本項では、『三角関数のtanの積分公式』 と 『問題の解き方』について解説します。
以下に 三角関数 \(\large{\tan}\) に関連する不定積分の一覧を示します。
『導出』をクリックすると、各公式の導出方法に移動します。
| 積分の公式 | |
|---|---|
| \(\displaystyle \large{\int \tan x \hspace{1pt}dx =-\log |\cos x| + C}\) | 導出 |
| \(\displaystyle \large{\int \tan^2 x \hspace{1pt}dx =\tan x - x + C}\) | 導出 |
| \(\displaystyle \large{\int \tan^3 x \hspace{1pt}dx = \frac{1}{2}\tan^2 x + \log |\cos x| +C}\) | 導出 |
| \(\displaystyle \large{\int \tan^4 x \hspace{1pt}dx= \frac{1}{3}\tan^3 x -\tan x +x +C}\) | 導出 |
| \(\displaystyle \large{\int \frac{1}{\tan x}\hspace{1pt} dx = \log |\sin x|+C}\) | 導出 |
\(\large{\tan}\) の積分の計算は、置換積分法をよく利用します。
例えば、\(\displaystyle\large{\int \tan x \hspace{1pt}dx}\) を計算する場合は、 $$\large{\int \tan x \hspace{1pt}dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \hspace{1pt}dx}$$ と変形することで、置換積分法の『分母の微分が分子となる積分』 $$\large{\int \frac{f'(x)}{f(x)}\hspace{1pt}dx = \log |f(x)|+C}$$ が利用できます。
また、三角関数の相互関係 $$\large{1+\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}}$$ を利用して変形する場合もあります。
例えば、\(\displaystyle\large{\int \tan^2 x \hspace{1pt}dx}\) を計算する場合は、 $$\large{\int \tan^2 x \hspace{1pt}dx = \int \left(\frac{1}{\cos^2 x}-1\right) \hspace{1pt}dx}$$ と変形することで、積分が計算できるようになります。
三角関数 \(\large{\tan x}\) の積分は、以下の公式で表されます。
\(\large{\tan x}\) の不定積分は、置換積分法を利用して求めます。
問題の式を変形すると、 $$\large{\int \tan x \hspace{1pt} dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \hspace{1pt} dx}$$ となります。
ここで、\(\large{t = \cos x}\) とおき、両辺を \(\large{x}\) で微分すると、三角関数の微分公式から $$\large{\frac{dt}{dx} = -\sin x}$$ となります。すなわち、\(\large{dt = - \sin x \hspace{1pt} dx}\) と表せます。
すなわち、問題の不定積分を計算すると以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \int \frac{\sin x}{\cos x}\hspace{1pt} dx &\large =&\large -\int \frac{1}{t}\hspace{1pt} dt \\[0.5em] \large &\large =&\large -\log |t|+C \\[0.5em] \end{eqnarray} \(\large{t = \cos x}\) であることから、 $$\large{\int \tan x \hspace{1pt} dx = -\log |\cos x| +C}$$ と求められます。
\(\large{\tan^2 x}\) の不定積分は、以下の式により表されます。
まず、三角関数の相互関係から問題の不定積分を変形すると、 $$\large{\int \tan^2 x\hspace{1pt} dx = \int \left( \frac{1}{\cos^2 x}-1\right)\hspace{1pt} dx}$$
ここで、三角関数の微分から $$\large{(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}}$$ の関係があるため、 $$\large{\int \frac{1}{\cos^2 x}dx = \tan x +C}$$ が成り立ちます。
したがって、\(\large{\tan^2 x}\) の不定積分は以下のように計算されます。 \begin{eqnarray} \large \int \tan^2 x \hspace{1pt}dx&\large =&\large \int \left( \frac{1}{\cos^2 x}-1\right)\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \tan x - x + C\\[0.5em] \end{eqnarray}
\(\large{\tan^3 x}\) の不定積分は、以下の式により表されます。
まず、三角関数の相互関係から問題の不定積分を変形すると、 \begin{eqnarray} \large \int \tan^3 x \hspace{1pt}dx&\large =&\large \int \tan x \cdot (\tan^2 x)\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \int \tan x \cdot \left( \frac{1}{\cos^2 x}-1\right)\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \int \left(\tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} - \tan x \right)\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \end{eqnarray}
ここで、\(\displaystyle\large{\int \tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} dx}\) を先に計算します。
置換積分法から、\(\large{t=\tan x}\) とおくと、三角関数の微分から \(\displaystyle\large{\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\cos^2 x}}\) となります。
すなわち、\(\displaystyle\large{dt = \frac{1}{\cos^2 x}\hspace{1pt}dx}\) であることから、
\begin{eqnarray}
\large
\int \tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} dx &\large =&\large \int t \hspace{1pt}dt\\[0.5em]
\large
&\large =&\large \frac{1}{2}t^2+C\\[0.5em]
\large
&\large =&\large \frac{1}{2}\tan^2 x+C\\[0.5em]
\end{eqnarray}
となります。
また、\(\large{\tan x}\) の積分公式から、 $$\large{\int \tan x \hspace{1pt}dx = -\log |\cos x| +C}$$ となります。
したがって、\(\large{\tan^3 x}\) の不定積分は以下のように計算されます。 \begin{eqnarray} \large \int \tan^3 x\hspace{1pt}dx &\large =&\large \int \left(\tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} - \tan x \right)\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}\tan^2 x + \log |\cos x| +C\\[0.5em] \end{eqnarray}
\(\large{\tan^4 x}\) の不定積分は、以下の式により表されます。
まず、三角関数の相互関係から問題の不定積分を変形すると、 \begin{eqnarray} \large \int \tan^4 x &\large =&\large \int \tan^2 x \cdot \tan^2 x\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \int \tan^2 x \cdot \left(\frac{1}{\cos^2 x}-1\right)\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \int \left(\tan^2 x \cdot\frac{1}{\cos^2 x}-\tan^2 x \right)\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \end{eqnarray}
ここで、\(\displaystyle\large{\int \tan^2 x \cdot\frac{1}{\cos^2 x}\hspace{1pt}dx}\) を置換積分法から計算します。
\(\large{t=\tan x}\) とおくと、三角関数の微分から \(\displaystyle\large{\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\cos^2 x}}\) となります。
すなわち、\(\displaystyle\large{dt = \frac{1}{\cos^2 x}\hspace{1pt}dx}\) であることから、
\begin{eqnarray}
\large
\int \tan^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} dx &\large =&\large \int t^2 \hspace{1pt}dt\\[0.5em]
\large
&\large =&\large \frac{1}{3}t^3+C\\[0.5em]
\large
&\large =&\large \frac{1}{3}\tan^3 x+C\\[0.5em]
\end{eqnarray}
となります。
また、\(\displaystyle\large{\int \tan^2 x\hspace{1pt}dx}\) は、tanの2乗の積分公式から $$\large{\int \tan^2 x \hspace{1pt}dx =\tan x - x + C}$$ となります。
したがって、\(\large{\tan^4 x}\) の不定積分は \begin{eqnarray} \large \int \tan^4 x \hspace{1pt}dx &\large =&\large \int\left(\tan^2 x \cdot\frac{1}{\cos^2 x}-\tan^2 x \right)\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{3}\tan^3 x - \tan x + x + C\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。
\(\displaystyle\large{\frac{1}{\tan x}}\) の不定積分は、以下の式により表されます。
まず、不定積分を以下のように変形します。 $$\large{\int \frac{1}{\tan x}\hspace{1pt} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x}\hspace{1pt} dx}$$
ここで、\(\large{t = \sin x}\) とおき、両辺を \(\large{x}\) で微分すると $$\large{\frac{dt}{dx}=\cos x}$$ すなわち、\(\displaystyle\large{dt = \cos x \hspace{1pt}dx}\) と表せます。
置換積分法から、不定積分を \(\large{t}\) の式に変換すると、以下のように計算できます。 \begin{eqnarray} \large \int \frac{1}{\tan x}\hspace{1pt} dx &\large =&\large \int \frac{\cos x}{\sin x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \int \frac{1}{t}\hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \log |t| + C\\[0.5em] \end{eqnarray} \(\large{t = \sin x}\) であることから、 $$\large{\int \frac{1}{\tan x}\hspace{1pt} dx = \log |\sin x|+C}$$ と求めることができます。
本章では、\(\large{\tan}\) の積分 に関連した基本的な問題について解説します。
【解答と解説】
本問は、三角関数の不定積分を求める問題です。
三角関数の不定積分の公式 $$\large{\int \tan x \hspace{1pt}dx = -\log |\cos x| + C}$$ から計算します。
また、\(\large{F'(x)=f(x),\hspace{2pt}a \neq 0}\) のときの積分の公式 $$\large{\int f(ax+b) \hspace{1pt}dx = \frac{1}{a}F(ax+b) + C}$$ を利用して不定積分を計算すると、以下のようになります。
$$\large{\int \tan (2x-3)\hspace{1pt} dx = - \frac{1}{2}\log |\cos (2x-3)| + C}$$
【解答と解説】
問題の定積分は、\(\large{\tan}\) の積分公式
$$\large{\int \tan x\hspace{1pt} dx = - \log |\cos x| + C}$$
から、以下のように計算されます。
\begin{eqnarray}
&&\large \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} |\tan x|\hspace{1pt} dx \\[0.5em]
\large
&\large =&\large -\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} \tan x\hspace{1pt} dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan x\hspace{1pt} dx\\[0.5em]
\large
&\large =&\large -[-\log |\cos x|\hspace{1pt}]_{-\frac{\pi}{4}}^{0} + [-\log |\cos x|\hspace{1pt}]_{0}^{\frac{\pi}{3}}\\[0.5em]
\large
&\large =&\large 0-\log \frac{1}{\sqrt{2}} -(\log \frac{1}{2}-0)\\[0.5em]
\large
&\large =&\large -\log \frac{1}{2\sqrt{2}}\\[0.5em]
\large
&\large =&\large \log 2\sqrt{2}\\[0.5em]
\large
&\large =&\large \log 2^{\frac{3}{2}}\\[0.5em]
\large
&\large =&\large \frac{3}{2}\log 2\\[0.5em]
\end{eqnarray}
まず、三角関数の相互関係から問題の不定積分を変形すると、 \begin{eqnarray} &&\large \int (\tan^2 x+1)\cdot\tan^2 (\tan x)\hspace{1pt} dx \\[0.5em] &\large =&\large \int \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \tan^2 (\tan x)\hspace{1pt} dx \\[0.5em] \end{eqnarray}
置換積分法から、\(\large{t=\tan x}\) とおくと、三角関数の微分から \(\displaystyle\large{\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\cos^2 x}}\) となります。
よって、\(\displaystyle\large{dt = \frac{1}{\cos^2 x}\hspace{1pt}dx}\) であることから、
$$\large{\int \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \tan^2 (\tan x)\hspace{1pt} dx =\int \tan^2 t\hspace{1pt} dt }$$
となります。
ここで、\(\large{\tan^2 x}\) の積分公式 $$\large{\int \tan^2 x \hspace{1pt}dx =\tan x - x + C}$$ から、 \begin{eqnarray} \large \int \tan^2 t\hspace{1pt} dt& \large = &\large \tan t - t + C \\[0.5em] &\large =&\large \tan (\tan x) - \tan x + C \\[0.5em] \end{eqnarray}
したがって、
と求められます。