無理関数の積分公式

本項では、『無理関数の積分公式』 と 『問題の解き方』について解説します。

【1】無理関数の積分公式の一覧

以下に 無理関数 に関連する不定積分の一覧を示します。
『導出』をクリックすると、各公式の導出方法に移動します。

また、以下の表中の式で 定数\(\large{a}\) は、\(\large{a \neq 0}\) とします。

以下の表中の式で 定数\(\large{a}\) は、\(\large{a > 0}\) とします。

以下の表中の式で 定数\(\large{A}\) は、\(\large{A \neq 0}\) とします。

無理関数の積分計算のポイント

無理関数を積分する場合の計算のポイントについて説明します。

①分母の有理化

無理関数が分母に含まれる積分では、有理化をします。
例えば、 $$\large{\int\frac{1}{\sqrt{x+1} -\sqrt{x}} \hspace{1pt}dx = \int (\sqrt{x+1}+\sqrt{x})\hspace{1pt}dx}$$ と変形すると計算できるようになります。(問題(1))

②根号の置換

無理関数の積分では、置換積分法がよく使用されます。

根号の中の関数が一次式 \(\large{\sqrt{ax+b}}\) の場合は、根号を含めて置換することが定石です。
例えば、\(\displaystyle\large{\int (x+1)\sqrt{x+2}\hspace{1pt}dx}\) の計算は $$\large{t=\sqrt{x+2}}$$ とおくことで、 \begin{eqnarray} \large \int (x+1)\sqrt{x+2} \hspace{1pt}\hspace{1pt} dx&\large =&\large (t^2-1)\cdot t \cdot 2t \hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large 2\int (t^4-t^2 )\hspace{1pt} dt\\[0.5em] \end{eqnarray} と変形して、積分が計算できるようになります。(問題(2))

③根号の中が二次式の場合

根号の中が二次式の場合は、特別な置き換えが必要となります。

例えば、\(\displaystyle\large{ \int \sqrt{a^2-x^2}\hspace{1pt}dx}\) では、 $$\large{x=a \sin t}$$ と置き換えると

\begin{eqnarray} \large \int \sqrt{a^2-x^2}\hspace{1pt}dx&\large =&\large a^2 \int \sqrt{1-\sin^2 t} \hspace{1pt} \cos t dt\\[0.5em] \large &\large =&\large a^2 \int \cos^2 t \hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{a^2}{2} \left(t +\frac{1}{2} \sin 2t \right)+ C\\[0.5em] \end{eqnarray} と変形して、計算ができるようになります。(問題(6))

【2】根号の中が一次式の無理関数

無理関数 \(\large{\sqrt {ax+b}\hspace{3pt}}\) \(\large{(a \neq 0)}\) の積分は、以下の公式で表されます。

・無理関数の積分公式の導出

無理関数 \(\large{\sqrt {ax+b}}\) の不定積分は、不定積分の公式 $$\large{\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$ と、\(\large{F\hspace{1pt}'(x)=f(x),\hspace{2pt}a \neq 0}\) のときの積分の公式 $$\large{\int f(ax+b) \hspace{1pt}dx = \frac{1}{a}F(ax+b) + C}$$ から計算できます。

不定積分の公式において、\(\displaystyle\large{n=\frac{1}{2}}\) とおいて計算します。

\(\displaystyle\large{\int \sqrt{ax+b}\hspace{1pt}dx}\) を計算すると以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \int \sqrt {ax+b} \hspace{1pt} dx&\large =&\large \int (ax+b)^{\frac{1}{2}} \hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a} (ax+b)^{\frac{3}{2}+C}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2}{3a}(ax+b)\sqrt{ax+b} + C\\[0.5em] \end{eqnarray}

【3】無理関数の逆数の不定積分

無理関数 \(\displaystyle\large{\frac{1}{\sqrt {ax+b}}\hspace{3pt}}\) \(\large{(a \neq 0)}\) の積分は、以下の公式で表されます。

・無理関数の逆数の積分公式の導出

無理関数 \(\displaystyle\large{\frac{1}{\sqrt {ax+b}}}\) の不定積分は、不定積分の公式 $$\large{\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$ と、\(\large{F\hspace{1pt}'(x)=f(x),\hspace{2pt}a \neq 0}\) のときの積分の公式 $$\large{\int f(ax+b) \hspace{1pt}dx = \frac{1}{a}F(ax+b) + C}$$ から計算できます。

不定積分の公式において、\(\displaystyle\displaystyle\large{n=-\frac{1}{2}}\) とおいて計算します。

\(\displaystyle\large{\int \frac{1}{\sqrt {ax+b}}\hspace{1pt}dx}\) を計算すると以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \int \frac{1}{\sqrt {ax+b}}\hspace{1pt} dx&\large =&\large \int (ax+b)^{-\frac{1}{2}} \hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large 2 \cdot \frac{1}{a} (ax+b)^{\frac{1}{2}}+C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2}{a}\sqrt{ax+b} + C\\[0.5em] \end{eqnarray}

【4】n乗根の不定積分

無理関数 \(\large{\sqrt[n]{ax+b}\hspace{3pt}}\) \(\large{(a \neq 0)}\) の積分は、以下の公式で表されます。

・n乗根の積分公式の導出

\(\large{n}\)乗根 \(\displaystyle\large{\sqrt[n]{ax+b}}\) の不定積分は、不定積分の公式 $$\large{\int x^n dx= \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$ と、\(\large{F\hspace{1pt}'(x)=f(x),\hspace{2pt}a \neq 0}\) のときの積分の公式 $$\large{\int f(ax+b) \hspace{1pt}dx = \frac{1}{a}F(ax+b) + C}$$ から導出できます。

\begin{eqnarray} \large \int \sqrt[n] {ax+b}\hspace{1pt} dx&\large =&\large \int (ax+b)^{\frac{1}{n}} \hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{a} (ax+b)^{\frac{1}{n}+1}+C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{n}{a(n+1)}(ax+b)\sqrt[n]{ax+b} + C\\[0.5em] \end{eqnarray}

【5】無理関数と一次関数の積の積分

無理関数 \(\displaystyle\large{\sqrt{ax+b} \hspace{1pt}(cx+d)\hspace{3pt}}\) \(\large{(a \neq 0)}\) の積分は、以下の公式で表されます。

・無理関数と一次関数の積の積分公式の導出

無理関数と一次関数の積 \(\displaystyle\large{\sqrt{ax+b} \hspace{1pt}(cx+d)}\) の不定積分は、置換積分法 により、 $$\large{t=\sqrt{ax+b}}$$ と置換することで導かれます。

\(\large{t=\sqrt{ax+b}}\) を \(\large{x}\) について解くと、 $$\large{x=\frac{t^2}{a}-\frac{b}{a}}$$ となります。上式の両辺を、\(\large{t}\) について微分すると、 $$\large{\frac{dx}{dt}=\frac{2t}{a}}$$ となり、\(\displaystyle\large{dx = \frac{2t}{a}dt}\) と表すことができます。

以上から、置換積分法により積分を計算すると、以下のようになります。

ここで、\(\large{t=\sqrt{ax+b}}\) であることから、

【6】sinで置換する積分①

\(\displaystyle\large{\int \sqrt{a^2-x^2}\hspace{1pt}dx\hspace{3pt}}\) \(\large{(a > 0)}\) の不定積分は、以下の公式で表されます。

・積分公式の導出

\(\displaystyle\large{\int \sqrt{a^2-x^2}\hspace{1pt}dx}\) の不定積分は、置換積分法 により、 $$\large{x=a \sin t}$$ と置換することで導かれます。

\(\large{x= a\sin t}\) の両辺を \(\large{t}\) で微分すると三角関数の微分公式から $$\large{\displaystyle\frac{dx}{dt} = a \cos t}$$ となります。すなわち、\(\displaystyle\large{dx =a \cos t \hspace{1pt}dt}\) と表せます。

\begin{eqnarray} \large \int \sqrt{a^2-x^2}\hspace{1pt}dx&\large =&\large \int \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 t} \hspace{1pt}(a \cos t) dt\\[0.5em] \large &\large =&\large a^2 \int \sqrt{1-\sin^2 t} \hspace{1pt}( \cos t) dt\\[0.5em] \large &\large =&\large a^2 \int \cos^2 t \hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large a^2 \int \frac{1+\cos 2t}{2} \hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{a^2}{2} \left(t +\frac{1}{2} \sin 2t \right)+ C\\[0.5em] \end{eqnarray} (式変形に 半角の公式 \(\large{\cos^2 t = \frac{1+\cos 2t }{2}}\) を使用しています。)

ここで、\(\large{x = a \sin t}\) であることから、逆三角関数 \(\large{\sin^{-1}}\) を用いて \(\displaystyle\large{t = \sin^{-1}\frac{x}{a}}\) と表せます。

また、二倍角の公式から \begin{eqnarray} \large \sin 2t&\large =&\large 2 \sin t \cos t\\[0.5em] \large &\large =&\large 2 \sin t \sqrt{1-\sin^2 t}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2x}{a} \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。

したがって、

と求められます。

【7】sinで置換する積分②

無理関数 \(\displaystyle\large{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\hspace{3pt}}\) \(\large{(a > 0)}\) の積分は、以下の公式で表されます。

・積分公式の導出

\(\displaystyle\large{\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \hspace{1pt}dx}\) の不定積分は、置換積分法 により、 $$\large{x=a \sin t}$$ と置換することで導かれます。

\(\large{x= a\sin t}\) の両辺を \(\large{t}\) で微分すると三角関数の微分公式から $$\large{\displaystyle\frac{dx}{dt} = a \cos t}$$ となります。すなわち、\(\displaystyle\large{dx =a \cos t \hspace{1pt}dt}\) と表せます。

\begin{eqnarray} \large \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\hspace{1pt}dx&\large =&\large \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 t}} \hspace{1pt}a \cos t \hspace{1pt}dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \int \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 t}} \hspace{1pt} \cos t \hspace{1pt}dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \int \frac{1}{\cos t} \hspace{1pt} \cos t \hspace{1pt}dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \int 1 \hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large t + C\\[0.5em] \end{eqnarray}

ここで、\(\large{x = a \sin t}\) であることから、逆三角関数 \(\large{\sin^{-1}}\) を用いて \(\displaystyle\large{t = \sin^{-1}\frac{x}{a}}\) となります。

したがって、 \begin{eqnarray} \large \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\hspace{1pt}dx&\large =&\large t+C\\[0.5em] \large &\large =&\large \sin^{-1}\frac{x}{a} + C\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

【8】無理関数の中が二次式の積分①

無理関数 \(\displaystyle\large{ \sqrt{x^2 + A}\hspace{3pt}}\) \(\large{(A \neq 0)}\) の積分は、以下の公式で表されます。

・積分公式の導出

\(\displaystyle\large{\int \sqrt{x^2 + A}\hspace{1pt}dx}\) の不定積分は、置換積分法 により、 $$\large{t=\sqrt{x^2 + A} + x}$$ と置換することで導かれます。

\(\large{t=\sqrt{x^2 + A} + x}\) を \(\large{x}\) について解くと、 \begin{eqnarray} \large t-x &\large =&\large \sqrt{x^2 +A} \\[0.5em] \large (t-x)^2 &\large =&\large x^2 + A\\[0.5em] \large x &\large =&\large \frac{t}{2} - \frac{A}{2t}\\[0.5em] \end{eqnarray} 上式を、\(\large{t}\) について微分すると、 $$\large{\frac{dx}{dt}=\frac{1}{2}+\frac{A}{2 t^2}}$$ となります。

また、\(\displaystyle\large{\sqrt{x^2 + A} = t-x = \frac{t}{2}+\frac{A}{2t}}\) となります。

以上から、積分を求めると、

ここで、\(\displaystyle\large{t - \frac{A}{t} = 2x}\)、\(\displaystyle\large{t+\frac{A}{t} = 2\sqrt{x^2+A}}\)、\(\large{t=\sqrt{x^2+A}+x}\) であることから、 \begin{eqnarray} &\large \int& \large \sqrt{x^2 + A}\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{8} \left( t - \frac{A}{t}\right)\left( t + \frac{A}{t}\right) + \frac{A}{2} \log |t|+C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}\left(x\sqrt{x^2+A}+A \log|x+\sqrt{x^2+A}|\right)+C\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

【9】無理関数の中が二次式の積分②

無理関数 \(\displaystyle\large{\frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}\hspace{3pt}}\) \(\large{(A \neq 0)}\) の積分は、以下の公式で表されます。

・積分公式の導出

\(\displaystyle\large{\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}\hspace{1pt}dx}\) の不定積分は、置換積分法 により、 $$\large{t=\sqrt{x^2 + A} + x}$$ と置換することで導かれます。

\(\large{t=\sqrt{x^2 + A} + x}\) を \(\large{x}\) について解くと、 \begin{eqnarray} \large t-x &\large =&\large \sqrt{x^2 +A} \\[0.5em] \large (t-x)^2 &\large =&\large x^2 + A\\[0.5em] \large x &\large =&\large \frac{t}{2} - \frac{A}{2t}\\[0.5em] \end{eqnarray} 上式を、\(\large{t}\) について微分すると、 $$\large{\frac{dx}{dt}=\frac{1}{2}+\frac{A}{2 t^2}}$$ となります。

また、\(\displaystyle\large{\sqrt{x^2 + A} = t-x = \frac{t}{2}+\frac{A}{2t}}\) となります。

以上から、積分を求めると、 \begin{eqnarray} \large \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}\hspace{1pt}dx&\large =&\large \int \frac{1}{\frac{t}{2}+\frac{A}{2t}} \cdot \left(\frac{1}{2}+\frac{A}{2 t^2} \right)dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \int \frac{t^2 + A}{t^3 + At} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \int \frac{1}{t} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \log |t| +C\\[0.5em] \end{eqnarray}

ここで、\(\large{t=\sqrt{x^2+A}+x}\) であることから、 \begin{eqnarray} &\large \int& \large \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \log |t| +C\\[0.5em] \large &\large =&\large \log |\sqrt{x^2+A}+x|+C\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

基本的な問題と解き方

本章では、無理関数の積分 に関連した基本的な問題について解説します。

(解答と解説 : 問題(1) 問題(2) 問題(3) 問題(4) 問題(5) 問題(6))

問題(1) 無理関数の積分

【解答と解説】
本問は、無理関数の不定積分を求める問題です。

無理関数が分母に含まれている場合は、有理化をして計算します。 \begin{eqnarray} &\large \int&\large \frac{1}{\sqrt{x+1} -\sqrt{x}} \hspace{1pt}dx \\[0.5em] &\large = &\large \int \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \int \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{x+1 - x} \hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \int (\sqrt{x+1}+\sqrt{x})\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2}{3}(x+1)^\frac{3}{2} + \frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+C \end{eqnarray} と求められます。

問題(2) 無理関数と一次関数の積の積分

【解答と解説】
本問は、無理関数と一次関数の積の不定積分を求める問題です。

このような積分では、置換積分法 から、根号を含めて置換することで計算できます。 $$\large{t=\sqrt{x+2} }$$ とおき、\(\large{x}\) について解くと、\(\large{x = t^2 -2}\) となります。

上式を、\(\large{t}\) について微分すると、 $$\large{\frac{dx}{dt}=2t}$$ となり、\(\large{dx = 2t \hspace{1pt} dt}\) と表せます。

以上から、積分を計算すると以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \int (x+1)\sqrt{x+2} \hspace{1pt}\hspace{1pt} dx&\large =&\large (t^2-1)\cdot t \cdot 2t \hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large 2\int (t^4-t^2 ) dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2}{5}t^5 -\frac{2}{3}t^3 + C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2}{5}(x+2)^{\frac{5}{2}} -\frac{2}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}} + C\\[0.5em] \end{eqnarray}

問題(3) 無理関数と一次関数の積の積分

【解答と解説】
本問は、無理関数と一次関数の積の不定積分を求める問題です。

このような積分では、置換積分法 から、根号を含めて置換することで計算できます。 $$\large{t=\sqrt[3]{x+2} }$$ とおき、\(\large{x}\) について解くと、 $$\large{x=t^3-2}$$ となります。上式を、\(\large{t}\) について微分すると、 $$\large{\frac{dx}{dt}=3t^2}$$ となり、\(\large{dx = 3t^2 \hspace{1pt} dt}\) と表せます。

以上から、積分を計算すると以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \int x\sqrt[3]{x+2} \hspace{1pt}\hspace{1pt} dx&\large =&\large \int (t^3-2)\cdot t \cdot 3t^2 \hspace{1pt}dt\\[0.5em] \large &\large =&\large 3 \int (t^6 -2 t^3)\hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{3}{7}t^7 -\frac{3}{2}t^4 + C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{3}{7}(x+2)^{\frac{7}{3}} -\frac{3}{2}(x+2)^{\frac{4}{3}} + C\\[0.5em] \end{eqnarray}

問題(4) 無理関数の積分

【解答と解説】
本問では、分母のルートの中の関数の微分が分子となっています。 $$\large{\int \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} \hspace{1pt}\hspace{1pt} dx}$$ このような積分では、置換積分法 から、ルートの中を置換すると計算することができます。

$$\large{t=x^3 +5 }$$ とおき、両辺を \(\large{x}\) について微分すると、 $$\large{\frac{dt}{dx}=3x^2}$$ となり、\(\large{dt = 3 x^2 \hspace{1pt}dx}\) と表せます。

以上から、積分を計算すると以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \int \frac{x^2}{\sqrt{x^3+5}} \hspace{1pt}\hspace{1pt} dx&\large =&\large \frac{1}{3}\int \frac{1}{\sqrt{t}}\hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{3}\cdot 2\hspace{1pt} t^{\frac{1}{2}}+C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2}{3} \sqrt{x^3+5} + C\\[0.5em] \end{eqnarray}

問題(5) 無理関数の積分

【解答と解説】
本問では、ルートの中を \(\large{f(x)}\) とおいたとき、以下の式にで表されます。 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt}\sqrt{f(x)} \hspace{1pt}\hspace{1pt} dx}$$ このような積分では、置換積分法 から、ルートの中を置換すると計算することができます。

$$\large{t=\log x + 2 }$$ とおき、両辺を \(\large{x}\) について微分すると、 $$\large{\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}}$$ となり、\(\displaystyle\large{dt = \frac{1}{x}\hspace{1pt}dx}\) と表せます。

以上から、積分を計算すると以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \int \frac{\sqrt{\log x + 2 }}{x} \hspace{1pt}\hspace{1pt} dx&\large =&\large \int \sqrt{t}\hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2}{3}\hspace{1pt} t^{\frac{3}{2}}+C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{2}{3} (\log x +2)\sqrt{\log x +2} + C\\[0.5em] \end{eqnarray}

問題(6) 無理関数の定積分

【解答と解説】
まず、本問の積分は偶関数であるため、 $$\large{\int_{-a}^a \sqrt{a^2 -x^2} \hspace{1pt}\hspace{1pt} dx = 2\int_0^a \sqrt{a^2 -x^2} \hspace{1pt}\hspace{1pt} dx}$$ が成り立ちます。

ここで、\(\large{x=a\sin t}\) とおきます。両辺を \(\large{t}\) で微分すると三角関数の微分公式から $$\large{\frac{dx}{dt} = a\cos t}$$ となります。すなわち、\(\large{dx = a \cos t \hspace{1pt}dt}\) と表されます。

また、変数\(\large{x}\) の範囲に対応する変数\(\large{t}\) の範囲を求めると、以下のようになります。

問題の積分を計算すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} &\large 2 &\large \int_0^a \sqrt{a^2 -x^2} \hspace{1pt}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] &\large =&\large 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a^2 -a^2 \sin^2 t } \hspace{1pt}(a \cos t) \hspace{1pt}dt\\[0.5em] \large &\large =&\large 2a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - \sin^2 t } \hspace{1pt}(\cos t) \hspace{1pt}dt\\[0.5em] \large &\large =&\large 2a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t \hspace{1pt}dt\\[0.5em] \large &\large =&\large 2a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2 t}{2} \hspace{1pt}dt\\[0.5em] \large &\large =&\large a^2 [\hspace{1pt} t + \frac{1}{2}\sin 2t\hspace{1pt} ]_0^{\frac{\pi}{2}}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{\pi \hspace{1pt}a^2}{2}\\[0.5em] \end{eqnarray} (式変形に 半角の公式 \(\large{\cos^2 t = \frac{1+\cos 2t }{2}}\) を使用しています。)

本問の \(\displaystyle \large{\int_{-a}^a \sqrt{a^2 -x^2} \hspace{1pt}\hspace{1pt} dx}\) の積分は、半径 \(\large{a}\) の半円の面積を表します。

半径 \(\large{a}\) の円の面積は、この積分を倍にすればよいので、 $$\large{2\int_{-a}^a \sqrt{a^2 -x^2} \hspace{1pt}\hspace{1pt} dx = \pi a^2}$$ と求められます。

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