace{1pt}\)としたときの直線\(\hspace{1pt}A'B'\)

　(2) \(\displaystyle\overrightarrow{OA'} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OA}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\overrightarrow{OB'} = \frac{3}{4}\overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を満たす点を\(\hspace{1pt}A'\hspace{1pt},\hspace{1pt}B'\hspace{1pt}\)としたときの線分\(\hspace{1pt}A'B'\)
　

【解答のポイント】
異なる二点\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)を通る直線を表す直線のベクトル方程式は $${\overrightarrow{OP} = s \hspace{1pt}\overrightarrow{OA} + t \hspace{1pt} \overrightarrow{OB}\hspace{10pt}(s+t=1)}$$ と表されます。

\(\hspace{1pt}s \geqq 0\hspace{1pt},\hspace{1pt}t \geqq 0\hspace{2pt}\)の条件が付く場合、上式は線分\(AB\hspace{2pt}\)を表します。
　

問題(1)で与えらえた条件式は\(\hspace{1pt}s + t = 3 \hspace{2pt}\)であるため、右辺を\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)にするために両辺を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)で割ると $${\frac{s}{3} + \frac{t}{3} = 1}$$ となります。

\(\displaystyle \hspace{3pt}\frac{s}{3} = s' \hspace{1pt},\hspace{1pt}\frac{t}{3} = t'\hspace{2pt}\)とすると $${s' +t' = 1}$$ となることから、\(s'\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}t'\hspace{1pt}\)に対する直線の方程式を作ることができます。

また、問題(2)も条件式\(\hspace{1pt}2s + 4t = 3\hspace{1pt}\)の右辺を\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)にするために両辺を\(\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\)で割ります。

点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲を求める問題では『条件式\(\hspace{1pt}s+t=a\hspace{2pt}\)の右辺が\(\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\)になるように変形する』と覚えておきましょう。
　

【問題(1)の解答】
　問題 : 『 三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{2pt}\)において\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OP} = s \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)(\(\hspace{1pt}s\hspace{1pt},\hspace{1pt}t\hspace{2pt}\)は実数)とする. このとき, 次の条件を満たす点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲を求めよ.
　(1) \(\hspace{1pt}s + t = 3 \)
　(2) \(\hspace{1pt}2s + 4t = 3 \hspace{1pt},\hspace{1pt}s \geqq 0 \hspace{1pt},\hspace{1pt} t \geqq 0\)』
　

\(\hspace{1pt}s + t = 3 \hspace{1pt}\)から $${\frac{s}{3} + \frac{t}{3} = 1}$$ ここで\(\displaystyle \hspace{3pt}\frac{s}{3} = s' \hspace{1pt},\hspace{1pt}\frac{t}{3} = t'\hspace{2pt}\)とすると $$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} & = \frac{s}{3} \left( 3\overrightarrow{OA} \right)+ \frac{t}{3} \left( 3\overrightarrow{OB} \right)\\[0.5em] & = s' \left( 3\overrightarrow{OA} \right)+ t' \left( 3\overrightarrow{OB} \right)\\[0.5em] \end{aligned} $$

すなわち\(\hspace{3pt}\overrightarrow{OA'} = 3\overrightarrow{OA}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\overrightarrow{OB'} = 3\overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を満たす点\(\hspace{1pt}A'\hspace{1pt},\hspace{1pt}B'\hspace{1pt}\)をとると $${\overrightarrow{OP} = s' \overrightarrow{OA'} + t' \overrightarrow{OB'}}$$ $${s' + t' = 1 }$$ となります。

以上から、求める点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲は\(\hspace{2pt}\overrightarrow{OA'} = 3\overrightarrow{OA}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\overrightarrow{OB'} = 3\overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を満たす点を\(\hspace{1pt}A'\hspace{1pt},\hspace{1pt}B'\hspace{1pt}\)としたときの直線\(\hspace{1pt}A'B'\hspace{2pt}\)となる。
　

【問題(2)の解答】
　問題 : 『 三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{2pt}\)において\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OP} = s \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)(\(\hspace{1pt}s\hspace{1pt},\hspace{1pt}t\hspace{2pt}\)は実数)とする. このとき, 次の条件を満たす点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲を求めよ.
　(1) \(\hspace{1pt}s + t = 3 \)
　(2) \(\hspace{1pt}2s + 4t = 3 \hspace{1pt},\hspace{1pt}s \geqq 0 \hspace{1pt},\hspace{1pt} t \geqq 0\)』
　

\(\hspace{1pt}2s + 4t = 3 \hspace{1pt}\)から $${\frac{2}{3}s + \frac{4}{3}t = 1}$$ ここで\(\displaystyle \hspace{3pt}\frac{2}{3}s = s' \hspace{1pt},\hspace{1pt}\frac{4}{3}t = t'\hspace{2pt}\)とすると $$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} & = \frac{2}{3}s \left( \frac{3}{2}\overrightarrow{OA} \right)+ \frac{4}{3}t \left( \frac{3}{4}\overrightarrow{OB} \right)\\[0.5em] & = s' \left( \frac{3}{2}\overrightarrow{OA} \right)+ t' \left( \frac{3}{4}\overrightarrow{OB} \right)\\[0.5em] \end{aligned} $$

すなわち\(\displaystyle\hspace{3pt}\overrightarrow{OA'} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OA}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\overrightarrow{OB'} = \frac{3}{4}\overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を満たす点\(\hspace{1pt}A'\hspace{1pt},\hspace{1pt}B'\hspace{1pt}\)をとると $${\overrightarrow{OP} = s' \overrightarrow{OA'} + t' \overrightarrow{OB'}}$$ $${s' + t' = 1 \hspace{1pt},\hspace{1pt}s' \geqq 0 \hspace{1pt},\hspace{1pt} t' \geqq 0}$$ となります。

以上から、求める点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲は\(\displaystyle\hspace{2pt}\overrightarrow{OA'} = \frac{3}{2}\overrightarrow{OA}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\overrightarrow{OB'} = \frac{3}{4}\overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を満たす点を\(\hspace{1pt}A'\hspace{1pt},\hspace{1pt}B'\hspace{1pt}\)としたときの線分\(\hspace{1pt}A'B'\hspace{2pt}\)となる。
　

【関連するページ】
・直線のベクトル方程式