ベクトルの等式と三角形の面積比
◆第問目！
(1) 点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)はどのような位置の点か述べよ.
(2) 面積の比 \(\triangle APB : \triangle APC : \triangle PBC\hspace{2pt}\)を求めよ.
内分点の公式を用いて点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の位置を求めます。
線分\(BC\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}m : n\hspace{2pt}\)に内分する点を\(\hspace{1pt}Q\hspace{2pt}\)とするとベクトル\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AQ}\hspace{2pt}\)は $${\overrightarrow{AQ} = \frac{n \hspace{1pt} \overrightarrow{AB}+ m \hspace{1pt}\overrightarrow{AC}}{m+n}}$$ と表されます。そこで $${\overrightarrow{AP} = k \left(\frac{n \hspace{1pt} \overrightarrow{AB}+ m \hspace{1pt}\overrightarrow{AC}}{m+n} \right)}$$ と変形すれば、直線\(\hspace{1pt}AQ\hspace{1pt}\)上に点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)があることを示すことができます。
高さの等しい三角形では『底辺の長さの比が面積の比となる』ことから、三角形の面積の比を求めます。
【答え】
(1) 点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)は辺\(\hspace{1pt}BC\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}3 : 2\hspace{1pt}\)に内分する点を\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)としたとき、線分\(\hspace{1pt}AQ\hspace{2pt}\)を\(\hspace{1pt}5 : 1\hspace{1pt}\)に内分する点
(2) \(\triangle APB : \triangle APC : \triangle PBC = 3 : 2 : 1\)
【解答のポイント】
等式\(\hspace{3pt}a\overrightarrow{PA} + b\overrightarrow{PB} + c \overrightarrow{PC}=0\hspace{2pt}\)の満たす点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の位置を求める問題では、内分点の公式を用いて点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の位置を求めます。
線分\(BC\hspace{2pt}\)を\(\hspace{2pt}m : n\hspace{2pt}\)に内分する点を\(\hspace{1pt}Q\hspace{2pt}\)とすると ベクトル\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AQ}\hspace{2pt}\)は $${\overrightarrow{AQ} = \frac{n \hspace{1pt} \overrightarrow{AB}+ m \hspace{1pt}\overrightarrow{AC}}{m+n}}$$ と表されます。そこで $${\overrightarrow{AP} = k \left(\frac{n \hspace{1pt} \overrightarrow{AB}+ m \hspace{1pt}\overrightarrow{AC}}{m+n} \right)}$$ と変形すれば、直線\(\hspace{1pt}AQ\hspace{1pt}\)上に点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)があることを示すことができます。
ベクトルの等式は以下のように、点\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)を基準に差の式で分解することがポイントです。
$${\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP}}$$
$${\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AP}}$$
問題(2)は、高さの等しい三角形では『底辺の長さの比が面積の比となる』ことを利用します。
問題(1)で辺の比を求めたので、三角形\(\hspace{1pt}ABC\hspace{2pt}\)の面積を\(\hspace{1pt}S\hspace{1pt}\)として面積の比を求めます。
【問題(1)の解答】
問題 : 『 三角形\(\hspace{1pt}ABC\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)において\(\hspace{1pt}\overrightarrow{PA} + 2 \overrightarrow{PB} + 3 \overrightarrow{PC}=0\hspace{2pt}\)が成り立つとき, 次の問いに答えよ.
(1) 点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)はどのような位置の点か述べよ.
(2) 面積の比 \(\triangle APB : \triangle APC : \triangle PBC\hspace{2pt}\)を求めよ.』
まず、問題の等式\(\hspace{1pt}\overrightarrow{PA} + 2 \overrightarrow{PB} + 3 \overrightarrow{PC}=0\hspace{2pt}\)を変形すると
すなわち $$ \begin{aligned} \overrightarrow{AP} & = \frac{2\overrightarrow{AB} + 3 \overrightarrow{AC}}{6}\\[0.5em] & = \frac{5}{6}\cdot\frac{2\overrightarrow{AB} + 3 \overrightarrow{AC}}{5}\\[0.5em] \end{aligned} $$
ここで、\(\displaystyle\overrightarrow{AQ} = \frac{2\overrightarrow{AB} + 3 \overrightarrow{AC}}{5}\hspace{2pt}\)とおくと、内分点の公式から点\(\hspace{1pt}Q\hspace{1pt}\)は辺\(BC\hspace{2pt}\)を\(\hspace{1pt}3 : 2\hspace{1pt}\)に内分する点となります。
また、\(\displaystyle\overrightarrow{AP} = \frac{5}{6}\overrightarrow{AQ}\hspace{2pt}\)より\(\hspace{1pt}AP : PQ = 5 :1\hspace{2pt}\)となります。
したがって、点\(\hspace{1pt}P\hspace{2pt}\)は辺\(\hspace{1pt}BC\hspace{2pt}\)を\(\hspace{1pt}3 : 2\hspace{1pt}\)に内分する点を\(\hspace{1pt}Q\hspace{2pt}\)としたとき、線分\(\hspace{1pt}AQ\hspace{2pt}\)を\(\hspace{1pt}5 : 1\hspace{1pt}\)に内分する点となります。
【問題(2)の解答】
問題 : 『 三角形\(\hspace{1pt}ABC\hspace{2pt}\)と点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)において\(\hspace{1pt}\overrightarrow{PA} + 2 \overrightarrow{PB} + 3 \overrightarrow{PC}=0\hspace{2pt}\)が成り立つとき, 次の問いに答えよ.
(1) 点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)のどのような位置の点か述べよ.
(2) 面積の比 \(\triangle APB : \triangle APC : \triangle PBC\hspace{2pt}\)を求めよ.』
三角形\(\hspace{1pt}ABC\hspace{2pt}\)の面積を\(\hspace{1pt}S\hspace{1pt}\)とします。
\(\hspace{1pt}BQ : QC = 3 : 2\hspace{1pt}\)であることから $${\triangle ABQ = \frac{3}{5}S\hspace{1pt},\hspace{1pt}\triangle AQC = \frac{2}{5}S}$$ となります。
すなわち $${\triangle APB = \frac{5}{6}\triangle ABQ = \frac{1}{2}S}$$ $${\triangle APC = \frac{5}{6}\triangle AQC = \frac{1}{3}S}$$
したがって
となります。
【関連するページ】
・内分点の公式