◆第問目！
内積の定義 $${\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \hspace{1pt}|\vec{b}| \cos \theta}$$ から不等式が成り立つことを示します。
先に\(\hspace{2pt} |\vec{a}+ \vec{b}| \leqq |\vec{a}| +|\vec{b}|\hspace{2pt}\)から証明します。
両辺を二乗して移項した $${(|\vec{a}| +|\vec{b}|)^2 - |\vec{a}+ \vec{b}|^2 \geqq 0}$$ を示します。
また、先に証明した\(\hspace{2pt} |\vec{a}+ \vec{b}| \leqq |\vec{a}| +|\vec{b}|\hspace{2pt}\)を変形することで\(\hspace{2pt} |\vec{a}| -|\vec{b}| \leqq |\vec{a}+ \vec{b}|\hspace{2pt}\)を証明することができます。
【答え】
(1),(2) 証明問題のため省略
【解答のポイント】
問題(1)の不等式は内積の定義
$${\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \hspace{1pt}|\vec{b}| \cos \theta}$$
から成り立つことを示します。
問題(2)の不等式は、先に\(\hspace{2pt} |\vec{a}+ \vec{b}| \leqq |\vec{a}| +|\vec{b}|\hspace{2pt}\)から証明します。
両辺を二乗して移項した $${(|\vec{a}| +|\vec{b}|)^2 - |\vec{a}+ \vec{b}|^2 \geqq 0}$$ を示します。
ベクトルの絶対値は二乗することで、以下のように展開できます。
$$
\begin{aligned}
& \hspace{12pt} |\vec{a}+ \vec{b}|^2 \\[0.5em]
& = (\vec{a}+ \vec{b})\cdot (\vec{a}+ \vec{b}) \\[0.5em]
& = \vec{a}\cdot \vec{a} +2\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{b}\\[0.5em]
& = |\vec{a}|^2 +2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2\\[0.5em]
\end{aligned}
$$
【問題(1)の解答】
問題 : 『 \(\hspace{1pt}-|\vec{a}| |\vec{b}|\leqq \vec{a}\cdot \vec{b} \leqq |\vec{a}| |\vec{b}|\) を証明せよ.』
[1] \(\vec{a} = \vec{0}\hspace{2pt}\)もしくは\(\hspace{2pt}\vec{b} = \vec{0}\hspace{2pt}\)のとき
$$
\begin{aligned}
&\vec{a}\cdot \vec{b} = 0\\[0.5em]
&|\vec{a}| |\vec{b}| =0\\
\end{aligned}
$$
であることから、\(- |\vec{a}| |\vec{b}|=\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}|\hspace{3pt}\)となり問題(1)の不等式は成り立ちます。
[2] \(\vec{a} \neq \vec{0}\hspace{2pt}\)\(,\hspace{2pt}\vec{b} \neq \vec{0}\hspace{2pt}\)のとき
\(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)のなす角を\(\hspace{1pt}\theta\hspace{1pt}(0 \leqq \theta \leqq 180^\circ)\hspace{2pt}\)とすると
$${\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta}$$
となります。
ここで、\(0 \leqq \theta \leqq 180^\circ\hspace{2pt}\)のとき\(\hspace{1pt}-1 \leqq \cos \theta \leqq 1 \hspace{2pt}\)であることから $${-|\vec{a}| |\vec{b}|\leqq |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \leqq |\vec{a}| |\vec{b}| }$$ よって $${-|\vec{a}| |\vec{b}|\leqq \vec{a}\cdot \vec{b} \leqq |\vec{a}| |\vec{b}| }$$ すなわち、問題(1)の不等式は成り立ちます。
[1],[2]より問題(1)の不等式
$${-|\vec{a}| |\vec{b}|\leqq \vec{a}\cdot \vec{b} \leqq |\vec{a}| |\vec{b}| }$$
は成り立ちます。
【問題(2)の解答】
問題 : 『 \(\hspace{1pt}|\vec{a}| -|\vec{b}| \leqq |\vec{a}+ \vec{b}| \leqq |\vec{a}| +|\vec{b}|\) を証明せよ.』
まず、\( |\vec{a}+ \vec{b}| \leqq |\vec{a}| +|\vec{b}|\hspace{2pt}\)を証明します。
ここで、問題(1)で示した不等式\(\hspace{1pt}\hspace{2pt}\)から $${2(|\vec{a}||\vec{b}| -\vec{a} \cdot \vec{b} ) \geqq 0}$$ となります。
すなわち $${|\vec{a}+ \vec{b}|^2 \leqq (|\vec{a}| +|\vec{b}|)^2 }$$ が成り立ちます。
\(\hspace{1pt}|\vec{a}+ \vec{b}| \geqq 0 \hspace{1pt},\hspace{1pt}|\vec{a}| +|\vec{b}| \geqq 0\hspace{2pt}\)であることから $${|\vec{a}+ \vec{b}| \leqq |\vec{a}| +|\vec{b}|}\cdots ①$$ が示されます。
ここで、\(①\hspace{1pt}\)式は任意のベクトル\(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)について成り立つので\(\hspace{2pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)を\(\hspace{1pt}\vec{a}+\vec{b}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\)\(\hspace{1pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)を\(\hspace{1pt}-\vec{b}\hspace{2pt}\)とすると
となります。
\(\hspace{1pt}①\hspace{1pt},\hspace{1pt}②\hspace{2pt}\)から
$${|\vec{a}| -|\vec{b}| \leqq |\vec{a}+ \vec{b}| \leqq |\vec{a}| +|\vec{b}|}$$
が成り立ちます。
【関連するページ】
・内積の定義