◆第問目！
頂点の座標からベクトル\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}\hspace{2pt}\)を求めれば, 三角形の面積の公式
から三角形\(ABC\hspace{2pt}\)の面積を求めることができます。
次に、点\(\hspace{1pt}D\hspace{1pt}\)から三角形\(\hspace{1pt}ABC\hspace{1pt}\)に垂直に下した足を点\(\hspace{1pt}H\hspace{1pt}\)とし、\(|\overrightarrow{DH}|\hspace{2pt}\)から四面体の高さを求めます。
点\(\hspace{1pt}H\hspace{1pt}\)が点\(\hspace{1pt}A,B,C\hspace{1pt}\)と同じ平面上にあるとき, \(s , t\hspace{1pt}\)を実数とすれば $${\overrightarrow{AH} = s \overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC} }$$ とおくことができます。
【答え】
\(\displaystyle V = \frac{7}{3}\hspace{2pt}\)
【解答のポイント】
四面体の体積\(\hspace{2pt}V\hspace{1pt}\)は底面の三角形の面積を\(\hspace{2pt}S\hspace{1pt}\), 高さを\(\hspace{2pt}h\hspace{2pt}\)とすれば
$${V = \frac{1}{3}S h}$$
から求められます。
頂点の座標からベクトル\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}\hspace{2pt}\)を求めれば, 三角形の面積の公式
から三角形\(ABC\hspace{2pt}\)の面積を求めることができます。
次に、点\(\hspace{1pt}D\hspace{1pt}\)から三角形\(\hspace{1pt}ABC\hspace{1pt}\)に垂直に下した足を点\(\hspace{1pt}H\hspace{1pt}\)とし、\(|\overrightarrow{DH}|\hspace{2pt}\)すなわち四面体の高さを求めます。
点\(\hspace{1pt}H\hspace{1pt}\)が点\(\hspace{1pt}A,B,C\hspace{1pt}\)と同じ平面上にあるとき, \(s , t\hspace{1pt}\)を実数とすれば $${\overrightarrow{AH} = s \overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC} }$$ とおくことができます。
上式と\(\hspace{2pt}\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AD}\hspace{2pt}\)の関係から, \(\overrightarrow{DH} \hspace{2pt}\)を\(\hspace{1pt}s,t\hspace{2pt}\)を用いて表します。
ここで, \(DH\hspace{1pt}\)が\(\hspace{1pt}AB , AC\hspace{1pt}\)と垂直という条件から\(\hspace{1pt} s,t\hspace{1pt}\)を導くことができます。
これにより \(\overrightarrow{DH}\hspace{2pt}\)の成分が分かるので \(|\overrightarrow{DH}|\hspace{2pt}\)すなわち四面体の高さを求めることができます。
【問題の解答】
問題 : 『座標空間に\(\hspace{1pt}A(2\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}B(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}0)\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}C(0\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}D(3\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}2)\hspace{2pt}\)をとるとき, 四面体\(\hspace{1pt}A\hspace{0.2pt}B\hspace{0.2pt}C\hspace{0.2pt}D\hspace{2pt}\)の体積\(\hspace{1pt}V\hspace{1pt}\)を求めよ.』
まず、三角形\(\hspace{1pt}ABC\hspace{2pt}\)の面積を求めます。
ベクトル\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB} \hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}\overrightarrow{AC} \hspace{2pt},\)\(\hspace{2pt}\overrightarrow{AD} \hspace{2pt}\)は $$ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} & = (-2\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}0) \\[0.5em] \overrightarrow{AC} & = (-2\hspace{1pt},\hspace{1pt}0\hspace{1pt},\hspace{1pt}1) \\[0.5em] \overrightarrow{AD} & = (1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}2) \\[0.5em] \end{aligned} $$ となります。
また、内積\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\hspace{2pt}\)は
となります。
また、\(|\overrightarrow{AB}|\hspace{1pt}\)と\(\hspace{1pt}|\overrightarrow{AC}|\hspace{1pt}\)は $$ \begin{aligned} | \overrightarrow{AB} | & = \sqrt{(-2)^2+2^2+0^2} \\[0.5em] & = \sqrt{8} \\[0.5em] & = 2\sqrt{2} \\[0.8em] | \overrightarrow{AC} | & = \sqrt{(-2)^2+0^2+1^2} \\[0.5em] & = \sqrt{5} \\[0.5em] \end{aligned} $$ と求めれます。
から三角形\(ABC\hspace{2pt}\)の面積\(S_{ABC}\hspace{2pt}\)は
$$
\begin{aligned}
S_{ABC} &= \frac{1}{2}\hspace{1pt}\sqrt{(2\sqrt{2} )^2\hspace{1pt} (\sqrt{5})^2 - 4^2}\\[0.5em]
&= \frac{1}{2}\hspace{1pt}\sqrt{24}\\[0.5em]
&= \sqrt{6}\\[0.5em]
\end{aligned}
$$
と求められます。
ここで、点\(\hspace{1pt}D\hspace{1pt}\)から三角形\(ABC\hspace{2pt}\)に下した垂線を\(\hspace{1pt}DH\hspace{1pt}\)とします。
\(\hspace{1pt}\overrightarrow{AH} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}\hspace{2pt}\)とすると
となります。また\(\hspace{1pt}\overrightarrow{DH}\hspace{2pt}\)は
となります。
\(\hspace{1pt}AB \perp DH\hspace{2pt},\)\(\hspace{1pt}AC \perp DH\hspace{2pt}\)であることから
よって、\(\displaystyle\hspace{1pt}t = -\frac{1}{3} , s = \frac{5}{12}\hspace{2pt}\)となります。
すなわち $${\overrightarrow{DH} = \left(-\frac{7}{6}\hspace{1pt},\hspace{1pt}-\frac{7}{6}\hspace{1pt},\hspace{1pt}-\frac{7}{3} \right) }$$ となります。
ここで \(|\overrightarrow{DH}|\hspace{2pt}\)は
したがって、求める体積\(\hspace{1pt}V\hspace{1pt}\)は
と求められます。
【関連するページ】
・内積