垂心の位置ベクトルを求める問題

【答え】
\(\displaystyle \overrightarrow{OH} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}\)
　

【解答のポイント】
垂心とは、以下の図のように各頂点から対辺(またはその延長線)に垂直に下した垂線が交わる点のことをいいます。

\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)を実数とし $${\overrightarrow{OH} = x \vec{a} + y\vec{b}}$$ とおき、頂点から下した垂線と対辺が垂直に交わるという条件から\(\hspace{1pt}(x,y)\hspace{1pt}\)の満たす式を\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つ作り、連立させて\(\hspace{1pt}(x,y)\hspace{1pt}\)の値を求めます。
　

【問題の解答】
　問題 : 『\(\hspace{1pt}\angle AOB\hspace{1pt}\)が鋭角である三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{1pt}\)において\(\hspace{1pt}OA =4 \hspace{1pt},\hspace{1pt}OB = 5\hspace{1pt}\)であり, 三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{1pt}\)の面積が\(\displaystyle\hspace{1pt}5\sqrt{3}\hspace{2pt}\)であるとする.
　三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{1pt}\)の垂心を\(\hspace{1pt}H\hspace{1pt}\)としたとき, \(\overrightarrow{OH}\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OA}=\vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OB}=\vec{b}\hspace{2pt}\)により表せ.』
　

まず、後の計算で必要となるので内積\(\hspace{2pt}\vec{b} \cdot \vec{c}\hspace{2pt}\)の値を求めます。

三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{1pt}\)の面積が\(\displaystyle\hspace{1pt}5\sqrt{3}\hspace{2pt}\)であることから、\(\angle AOB\hspace{1pt}\)の角度を\(\hspace{1pt}\theta\hspace{1pt}\)とすると三角形の面積公式から

$$ \begin{aligned} 5 \sqrt{3} &= \frac{1}{2} |\vec{a}|\hspace{1pt} |\vec{b}| \sin \theta \\[0.5em] &= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin \theta \\[0.5em] & = 10 \sin \theta \end{aligned} $$ すなわち $${\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ \(\hspace{1pt}\theta\hspace{1pt}\)は鋭角であることから、\(0^\circ < \theta < 90^\circ\hspace{2pt}\)の範囲で解くと $${\theta = 60^\circ}$$ となります。

したがって、内積\(\hspace{2pt}\vec{a} \cdot \vec{b}\hspace{2pt}\)は $$ \begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= |\vec{a}| \hspace{1pt} |\vec{b}| \cos 60^\circ \\[0.5em] &= 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} \\[0.5em] & = 10 \end{aligned} $$ となります。
　

ここで\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{1pt}\)を実数とし $${\overrightarrow{OH} = x \overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}}$$ とします。

\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OA} = \vec{a}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\overrightarrow{BH}\hspace{1pt}\)が垂直であることから $${\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{BH} = 0}$$ すなわち $${\overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OB} ) = 0}$$ よって $${\vec{a} \cdot (x \vec{a} + y\vec{b} - \vec{b} ) = 0}$$ となります。上式を展開すると

となります。
　

また、\(\overrightarrow{OB} = \vec{b}\hspace{2pt}\)と\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AH}\hspace{1pt}\)が垂直であることから $${\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{AH} = 0}$$ すなわち $${\overrightarrow{OB} \cdot (\overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OA} ) = 0}$$ よって $${\vec{b}\cdot (x \vec{a} + y\vec{b} - \vec{a} ) = 0}$$ となります。上式を展開すると

となります。

\(\hspace{1pt}|\vec{a}| =4 \hspace{1pt},\hspace{1pt}|\vec{b}| = 5\hspace{1pt},\)\(\hspace{1pt}\vec{a} \cdot \vec{b} =10\hspace{1pt}\)であることから (1),(2)式は \[ \begin{cases} 16x +10(y-1) = 0 \\ 10(x-1) + 25y = 0 \end{cases} \] となります。

この連立方程式を解くと\(\displaystyle\hspace{1pt}x = \frac{1}{2}\hspace{1pt},\hspace{1pt}y=\frac{1}{5}\hspace{2pt}\)となります。

したがって、求める\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OH}\hspace{1pt}\)は $${\overrightarrow{OH} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}}$$ となります。
　

【入試本番に向けたアドバイス】
本問は垂心の位置ベクトルを求める問題です。

位置ベクトルに関連した問題では 重心・内心・外心・垂心 の位置ベクトルを求める問題が頻繁に出題されます。

本問の垂心は各頂点から対辺に垂直に下した垂線が交わる点であることから、(内積)\(\hspace{1pt}=0\hspace{1pt}\)の条件を用いることが定石です。

ベクトルの問題は (内積)\(\hspace{1pt}=0\hspace{1pt}\) の条件を足がかりにして解くパターンが多いです。垂直に交わる直線がある問題では、まず最初に (内積)\(\hspace{1pt}=0\hspace{1pt}\) の条件が使えないかを確認しましょう。
　

【関連するページ】
・ベクトルの分解

・ベクトルの内積

・三角形の面積公式