点Pの存在範囲(条件式が2つの不等式)

【答え】
　点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲は以下の平行四辺形\(\hspace{1pt}BCED\hspace{2pt}\)の周と内部
　

【解答のポイント】
点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲を求める問題では
異なる二点\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\)を通る直線を表す直線のベクトル方程式 $${\overrightarrow{OP} = s \hspace{1pt}\overrightarrow{OA} + t \hspace{1pt} \overrightarrow{OB}\hspace{10pt}(s+t=1)}$$ となるように条件式を変形する解法が定石です。

しかし、本問の条件式は\(\hspace{2pt}0 \leqq s \leqq 2 \hspace{1pt},\hspace{1pt}1 \leqq t \leqq 3 \hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの不等式で表されており、\(s\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}t\hspace{1pt}\)が相互に影響せずに動くため、直線のベクトル方程式で表せません。

そこで、まず\(\hspace{2pt} k \hspace{1pt}\)を定数として、\(\hspace{1pt}s=k\hspace{2pt}\)\(\hspace{1pt}(0 \leqq k \leqq 2)\hspace{2pt}\)とおくことで\(\hspace{1pt}s\hspace{2pt}\)を固定して考えます。

\(\hspace{2pt}\overrightarrow{OQ} = k \overrightarrow{OA}\hspace{1pt}\hspace{2pt}\)とすれば $${\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ} + t \overrightarrow{OB}}$$ となることから、\(1 \leqq t \leqq 3\hspace{2pt}\)と変化するときの点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の範囲を求めます。

さらに、定数\(\hspace{1pt}k\hspace{1pt}\)を\(\hspace{1pt}0 \leqq k \leqq 2\hspace{2pt}\)と変化させることで問題の範囲を求めることができます。
　

【問題の解答】
　問題 : 『 座標平面上に\(\hspace{1pt}3\hspace{2pt}\)点\(\hspace{1pt}O\hspace{1pt}(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{1pt},\)\(\hspace{1pt}A\hspace{1pt}(2\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{1pt},\)\(\hspace{1pt}B\hspace{1pt}(1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{1pt}\)をとる. \(\hspace{2pt}\overrightarrow{OP} = s \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)(\(\hspace{1pt}s\hspace{1pt},\hspace{1pt}t\hspace{2pt}\)は実数)とするとき \(0 \leqq s \leqq 2 \hspace{1pt},\)\(\hspace{1pt}1 \leqq t \leqq 3 \hspace{1pt}\)を満たす点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲を図示せよ.
　

まず、\( k \hspace{1pt}\)を定数として\(\hspace{1pt}s=k\hspace{2pt}\)\(\hspace{1pt}(0 \leqq k \leqq 2)\hspace{2pt}\)とします。
このとき\(\hspace{2pt}\overrightarrow{OP} = k \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)となります。

ここで\(\hspace{2pt}\overrightarrow{OQ} = k \overrightarrow{OA}\hspace{1pt}\hspace{2pt}\)とすると $${\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ} + t \overrightarrow{OB}}$$ となります。

\(\hspace{1pt}t\hspace{2pt}\)の値が\(\hspace{1pt}1 \leqq t \leqq 3\hspace{2pt}\)と変化するとき
\(\hspace{2pt}\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を満たす点を\(\hspace{1pt}R\hspace{1pt},\)\(\hspace{2pt}\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OQ} + 3 \overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を満たす点を\(\hspace{1pt}S\hspace{1pt}\)としたとき、点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)は線分\(RS\hspace{1pt}\)上を動きます。
　

点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲は、\( k \hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}0 \leqq k \leqq 2\hspace{1pt}\)の範囲を変化したときの線分\(RS\hspace{1pt}\)の通過範囲となります。

よって、求める点\(\hspace{1pt}P\hspace{1pt}\)の存在範囲は\(\hspace{2pt}\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を満たす点を\(\hspace{1pt}C\hspace{1pt}(3\hspace{1pt},\hspace{1pt}3),\)\(\hspace{2pt}\overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を満たす点を\(\hspace{1pt}D\hspace{1pt}(5\hspace{1pt},\hspace{1pt}1),\)\(\hspace{2pt}\overrightarrow{OE} = 2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を満たす点を\(\hspace{1pt}E\hspace{1pt}(7\hspace{1pt},\hspace{1pt}3)\)としたときの平行四辺形\(\hspace{1pt}BCED\hspace{2pt}\)の周と内部となります。
　

【関連するページ】
・直線のベクトル方程式