◆第問目！
ベクトルの\(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)の大きさ\(\hspace{1pt}|\vec{a}|\hspace{2pt}\)は $${|\vec{a}| = \sqrt{a_1^{\hspace{1pt}2} + a_2^{\hspace{1pt}2}}}$$ から求められます。
ベクトル\(\hspace{2pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)と同じ向きの単位ベクトル\(\hspace{2pt}\vec{e}\hspace{2pt}\)は $${\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}}$$ から求められます。
ベクトル\(\hspace{2pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)と平行な単位ベクトルは、\(\vec{a}\hspace{2pt}\)と反対方向の単位ベクトルも含むことから $${\vec{e} = \pm\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}}$$ から求められます。
【答え】
(1) \(\hspace{1pt}|\vec{a}| = 2\hspace{2pt}\)
(2) \(\displaystyle \left(\hspace{1pt}\frac{1}{2}\hspace{1pt},\hspace{1pt}-\frac{\sqrt{3}}{2}\hspace{1pt} \right)\)
(3) \(\displaystyle \left(\hspace{1pt}\frac{1}{2}\hspace{1pt},\hspace{1pt}-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\hspace{1pt},\hspace{1pt}\)\(\displaystyle \left(\hspace{1pt}-\frac{1}{2}\hspace{1pt},\hspace{1pt}\frac{\sqrt{3}}{2}\hspace{1pt}\right)\)
【解答のポイント】
成分表示されたベクトルの大きさと単位ベクトルを求める問題です。
ベクトルの大きさは $${|\vec{a}| = \sqrt{a_1^{\hspace{1pt}2} + a_2^{\hspace{1pt}2}}}$$ ベクトル\(\hspace{2pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)と同じ向きの単位ベクトル\(\hspace{2pt}\vec{e}\hspace{2pt}\)は $${\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}}$$ から求められます。
ベクトル\(\hspace{2pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)と平行な単位ベクトルは、\(\vec{a}\hspace{2pt}\)と反対方向の単位ベクトルも含むことから
$${\vec{e} = \pm\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}}$$
から求められます。
【(1)の解答】
問題 : 『\(\hspace{2pt}\vec{a} = (\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-\sqrt{3}\hspace{1pt}) \hspace{2pt}\)に対して\(\hspace{1pt}|\vec{a}|\hspace{2pt}\)を求めよ.』
ベクトル\(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)の大きさは
$$
\begin{aligned}
|\vec{a}| &= \sqrt{1^3+(-\sqrt{3})^2} \\[0.3em]
&= \sqrt{4} \\[0.3em]
&= 2 \\[0.3em]
\end{aligned}
$$
と求められます。
【(2)の解答】
問題 : 『\(\hspace{2pt}\vec{a} = (\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-\sqrt{3}\hspace{1pt}) \hspace{2pt}\)に対して\(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)と同じ向きの単位ベクトルを求めよ』
\(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)と同じ向きの単位ベクトルは
$$
\begin{aligned}
\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} &= \frac{1}{2}(\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-\sqrt{3}\hspace{1pt}) \\[0.5em]
&=\left(\hspace{1pt}\frac{1}{2}\hspace{1pt},\hspace{1pt}-\frac{\sqrt{3}}{2}\hspace{1pt}\right) \\[0.5em]
\end{aligned}
$$
と求められます。
【(3)の解答】
問題 : 『\(\hspace{2pt}\vec{a} = (\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-\sqrt{3}\hspace{1pt}) \hspace{2pt}\)に対して\(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)と平行な単位ベクトルを求めよ』
\(\hspace{1pt}\vec{a}\hspace{2pt}\)と平行な単位ベクトルは
$$
\begin{aligned}
\pm\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} &= \pm \frac{1}{2}(\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}-\sqrt{3}\hspace{1pt}) \\[0.5em]
&=\pm \left(\hspace{1pt}\frac{1}{2}\hspace{1pt},\hspace{1pt}-\frac{\sqrt{3}}{2}\hspace{1pt}\right) \\[0.5em]
\end{aligned}
$$
と求められます。
【関連するページ】
・単位ベクトル