対数関数logの積分公式

本項では、『対数関数のlogの積分公式』 と 『問題の解き方』について解説します。

【1】logの積分公式の一覧

以下に 対数関数 \(\large{\log}\) に関連する不定積分の一覧を示します。
『導出』をクリックすると、各公式の導出方法に移動します。

下表において \(\large{\log x}\) は自然対数 \(\large{\log_{\hspace{1pt}e} x}\) を表します。
また、定数\(\large{a}\) は正であり、\(\large{a \neq 1}\) とします。また、\(\large{b \neq 0}\) とします。

・logの積分計算のポイント

\(\displaystyle\large{\int \log x \hspace{1pt} dx}\) はそのままでは積分の計算ができないため、部分積分 や 置換積分法 を使用して、別の積分に変換することが必要です。

例えば、logxの積分を計算する場合は、部分積分 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ を利用し、\(\large{f'(x)= 1\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\log x}\) とおいて $$\large{\int \log x\hspace{1pt} dx = x \hspace{1pt} \log x -\int 1\hspace{1pt} dx}$$ と変形して計算します。

また、\(\displaystyle\large{\int \frac{\log x}{x}\hspace{1pt}dx}\) の不定積分は、置換積分法を利用し、
\(\large{t=\log x }\) とおき、\(\displaystyle\large{\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}}\) となることから $$\large{\int \frac{\log x}{x}\hspace{1pt}dx = \int t \hspace{1pt} dt}$$ と変換して計算します。

【2】logxの不定積分

対数関数 \(\large{\log x}\) の積分は、以下の公式で表されます。

・logxの積分公式の導出

\(\large{\log x}\) の不定積分は、部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ を利用して求めます。

ここで、\(\large{\log x}\) を 『\(\large{1 \times \log x}\)』 という 2つの関数の積とみなし、
\(\large{f'(x)= 1\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\log x}\) とおいて計算します。

\(\displaystyle\large{\int \log x\hspace{1pt}dx}\) を部分積分から計算すると以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \int \log x\hspace{1pt} dx&\large =&\large x \hspace{1pt} \log x - \int x\hspace{1pt} (\log x)'\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} \log x -\int x\hspace{1pt} \frac{1}{x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} \log x -\int 1\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} \log x -x + C\\[0.5em] \end{eqnarray}

【3】底がaの対数関数の積分

\(\large{\log_a x}\) (\(\large{a \neq 1}\)) の不定積分は、以下の式により表されます。

・底がaの対数の積分公式の導出

\(\large{\log_a x}\) の不定積分は、部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ を利用して求めます。

ここで、\(\large{\log_a x}\) を 『\(\large{1 \times \log_a x}\)』 という 2つの関数の積とみなし、
\(\large{f'(x)= 1\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\log_a x}\) とおいて計算します。

底が \(\large{a}\) の対数関数の微分は、 $$\large{(\log_a x)' = \frac{1}{x \log a}}$$ である点に注意して計算します。

\(\displaystyle\large{\int \log_a x\hspace{1pt}dx}\) を部分積分から計算すると以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \int \log_a x\hspace{1pt} dx&\large =&\large x \hspace{1pt} \log_a x - \int x\hspace{1pt} (\log_a x)'\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} \log_a x -\int x\hspace{1pt} \frac{1}{x \log a}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} \log_a x -\frac{1}{\log a}\int 1\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} \log_a x -\frac{1}{\log a}x + C\\[0.5em] \end{eqnarray}

ここで、\(\large{a\hspace{1pt},\hspace{1pt}b\hspace{1pt},\hspace{1pt}c}\) が正の数、\(\large{a \neq 1\hspace{1pt},\hspace{1pt}c \neq 1}\) であるときの底の変換公式 $$\large{\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}}$$ から、底\(\large{a}\) の対数関数を 底\(\large{e}\) の自然対数に変換すると $$\large{ \log_a x = \frac{\log x}{\log a}}$$ となります。

したがって、 \begin{eqnarray} \large \int \log_a x\hspace{1pt} dx&\large =&\large x \hspace{1pt} \frac{\log x}{\log a} -\frac{1}{\log a}x + C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{\log a}(x\log x -x)+ C\\[0.5em] \end{eqnarray}

【4】真数が(bx+c)の対数の積分

\(\large{\log (b\hspace{1pt}x+c)}\) (ただし、\(\large{b \neq 0}\)) の不定積分は、以下の式により表されます。

・真数が(bx+c)の対数関数の積分公式の導出

\(\large{\log (b\hspace{1pt}x+c)}\) の不定積分は、部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ を利用して求めます。

ここで、\(\large{\log (b\hspace{1pt}x+c)}\) を 『\(\displaystyle\large{ 1 \times \log (b\hspace{1pt}x+c)}\)』 という 2つの関数の積とみなし、
\(\displaystyle\large{f'(x)= 1\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\log (b\hspace{1pt}x+c)}\) とおいて計算します。

部分積分を使用するとき、\(\displaystyle\large{f(x)=\frac{1}{b}(b\hspace{1pt}x+c)}\) とすると計算が簡単になります。

\(\displaystyle\large{\int \log (b\hspace{1pt}x+c)\hspace{1pt}dx}\) を部分積分から計算すると以下のようになります。

【5】xlogxの不定積分

\(\large{x\log x}\) の不定積分は、以下の式により表されます。

・xlogxの積分公式の導出

\(\large{x\log x}\) の不定積分は、部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ を利用して求めます。

\(\large{f'(x)= x\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\log x}\) として計算すると以下のようになります。

\begin{eqnarray} \large \int x \hspace{1pt} \log x\hspace{1pt} dx&\large =&\large \frac{1}{2}x^2 \hspace{1pt} \log x - \int \frac{1}{2}x^2\hspace{1pt} (\log x)'\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}x^2 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{2}\int x^2\hspace{1pt} \frac{1}{x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}x^2 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{2}\int x \hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}x^2 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{4} x^2 +C\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

【6】x^2logxの不定積分

\(\large{x^2\log x}\) の不定積分は、以下の式により表されます。

・x^2logxの積分公式の導出

\(\large{x^2\log x}\) の不定積分は、部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ を利用して求めます。

\(\large{f'(x)= x^2\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\log x}\) として計算すると以下のようになります。

\begin{eqnarray} \large \int x^2 \hspace{1pt} \log x\hspace{1pt} dx&\large =&\large \frac{1}{3}x^3 \hspace{1pt} \log x - \int \frac{1}{3}x^3\hspace{1pt} (\log x)'\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{3}x^3 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{3}\int x^3\hspace{1pt} \frac{1}{x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{3}x^3 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{3}\int x^2 \hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{3}x^3 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} x^3 +C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{3}x^3 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{9}x^3 +C\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

【7】(logx)^2の不定積分

\(\large{(\log x)^2}\) の不定積分は、以下の式により表されます。

・(logx)^2の積分公式の導出

\(\large{(\log x)^2}\) の不定積分は、部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ を利用して求めます。

ここで、\(\large{(\log x)^2}\) を 『\(\large{1 \times (\log x)^2}\)』 という 2つの関数の積とみなし、
\(\large{f'(x)= 1\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=(\log x)^2}\) として部分積分を使用します。

\begin{eqnarray} \large \int \hspace{1pt} (\log x)^2\hspace{1pt} dx&\large =&\large x \hspace{1pt} (\log x)^2 - \int x \hspace{1pt} ((\log x)^2)'\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} (\log x)^2 - \int x\hspace{1pt} \cdot 2\log x \cdot \frac{1}{x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} (\log x)^2 -2 \int \log x \hspace{1pt} dx\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。ここで、logxの不定積分から $$\large{\int \log x \hspace{1pt}dx = x \hspace{1pt} \log x -x + C}$$ であるため、 $$\large{\int \hspace{1pt} (\log x)^2\hspace{1pt} dx = x \hspace{1pt} (\log x)^2 -2x \log x +2x+C}$$ となります。

【8】(logx)^3の不定積分

\(\large{(\log x)^3}\) の不定積分は、以下の式により表されます。

・(logx)^3の積分公式の導出

\(\large{(\log x)^3}\) の不定積分は、部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ を利用して求めます。

ここで、\(\large{(\log x)^3}\) を 『\(\large{1 \times (\log x)^3}\)』 という 2つの関数の積とみなし、
\(\large{f'(x)= 1\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=(\log x)^3}\) として部分積分を使用します。

\begin{eqnarray} \large \int \hspace{1pt} (\log x)^3\hspace{1pt} dx&\large =&\large x \hspace{1pt} (\log x)^3 - \int x \hspace{1pt} ((\log x)^3)'\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} (\log x)^3 - \int x\hspace{1pt} \cdot 3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} (\log x)^3 -3 \int (\log x)^2 \hspace{1pt} dx\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。ここで、(logx)^2の不定積分から $$\large{\int \hspace{1pt} (\log x)^2\hspace{1pt} dx = x \hspace{1pt} (\log x)^2 -2x \log x +2x+C}$$ が成り立ちます。したがって、 \begin{eqnarray} &\large \int&\large \hspace{1pt} (\log x)^3\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} (\log x)^3 -3 \int (\log x)^2 \hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} (\log x)^3 -3 \{x \hspace{1pt} (\log x)^2 -2x \log x +2x \}+C\\[0.5em] \large &\large =&\large x\{ \hspace{1pt} (\log x)^3 -3 \hspace{1pt} (\log x)^2 +6 \log x -6\} +C\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。

【9】logx/xの不定積分

\(\displaystyle\large{\frac{\log x}{x}}\) の不定積分は、以下の式により表されます。

・logx/xの積分公式の導出

\(\displaystyle\large{\frac{\log x}{x}}\) の不定積分は、置換積分法により求めます。

\(\large{t= \log x }\) とおくと、対数関数の微分から \(\displaystyle\large{\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}}\) となり、\(\displaystyle\large{dt = \frac{1}{x}\hspace{1pt}dx}\) と表すことができます。

\(\displaystyle\large{\int \hspace{1pt} \frac{\log x}{x}\hspace{1pt} dx}\) を変数 \(\large{t}\) に置換して計算すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \int \hspace{1pt} \frac{\log x}{x}\hspace{1pt} dx&\large =&\large \int t \hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}t^2 + C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}(\log x)^2 + C\\[0.5em] \end{eqnarray}

【10】logx/x^2の不定積分

\(\displaystyle\large{\frac{\log x}{x^2}}\) の不定積分は、以下の式により表されます。

・logx/x^2の積分公式の導出

\(\displaystyle\large{\frac{\log x}{x^2}}\) の不定積分は、部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ を利用して求めます。

\(\displaystyle\large{f'(x)= \frac{1}{x^2}\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\log x}\) として部分積分を使用すると、以下のようになります。

\begin{eqnarray} \large &\int&\large \frac{\log x}{x^2}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{x}\cdot \log x - \int \left(-\frac{1}{x}\right) \cdot (\log x)' \hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{\log x}{x} +\int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{\log x}{x} +\int \frac{1}{x^2} \hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{\log x}{x} -\frac{1}{x} +C\\[0.5em] \end{eqnarray}

基本的な問題と解き方

本章では、\(\large{\log}\) の積分 に関連した基本的な問題について解説します。

(解答と解説 : 問題(1) 問題(2) 問題(3))

問題(1) log(bx+c)の積分

【解答と解説】
本問は、真数が (\(\large{bx+c}\)) の対数関数の不定積分を求める問題です。

真数が \(\large{bx+c}\) の対数の積分公式 \begin{eqnarray} &\large \int&\large \log (b\hspace{1pt}x+c)\hspace{1pt} dx\\[0.5em] &\large =&\large \frac{1}{b}(b\hspace{1pt}x+c) \hspace{1pt} \log (b\hspace{1pt}x+c) -x + C\\[0.5em] \end{eqnarray} を使用すると、 \begin{eqnarray} &\large \int&\large \log(3x+2)\hspace{1pt} dx\\[0.5em] &\large =&\large \frac{1}{3}(3\hspace{1pt}x+2) \hspace{1pt} \log (3\hspace{1pt}x+2) -x + C\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。

問題(2) log(logx)/xの定積分

【解答と解説】

\(\displaystyle\large{\frac{\log (\log x)}{x}}\) の不定積分は、置換積分法により求めます。

\(\large{t=\log x}\) とおくと、対数関数の微分から \(\displaystyle\large{\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}}\) となります。
すなわち、\(\displaystyle\large{dt = \frac{1}{x}\hspace{1pt}dx}\) と表すことができます。

\(\displaystyle\large{\int \frac{\log (\log x)}{x}\hspace{1pt}dx}\) を変数 \(\large{t}\) に置換して積分すると、以下のようになります。 $$\large{\int \hspace{1pt} \frac{\log (\log x)}{x}\hspace{1pt} dx = \int \log t \hspace{1pt}dt}$$ ここで、logxの不定積分から $$\large{\int \log x \hspace{1pt}dx = x \hspace{1pt} \log x -x + C}$$ が成り立ちます。したがって、 \begin{eqnarray} \large &\large \int &\large \frac{\log(\log x)}{x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \int \log t \hspace{1pt} dt\\[0.7em] \large &\large =&\large t \hspace{1pt} \log t -t + C\\[0.7em] \large &\large =&\large (\log x)\log (\log x) -\log x + C\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。

問題(3) 対数関数の不定積分

問題の不定積分は、置換積分法により求められます。

\(\large{t=\log (x^2+1) }\) とおくと、対数関数の微分から \(\displaystyle\large{\frac{dt}{dx}=\frac{2x}{x^2+1}}\) となります。
すなわち、\(\displaystyle\large{dt = \frac{2x}{x^2+1}\hspace{1pt}dx}\) と表すことができます。

すなわち、問題の不定積分を変数 \(\large{t}\) に置換して計算すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \int \frac{2x}{x^2+1} \log(x^2+1)\hspace{1pt} dx &\large =&\large \int t \hspace{1pt}dt\\[0.7em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}t^2+ C\\[0.7em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}\{\log (x^2+1)\}^2+ C\\[0.5em] \end{eqnarray}

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