積分の英語表現と読み方

本項では以下の内容を解説しています。

• ・不定積分と定積分の英語表現
• ・積分の英語での読み方
• ・関連用語の一覧

【1】積分の英語表現

微分積分学を英語でcalculusといいます。特に、積分学という場合はintegral calculusといいます。

本章では、不定積分と定積分の英語表現について解説します。

【1-1】不定積分の英語表現

微分することにより関数\(\large{f(x)}\)となる関数\(\large{F(x)}\)を不定積分や原始関数といいます。

英語では、不定積分を"indefinite integral"といいます。また、原始関数を"primitive function"といいます。

また、不定積分は微分(derivative)と逆の操作であることから、"antiderivative"と言われることもあります。

不定積分\(\large{F(x)}\)は、積分記号(integral symbol)である\(\large{\int}\)を使用して、以下のように表記されます。

式中の関数\(\large{f(x)}\)を被積分関数といいます。被積分関数は英語で"integrand"といいます。

また、式中の\(\large{C}\)は、積分定数といい、xに依存しない定数を表します。積分定数は英語で"constant of integration"といいます。

上記の不定積分の\(\large{\int f(x)dx}\)を英語で読むと、"The indefinite integral of f of x dx"といいます。

【1-2】定積分の英語表現

従属変数\(\large{y}\)、独立変数\(\large{x}\)であるような関数\(\large{y=f(x)}\)を区間[a,b]で積分するとき、以下の式により表されます。

定積分の値は、不定積分\(\large{F(x)}\)を使用して、以下のように計算されます。 $$\large {\displaystyle \int_a^{b} f(x)dx =\left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a)}$$

特定の区間[a,b]での積分を定積分といいます。定積分は、英語で"definite integral"といいます。
上記の定積分\(\large{ \int_a^{b} f(x)dx}\)を英語で読むと、"The integral from a to b of f of x dx"といいます。

【1-3】定積分と面積の英語表現

定積分は、下図のように関数\(\large{f(x)}\)とx軸、区間[a,b]に囲まれた面積Sを計算します。

関数\(\large{f(x)}\)が区間[a,b]で0より大きいとき、定積分と面積Sの関係は、以下のようになります。

ここで、『\(\large{\int_a^{b} f(x)dx}\)は関数\(\large{f(x)}\)とx軸、区間[a,b]に囲まれた面積Sを与えます。』を英語で表すと、以下のようになります。
"The integral from a to b of f of x dx is the area between f of x and x-axis on the interval from a to b."となります。

【1-4】積分区間(上端と下端)の英語表現

定積分を計算する区間[a,b]を積分区間といいます。積分区間は英語で"interval of integration"といいます。

積分区間が[a,b]であるとき、aは積分区間の下端といいます。積分区間の下端を英語で"lower limit"といいます。
また、bを積分区間の上端といい、上端は英語で"upper limit"といいます。

積分区間[a,b]を英語で表すと、"interval from a to b"といいます。
特に、閉区間(a≦x≦b)であることを明確に言う場合は、"closed interval from a to b"といいます。

(区間の英語表現については、別項の閉区間と開区間で解説しています。)

【2】積分の英語での読み方

本章では、積分の英語での読み方について解説します。

【2-1】重積分の英語での読み方

以下のような、積分記号を複数使用した積分を重積分といいます。重積分は英語で"multiple integral"といいます。

先述したように、積分記号(変数)が１つのときは、積分は関数\(\large{f(x)}\)とx軸で囲まれた面積に変換する計算を意味していました。
一方、積分記号(変数)が2つになると、その積分は関数\(\large{f(x,y)}\)とxy平面で囲まれた体積に変換する計算を意味します。

積分記号が2つの場合の積分を英語で"double integrals"といいます。また、積分記号が3つの場合を"triple integrals"といいます。

ここで、\(\large{\iint_D f(x, y)dxdy}\)は英語で、"The double integral of f of x y over D (dx dy)"といいます。

また、\(\large{\iiint_V f(x, y, z)dxdydz}\)は英語で、"The triple integral of f of x y z over V (dx dy dz)"といいます。

なお、上記の『dx dy』や『dx dy dz』は省略されることが多いです。

【2-2】積分計算の英語での読み方

本章では、積分計算の英語での読み方を解説します。

・べき乗の積分の英語の読み方

\(\large{n \neq -1}\)のとき、\(\large{n}\)のべき乗の不定積分は、以下の式により計算されます。 $$\large { \displaystyle \int x^ndx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C}$$ 上記のべき乗の不定積分は、英語では"The indefinite integral of f of x dx is equal to 1 divided by n plus 1 times x to the n plus 1 plus C."といいます。
(x to the nは『Xのn乗』を表す用語です。詳しくはべき乗の記事に記載しています。)

・積分区間に無限大を含んだ場合の英語の読み方

\(\large{y=e^{-ax^2}}\)の実数全体の積分は、ガウス積分(Gaussian integral)と言われます。ガウス積分を式で表すと、以下のようになります。 $$\large { \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}}$$ 上記のガウス積分は、英語では"The integral from negative infinity to infinity of e to the negative a times x squared dx is equal to the square root of \(\large{\pi}\) over a."といいます。

実数全体の積分(-∞から+∞までの積分)は、英語で"The integral from negative infinity to infinity"といいます。

x squaredは『Xの2乗』、the square root of xは『xの二乗根』を表します。詳しくはべき乗の英語表現の記事に記載しています。

また、"a over b"は分数\(\Large{\frac{a}{b}}\)を表す表現です。分数の英語表現は別ページに解説しています。

【3】積分の英語用語のまとめ

本項で解説した微分に関連する英語表現の用語の一覧を示します。

その他、本項で解説した内容以外の、積分によく使用される英語表現の用語の一覧を示します。

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