|a+tb|の最小値を求める問題

【答え】
\(\displaystyle t = \frac{1}{4} \hspace{2pt}\)のとき最小値\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{\sqrt{35}}{2}\)
　

【解答のポイント】
\(\hspace{2pt}|\vec{a} + t\vec{b}| \geqq 0\hspace{2pt}\)から

　\(|\vec{a} + t\vec{b}|^2\hspace{2pt}\)が最小であるとき\(\hspace{3pt}|\vec{a} + t\vec{b}|\hspace{2pt}\)も最小

であることを利用します。
　

\(|\vec{a} + t\vec{b}|^2\hspace{2pt}\)の値は同じベクトル同士の内積 $$ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{p} & = |\vec{p}| \hspace{1pt}|\vec{p}| \cos 180^\circ\\[0.5em] &= |\vec{p}|^2\\ \end{aligned} $$ を利用します。上式から\(\hspace{3pt}|\vec{a} + t \vec{b}|^2\hspace{2pt}\)は

となります。
　

【解答】
　問題 : 『\(\hspace{1pt}|\vec{a}| = 3\hspace{1pt},\hspace{2pt}|\vec{b}| = 2\hspace{1pt},\)\(\hspace{2pt}\vec{a}\cdot \vec{b} = -1\hspace{1pt}\)とする. \(|\vec{a}+t \hspace{1pt}\vec{b}|\hspace{1pt}\)を最小にする\(\hspace{1pt}t \hspace{2pt}\)と, そのときの最小値を求めよ.』
　

\(|\hspace{1pt}\vec{a} + t\vec{b}|^2\hspace{2pt}\)を求めると $$ \begin{aligned} |\hspace{1pt}\vec{a} + t\vec{b}|^2 &= (\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (\vec{a} + t\vec{b})\\[0.5em] &= |\vec{a}|^2 + 2t\vec{a}\cdot \vec{b} + t^2|\vec{b}|^2\\[0.5em] &= 3^2+2t \times (-1)+ t^2 \times 2^2 \\[0.5em] &= 4t^2 -2t + 9\\[0.5em] &= 4(t^2 -1/2t )+ 9\\[0.5em] &= 4 \left(t -\frac{1}{4} \right)^2 + \frac{35}{4}\\[0.5em] \end{aligned} $$ よって\(\displaystyle \hspace{3pt}t = \frac{1}{4} \hspace{2pt}\)のとき\(\hspace{2pt}|\hspace{1pt}\vec{a} + t\vec{b}|^2\hspace{2pt}\)は最小値\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{35}{4}\hspace{1pt}\)を取ります。

したがって、\(|\hspace{1pt}\vec{a} + t\vec{b}| \geqq 0\hspace{2pt}\)であることから、\(\displaystyle t = \frac{1}{4} \hspace{2pt}\)のとき\(\hspace{2pt}|\hspace{1pt}\vec{a} + t\vec{b}|\hspace{2pt}\)は最小値\(\displaystyle\hspace{1pt}\frac{\sqrt{35}}{2}\hspace{1pt}\)を取ります。
　

【関連するページ】
・内積の定義