◆第問目！
\(\hspace{1pt}OA \perp OC\hspace{2pt}\)であることは\(\hspace{2pt}\overrightarrow{OA} \neq \vec{0} , \overrightarrow{OC} \neq \vec{0}\hspace{2pt}\)であるとき $${\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC} = 0}$$ から示すことができます。
ベクトル\(\hspace{2pt}\overrightarrow{OA}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{2pt}\overrightarrow{OB}\hspace{1pt}\)の内積を調べると $${\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} = 0}$$ であることから、三角形\(\hspace{1pt}O\hspace{0.2pt}A\hspace{0.2pt}B\hspace{2pt}\)は直角三角形となります。
問題(1)から、四面体\(\hspace{1pt}O\hspace{0.2pt}A\hspace{0.2pt}B\hspace{0.2pt}C\hspace{2pt}\)は三角形\(\hspace{1pt}O\hspace{0.2pt}A\hspace{0.2pt}B\hspace{2pt}\)を底面としたときに、高さが\(\hspace{1pt}|\overrightarrow{OC}| \hspace{1pt}\)となります。
求められた体積は\(\hspace{1pt}t\hspace{2pt}\)の三次関数となることから、微分して\(\hspace{2pt} 0 < t < 1\hspace{2pt}\)における極値を調べて最大値を求めます。
【答え】
(1) 証明問題のため省略
(2) \(\hspace{1pt}S(t) =\sqrt{2} t^2 \hspace{2pt}\)
(3) \(\displaystyle {t=\frac{2}{3}}\) で最大値\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{8}{81}\hspace{2pt}\)
【解答のポイント】
本問は問題(1)で
$$ OA \perp OC\hspace{2pt},\hspace{1pt}OB \perp OC $$
の関係を導きます。
この関係が成り立つとき、四面体\(\hspace{1pt}O\hspace{0.2pt}A\hspace{0.2pt}B\hspace{0.2pt}C\hspace{2pt}\)は三角形\(\hspace{1pt}O\hspace{0.2pt}A\hspace{0.2pt}B\hspace{2pt}\)を底面としたときに、高さが\(\hspace{1pt}|\overrightarrow{OC}| \hspace{1pt}\)となります。
四面体の体積\(\hspace{2pt}V\hspace{1pt}\)は底面となる三角形の面積を\(\hspace{2pt}S\hspace{1pt}\)、高さを\(\hspace{2pt}h\hspace{2pt}\)とすれば
$${V = \frac{1}{3}S h}$$
から求められます。
体積\(\hspace{1pt}V(t)\hspace{1pt}\)は\(\hspace{1pt}t\hspace{2pt}\)の三次関数となることから、微分して\(\hspace{2pt} 0 < t < 1\hspace{2pt}\)における極値を調べます。
【問題(1)の解答】
問題 : 『座標空間に\(\hspace{1pt}O(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}A(2t\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}2t)\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}B(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}t\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}C(1-t\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}t-1)\hspace{2pt}\)をとるとき, 次の問いに答えよ.
(1) \(\hspace{1pt}OA \perp OC\hspace{2pt},\)\(\hspace{1pt}OB \perp OC\hspace{2pt}\)を示せ.
(2) 三角形\(\hspace{1pt}O\hspace{0.2pt}A\hspace{0.2pt}B\hspace{2pt}\)の面積\(\hspace{1pt}S(t)\hspace{2pt}\)を求めよ.
(3) 四面体\(\hspace{1pt}O\hspace{0.2pt}A\hspace{0.2pt}B\hspace{0.2pt}C\hspace{2pt}\)の体積\(\hspace{1pt}V(t)\hspace{1pt}\)の\(\hspace{2pt}0 < t < 1\hspace{2pt}\)における最大値と, そのときの\(\hspace{2pt}t\hspace{1pt}\)の値を求めよ.』
ベクトル\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OA} \hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}\overrightarrow{OB} \hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}\overrightarrow{OC} \hspace{2pt}\)は $$ \begin{aligned} \overrightarrow{OA} & = (2t\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}2t) \\[0.5em] \overrightarrow{OB} & = (0\hspace{1pt},\hspace{1pt}t\hspace{1pt},\hspace{1pt}0) \\[0.5em] \overrightarrow{OC} & = (1-t\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}t-1) \\[0.5em] \end{aligned} $$ であることから
となります。
\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OA}\hspace{2pt},\hspace{2pt}\overrightarrow{OB}\hspace{2pt},\hspace{2pt}\overrightarrow{OC}\hspace{2pt}\)はいずれも零ベクトルではないことから\(\hspace{2pt}OA \perp OC\hspace{2pt},\)\(\hspace{1pt}OB \perp OC\hspace{2pt}\)は成り立ちます。
【問題(2)の解答】
問題 : 『座標空間に\(\hspace{1pt}O(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}A(2t\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}2t)\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}B(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}t\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}C(1-t\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}t-1)\hspace{2pt}\)をとるとき, 次の問いに答えよ.
(1) \(\hspace{1pt}OA \perp OC\hspace{2pt},\)\(\hspace{1pt}OB \perp OC\hspace{2pt}\)を示せ.
(2) 三角形\(\hspace{1pt}O\hspace{0.2pt}A\hspace{0.2pt}B\hspace{2pt}\)の面積\(\hspace{1pt}S(t)\hspace{2pt}\)を求めよ.
(3) 四面体\(\hspace{1pt}O\hspace{0.2pt}A\hspace{0.2pt}B\hspace{0.2pt}C\hspace{2pt}\)の体積\(\hspace{1pt}V(t)\hspace{1pt}\)の\(\hspace{2pt}0 < t < 1\hspace{2pt}\)における最大値と, そのときの\(\hspace{2pt}t\hspace{1pt}\)の値を求めよ.』
内積\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を求めると
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} & = 2t\cdot 0 + 0 \cdot t + 2t \cdot 0 \\[0.5em]
& = 0 \\[0.5em]
\end{aligned}
$$
であり、\(\overrightarrow{OA}\hspace{2pt},\hspace{2pt}\overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)はどちらも零ベクトルではないことから\(\hspace{1pt}OA \perp OB\hspace{2pt}\)となります。
つまり、三角形\(\hspace{1pt}O\hspace{0.2pt}A\hspace{0.2pt}B\hspace{2pt}\)は\(\hspace{1pt}\angle AOB = 90^\circ\hspace{2pt}\)の直角三角形であるから、三角形\(\hspace{1pt}O\hspace{0.2pt}A\hspace{0.2pt}B\hspace{2pt}\)の面積\(\hspace{1pt}S\hspace{2pt}\)は
と求められます。
【問題(3)の解答】
問題 : 『座標空間に\(\hspace{1pt}O(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}A(2t\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}2t)\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}B(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}t\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}C(1-t\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}t-1)\hspace{2pt}\)をとるとき, 次の問いに答えよ.
(1) \(\hspace{1pt}OA \perp OC\hspace{2pt},\)\(\hspace{1pt}OB \perp OC\hspace{2pt}\)を示せ.
(2) 三角形\(\hspace{1pt}O\hspace{0.2pt}A\hspace{0.2pt}B\hspace{2pt}\)の面積\(\hspace{1pt}S(t)\hspace{2pt}\)を求めよ.
(3) 四面体\(\hspace{1pt}O\hspace{0.2pt}A\hspace{0.2pt}B\hspace{0.2pt}C\hspace{2pt}\)の体積\(\hspace{1pt}V(t)\hspace{1pt}\)の\(\hspace{2pt}0 < t < 1\hspace{2pt}\)における最大値と, そのときの\(\hspace{2pt}t\hspace{1pt}\)の値を求めよ.』
問題(1)から、四面体\(\hspace{1pt}O\hspace{0.2pt}A\hspace{0.2pt}B\hspace{0.2pt}C\hspace{2pt}\)は三角形\(\hspace{1pt}O\hspace{0.2pt}A\hspace{0.2pt}B\hspace{2pt}\)を底面としたとき、高さが\(\hspace{1pt}|\overrightarrow{OC}| \hspace{1pt}\)となることから
ここで、\( 0 < t < 1\hspace{2pt}\)であることから $$ \begin{aligned} V(t) & = \frac{2}{3} t^2 (-t+1) \\[0.5em] & = \frac{2}{3} (-t^3+t^2) \\[0.5em] \end{aligned} $$ となります。
ここで、\(V(t)\hspace{1pt}\)を微分すると $${V'(t) = \frac{2}{3}(-3t^2+2t)}$$ となります。
\({V'(t)=0}\) を解くと $$\begin{aligned} \frac{2}{3}(-3t^2+2t) & =0\\[0.5em] -2t \left(t - \frac{2}{3} \right) & =0\\[0.5em] \end{aligned}$$ であることから\(\displaystyle\hspace{3pt}t = 0 , \frac{2}{3}\hspace{1pt}\)となります。
\(\hspace{1pt} 0 < t < 1\hspace{2pt}\)における \(\displaystyle{V'(t)}\) の符号の変化を調べると
\(\displaystyle {V'(t)=-2t \left(t - \frac{2}{3} \right)}\) より
\(\displaystyle{0 < t < \frac{2}{3}}\) のとき \({V'(t) > 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{3} < t < 1}\) のとき \({V'(t) < 0}\)
となります。
よって、関数\(\displaystyle {V(t)}\) は \(\displaystyle {t=\frac{2}{3}}\) で極大値をとります。
このときの体積\(\hspace{1pt}V(t)\hspace{2pt}\)の値は $${V\left(\frac{2}{3} \right ) = \frac{8}{81}}$$ となります。
したがって、問題の四面体は \(\displaystyle {t=\frac{2}{3}}\) で最大値\(\displaystyle\hspace{2pt}\frac{8}{81}\hspace{2pt}\)をとります。
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