本項では、『商の微分公式』 と 『問題の解き方』について解説します。
商の微分公式とは、微分可能な 2つの関数 \(\large{f(x),\hspace{5pt}g(x)}\) の商の導関数を求める公式です。
また、上式で \(\large{f(x)=1}\) である場合は以下が成り立ちます。
例えば、以下のような関数を 商の微分公式を利用して微分をします。
【例題】の解答
問題の関数において
\(\large{f(x)=2x}\)、\(\large{g(x)=x+1}\) とおくと商の微分公式
$$\large{\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$$
から、
\begin{eqnarray}
\large
\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' &\large =&\large\frac{(2x)'(x+1)-2x(x+1)'}{(x+1)^2}\\[0.5em]
\large
&\large =&\large \frac{2(x+1)-2x}{(x+1)^2}\\[0.5em]
\large
&\large =&\large \frac{2}{(x+1)^2}\\[0.5em]
\end{eqnarray}
と解くことができます。
商の微分公式を導関数の定義から導きます。
関数\(\large{f(x)}\) の 導関数\(\large{f'(x)}\) は、以下の式により定義されます。
上記の導関数の定義から、商の微分公式を証明します。
まず \(\displaystyle\large{ \left\{\frac{1}{g(x)}\right\}' = -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}}\) から証明します。
ここで、 $$\large{g'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}$$ であることから、 \begin{eqnarray} \large \left\{\frac{1}{g(x)}\right\}' &\large =&\large-g'(x)\frac{1}{g(x)g(x)}\\[0.5em] \large &\large =&\large-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\\[0.5em] \end{eqnarray} したがって、 $$\large{\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}' = -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$$ が導かれます。
ここで、2つの関数の積の導関数には、以下の積の微分公式が成り立ちます。
上記の公式を利用して、商の微分公式を導きます。 \begin{eqnarray} \large \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' &\large =&\large\left\{f(x)\cdot\frac{1}{g(x)}\right\}'\\[0.5em] \large &\large =&\large f'(x)\frac{1}{g(x)} + f(x)\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}'\\[0.5em] \large &\large =&\large\frac{f'(x)}{g(x)} + f(x)\cdot\frac{-g'(x)}{\{g(x)\}^2}\\[0.5em] \large &\large =&\large\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\\[0.5em] \end{eqnarray} と商の微分公式が導かれます。
本章では、商の微分公式 に関連した問題について解説します。
問題(1)～(3)は、関数の商の微分を計算する問題です。
(解答と解説 : 問題(1) 問題(2) 問題(3))
問題(4)～(7)は、三角関数や指数関数、対数関数を含んだ関数に、商の微分公式を適応する問題です。
(解答と解説 : 問題(4) 問題(5) 問題(6) 問題(7))
【解答と解説】
本問は、商の微分公式により関数を微分する問題です。
分子が \(\large{1}\) であることから、以下の微分公式を使用します。
\(\large{g(x)=x^2-1}\) とおくと商の微分公式から、 \begin{eqnarray} \large \left\{\frac{1}{g(x)}\right\}' &\large =&\large-\frac{(x^2-1)'}{(x^2-1)^2}\\[0.5em] \large &\large =&\large-\frac{2x}{(x^2-1)^2}\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。
【解答と解説】
本問は、商の微分公式により関数を微分する問題です。
以下の微分公式から計算します。
\(\large{f(x)=x\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=x^3+1}\) とおくと商の微分公式から、 \begin{eqnarray} \large \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' &\large =&\large \frac{x'\cdot(x^3+1)-x\cdot(x^3+1)'}{(x^3+1)^2}\\[0.5em] \large &\large =&\large\frac{(x^3+1)-3x^3}{(x^3+1)^2}\\[0.5em] \large &\large =&\large\frac{-2x^3+1}{(x^3+1)^2}\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。
【解答と解説】
本問は、商の微分公式により関数を微分する問題です。
\(\large{f(x)=x^2-2\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=x+1}\) とおくと商の微分公式 $$\large{\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$$ から、
と求められます。
【解答と解説】
本問は、商の微分公式により三角関数を含む関数を微分する問題です。
\(\large{f(x)=\sin x\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=x}\) とおくと商の微分公式 $$\large{\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$$ と、三角関数の微分 $$\large{(\sin x)' = \cos x}$$ から、 \begin{eqnarray} \large \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' &\large =&\large \frac{(\sin x)'\cdot x- \sin x \cdot x'}{x^2}\\[0.5em] \large &\large =&\large\frac{x\cos x - \sin x}{x^2}\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。
【解答と解説】
本問は、商の微分公式により三角関数を含む関数を微分する問題です。
\(\large{f(x)=\cos x\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=x^2}\) とおくと商の微分公式 $$\large{\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$$ と、三角関数の微分 $$\large{(\cos x)' = -\sin x}$$ から、 \begin{eqnarray} \large \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' &\large =&\large \frac{(\cos x)'\cdot x^2- \cos x \cdot (x^2)'}{x^4}\\[0.5em] \large &\large =&\large\frac{-x^2\sin x - 2x\cos x}{x^4}\\[0.5em] \large &\large =&\large-\frac{x\sin x + 2\cos x}{x^3}\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。
【解答と解説】
本問は、商の微分公式により指数関数を含む関数を微分する問題です。
\(\large{f(x)=e^x\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=x^2+1}\) とおくと商の微分公式 $$\large{\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$$ と、指数関数の微分 $$\large{(e^x)' = e^x}$$ から、
と求められます。
【解答と解説】
本問は、商の微分公式により対数関数を含む関数を微分する問題です。
\(\large{f(x)=\log x\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=x}\) とおくと商の微分公式 $$\large{\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$$ と、対数関数の微分 $$\large{(\log x)' = \frac{1}{x}}$$ から、 \begin{eqnarray} \large \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' &\large =&\large \frac{(\log x)'\cdot x- \log x \cdot (x)'}{x^2}\\[0.5em] \large &\large =&\large\frac{(1/x)\cdot x - \log x}{x^2}\\[0.5em] \large &\large =&\large\frac{1-\log x}{x^2}\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。