◆第問目！
求めるベクトルを\(\hspace{1pt}\vec{b} = (x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y)\hspace{2pt}\)とおいて\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{2pt}\)の値を求めます。
\(\hspace{1pt}\vec{b} = (x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y)\hspace{2pt}\)の大きさが\(\hspace{1pt}\sqrt{5}\hspace{2pt}\)であることから $${x^{2} + y^{2} =5 }$$ が成り立ちます。
また、内積の定義式から $${\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta }$$ と $${\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 }$$ の\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの式から内積を求めることで\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{2pt}\)を満たす式を作ることができます。
【答え】
\(\hspace{1pt}(2\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt},\hspace{2pt}\)\(\hspace{1pt}(-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2)\hspace{2pt}\)
【解答のポイント】
求めるベクトルを\(\hspace{1pt}\vec{b} = (x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y)\hspace{2pt}\)とおいて\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{2pt}\)の値を求めます。
\(\hspace{1pt}\vec{b} = (x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y)\hspace{2pt}\)の大きさが\(\hspace{1pt}\sqrt{5}\hspace{2pt}\)であることから $${x^{2} + y^{2} =5 }$$ が成り立ちます。
また、内積の定義式から
$${\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta }$$
と
$${\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 }$$
の\(\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\)つの式から内積を求めることで\(\hspace{1pt}x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y\hspace{2pt}\)を満たす式を作ることができます。
【解答】
問題 : 『\(\hspace{1pt}\vec{a} = (1\hspace{1pt},\hspace{1pt}3)\hspace{2pt}\)となす角が\(\hspace{1pt}45^\circ\hspace{1pt}\)であり, 大きさが\(\hspace{1pt}\sqrt{5} \hspace{2pt}\)であるベクトルを求めよ.』
求めるベクトルを\(\hspace{1pt}\vec{b} = (x\hspace{1pt},\hspace{1pt}y)\hspace{2pt}\)とします。
\(\hspace{1pt}\vec{b}\hspace{2pt}\)の大きさが\(\hspace{1pt}\sqrt{5}\hspace{2pt}\)であることから $$ \begin{aligned} \sqrt{x^{\hspace{1pt}2} + y^{\hspace{1pt}2}} &= \sqrt{5} \\[0.5em] x^{\hspace{1pt}2} + y^{\hspace{1pt}2} &=5 \cdots (1)\\[0.5em] \end{aligned} $$
また、内積の定義から $$ \begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \\[0.5em] &= \sqrt{1^2 + 3^2} \times \sqrt{5} \cos 45^\circ \\[0.5em] &=5 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}\\[0.5em] &= 5 \cdots (2)\\[0.5em] \end{aligned} $$
次に、内積を成分から計算すると
$${\vec{a} \cdot \vec{b} = x + 3 y \cdots (3)}$$
となります。
(2)と(3)から $${ x+3y = 5}$$ すなわち $${ x = -3y + 5}$$
上式を(1)に代入すると
$$
\begin{aligned}
(-3y + 5)^{2} + y^{2} &=5 \\[0.5em]
9y^2 -30y + 25 + y^2 &= 5 \\[0.5em]
10y^2 -30y + 20 &= 0\\[0.5em]
y^2 -3y + 2 &= 0\\[0.5em]
(y-1)(y-2) &= 0\\[0.5em]
\end{aligned}
$$
よって\(\hspace{3pt}y = 1 \hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{2pt}\)となります。
これを満たす\(\hspace{1pt}x\hspace{2pt}\)は\(\hspace{1pt}y=1\hspace{2pt}\)のとき\(\hspace{1pt}x = 2\hspace{1pt},\)\(\hspace{2pt}y=2\hspace{2pt}\)のとき\(\hspace{1pt}x = -1\hspace{2pt}\)となります。
したがって、求めるベクトルは\(\hspace{1pt}(2\hspace{1pt},\hspace{1pt}1)\hspace{2pt},\hspace{2pt}\)\(\hspace{1pt}(-1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2)\hspace{2pt}\)と求められます。
【関連するページ】
・内積の定義