空間ベクトルと内積・角度・面積

【答え】
　(1) \(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB} =3\)

　(2) \(\angle AOB = 60^\circ\)

　(3) \(\displaystyle S = \frac{3\sqrt{3}}{2}\)
　　

【解答のポイント】
\(\overrightarrow{OA} = (a_1\hspace{1pt},\hspace{1pt}a_2\hspace{1pt},\hspace{1pt}a_3)\hspace{2pt}, \hspace{2pt}\)\(\overrightarrow{OB} = (b_1\hspace{1pt},\hspace{1pt}b_2\hspace{1pt},\hspace{1pt}b_3)\hspace{2pt}\)のとき、成分表示されたベクトルによる内積は

と求められます。
　

問題(2)の\(\hspace{1pt}2\hspace{2pt}\)つのベクトル\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OA}\hspace{1pt},\hspace{1pt} \overrightarrow{OB} \hspace{2pt}\)のなす角\(\hspace{1pt}\theta\hspace{1pt}\)は $$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{ |\overrightarrow{OA}| \hspace{1pt}|\overrightarrow{OB}|}$$ から求めることができます。
　

三角形\(\hspace{1pt}OAB\hspace{2pt}\)の面積は、三角比による三角形の面積公式から $${S = \frac{1}{2} \hspace{1pt}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\sin \theta}$$ から求めることができます。

または、三角形の面積の公式 $${S = \frac{1}{2}\hspace{1pt}\sqrt{{|\vec{a}|}^2\hspace{1pt} {|\vec{b}|}^2 - (\hspace{1pt}\vec{a}\cdot \vec{b}\hspace{1pt})^2}}$$ から求めることもできます。
　

【問題(1)の解答】
　問題 : 『\(\hspace{1pt}O(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt},\)\(\hspace{3pt}A(1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt},\)\(\hspace{3pt}B(-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2)\hspace{2pt}\)であるとき、内積\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}\hspace{2pt}\)を求めよ.
　

\(\hspace{1pt}\overrightarrow{OA} = (1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt} , \hspace{1pt}\overrightarrow{OB} = (-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2)\hspace{2pt}\)であることから

【問題(2)の解答】
　問題 : 『\(\hspace{1pt}O(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt},\)\(\hspace{3pt}A(1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt},\)\(\hspace{3pt}B(-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2)\hspace{2pt}\)であるとき、\(\angle AOB\hspace{2pt}\)の大きさを求めよ.』
　

\(\hspace{1pt}|\overrightarrow{OA}| \hspace{1pt},\hspace{1pt}|\overrightarrow{OB}| \hspace{2pt}\)を求めると $$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OA}| &= \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} \\[0.5em] &= \sqrt{6}\\[0.5em] \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OB}| &= \sqrt{(-1)^2 + 1^2 +2^2} \\[0.5em] &= \sqrt{6}\\[0.5em] \end{aligned} $$ となります。

すなわち、求める角度は $$ \begin{aligned} \cos \angle AOB &= \frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}|} \\[0.5em] &= \frac{3}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}}\\[0.5em] &= \frac{1}{ 2}\\[0.5em] \end{aligned} $$ したがって、\(0^\circ \leqq \angle AOB \leqq 180^\circ\hspace{2pt}\)の範囲で解くと\(\hspace{1pt}\angle AOB = 60^\circ\hspace{2pt}\)となります。
　

【問題(3)の解答】
　問題 : 『\(\hspace{1pt}O(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt},\)\(\hspace{3pt}A(1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt},\)\(\hspace{3pt}B(-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2)\hspace{2pt}\)であるとき、三角形\(OAB\hspace{2pt}\)の面積\(S\hspace{2pt}\)を求めよ.』
　

三角形\(OAB\hspace{2pt}\)の面積\(S\hspace{2pt}\)は $$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \sin 60^\circ \\[0.5em] &= \frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times \sqrt{6} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\\[0.5em] &= \frac{3\sqrt{3}}{2}\\[0.5em] \end{aligned} $$ と求められます。
　

【問題(3)の別解】
　問題 : 『\(\hspace{1pt}O(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt},\)\(\hspace{3pt}A(1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt},\)\(\hspace{3pt}B(-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2)\hspace{2pt}\)であるとき、三角形\(OAB\hspace{2pt}\)の面積\(S\hspace{2pt}\)を求めよ.』
　

三角形の面積の公式 $${S = \frac{1}{2}\hspace{1pt}\sqrt{{|\vec{a}|}^2\hspace{1pt} {|\vec{b}|}^2 - (\hspace{1pt}\vec{a}\cdot \vec{b}\hspace{1pt})^2}}$$ から三角形\(OAB\hspace{2pt}\)の面積\(S\hspace{2pt}\)は $$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2}\hspace{1pt}\sqrt{(\sqrt{6})^2\hspace{1pt} (\sqrt{6})^2 - 3^2}\\[0.5em] &= \frac{1}{2}\hspace{1pt}\sqrt{27}\\[0.5em] &= \frac{3\sqrt{3}}{2}\\[0.5em] \end{aligned} $$ と求められます。
　

【関連するページ】
・内積の定義

・三角形の面積の公式