三角関数の微分

本項では、『三角関数の微分』 と 『問題の解き方』について解説します。

【1】三角関数の微分公式

三角関数の微分は、以下の式により表されます。

・sinxの微分の式の証明

\(\large{\sin x}\) の微分の式を、以下の 導関数の定義 から証明します。

導関数の定義から、\(\large{f(x)=\sin x}\) の導関数を求めると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large (\sin x)' &\large =&\large \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\[0.5em] &\large =&\large \lim_{h \to 0}\frac{\sin (x+h)- \sin x}{h}\\[0.5em] \end{eqnarray} ここで、三角関数の加法定理 $$\large{\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}$$ から、 \begin{eqnarray} \large (\sin x)' &\large =&\large \lim_{h \to 0}\frac{(\sin x \cos h + \cos x \sin h)- \sin x}{h}\\[0.5em] \large &\large =&\large \lim_{h \to 0} \left( \cos x\frac{\sin h}{h} - \sin x \frac{1-\cos h}{h}\right)\\[0.5em] \end{eqnarray} ここで、三角関数の極限から $$\large{\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}=1}$$ となります。

また、 \begin{eqnarray} \large \lim_{h \to 0} \frac{1-\cos h}{h}&\large =&\large \lim_{h \to 0} \frac{(1-\cos h)(1+\cos h)}{h(1+\cos h)}\\[0.5em] &\large =&\large \lim_{h \to 0} \frac{1-\cos^2 h}{h(1+\cos h)}\\[0.5em] &\large =&\large \lim_{h \to 0} \frac{\sin^2 h}{h(1+\cos h)}\\[0.5em] &\large =&\large \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}\cdot \frac{\sin h}{1+ \cos h}\\[0.5em] &\large =&\large 1 \cdot \frac{0}{2}\\[0.5em] &\large =&\large 0\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。

したがって、 \begin{eqnarray} \large (\sin x)' &\large =&\large\lim_{h \to 0} \left( \cos x\frac{\sin h}{h} - \sin x \frac{1-\cos h}{h}\right)\\[0.5em] \large &\large =&\large (\cos x \cdot 1 - \sin x \cdot 0)\\[0.5em] \large &\large =&\large \cos x\\[0.5em] \end{eqnarray} となることから、\(\large{\sin x}\) の微分公式 $$\large{(\sin x)' = \cos x}$$ が導かれます。

・cosxの微分の式の証明

\(\large{\cos x}\) の微分は、\(\large{(\sin x)'=\cos x}\) の式から導くことができます。

三角関数の性質から、 $$\large{\sin \left(x+\frac{\pi}{2} \right)= \cos x}$$ $$\large{\cos \left(x+\frac{\pi}{2} \right) = -\sin x }$$ の関係があります。

上式から、\(\large{\cos}\) を \(\large{\sin}\) に変換して微分を求めると \begin{eqnarray} \large (\cos x)' &\large =&\large \left( \sin \left(x+\frac{\pi}{2} \right) \right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \cos \left(x+\frac{\pi}{2} \right) \cdot \left(x+\frac{\pi}{2} \right)' \\[0.5em] \large &\large =&\large -\sin x \\[0.5em] \end{eqnarray} となることから、\(\large{\cos x}\) の微分公式 $$\large{(\cos x)' = -\sin x}$$ が導かれます。
(上記の \(\displaystyle\large{ \sin (x+\frac{\pi}{2} )}\) の微分には、合成関数の微分を利用しています。)

・tanxの微分の式の証明

\(\displaystyle\large{(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}}\) の微分の公式は、これまでに導いた \(\large{(\sin x)'=\cos x}\) と \(\large{(\cos x)'=-\sin x}\) の式から求められます。

また、商の微分公式 $$\large{\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$$ を利用します。

\(\displaystyle\large{\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}}\) であることから、 \begin{eqnarray} \large (\tan x)' &\large =&\large \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{(\sin x)'\cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos^2 x} \\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{\cos^2 x + \sin^2 x }{\cos^2 x} \\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{\cos^2 x} \\[0.5em] \end{eqnarray} となることから、\(\large{\tan x}\) の微分公式 $$\large{(\tan x)' =\frac{1}{\cos^2 x}}$$ が導かれます。

【2】問題と解き方

本章では、三角関数の微分 に関連した問題について解説します。

問題(1)～(3)は、三角関数の微分公式と、合成関数の微分を使用する問題です。
(解答と解説 : 問題(1) 問題(2) 問題(3))

問題(4)～(6)は、三角関数の微分公式と、商の微分公式を使用する問題です。
(解答と解説 : 問題(4) 問題(5) 問題(6))

問題(7)～(9)は、ルートを含む三角関数の微分の問題です。
(解答と解説 : 問題(7) 問題(8) 問題(9))

問題(10)～(12)は、指数関数、対数関数を含む三角関数の微分の問題です。
(解答と解説 : 問題(10) 問題(11) 問題(12))

問題(1) sinxの微分

【解答と解説】
本問は、以下の \(\large{\sin}\) の微分公式を使用して微分します。

また、合成関数の微分公式 $$\large{ \{f(\hspace{1pt}g(x))\}' = f'(\hspace{1pt}g(x))\hspace{1pt}g'(x)}$$ を利用します。

与えられた関数を微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large y' &\large =&\large \cos \left(2x+ \frac{\pi}{6}\right) \cdot \left(2x+ \frac{\pi}{6}\right)'\\[0.5em] \large &\large =&\large 2 \cos \left(2x+ \frac{\pi}{6}\right)\\[0.5em] \end{eqnarray}

問題(2) cosxの微分

【解答と解説】
本問は、以下の \(\large{\cos}\) の微分公式を使用して微分します。

また、\(\large{\cos^2 x}\) は \(\large{(\cos x)^2}\) を表しており、合成関数の微分公式 $$\large{ \{f(\hspace{1pt}g(x))\}' = f'(\hspace{1pt}g(x))\hspace{1pt}g'(x)}$$ を利用して微分します。

与えられた関数を微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large y' &\large =&\large 2 \cos x \cdot (\cos x)'\\[0.5em] &\large =&\large 2 \cos x \cdot (-\sin x)\\[0.5em] \large &\large =&\large -2\sin x \cos x\\[0.5em] \end{eqnarray}

問題(3) tanxの微分

【解答と解説】
本問は、以下の \(\large{\tan}\) の微分公式を使用して微分します。

また、\(\large{\tan^3 x}\) は \(\large{(\tan x)^3}\) を表しており、合成関数の微分公式 $$\large{ \{f(\hspace{1pt}g(x))\}' = f'(\hspace{1pt}g(x))\hspace{1pt}g'(x)}$$ を利用して微分します。

与えられた関数を微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large y' &\large =&\large 3 \tan^2 x \cdot (\tan x)'\\[0.5em] &\large =&\large 3 \tan^2 x \cdot \left(\frac{1}{\cos^2 x}\right)\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{3\tan^2 x }{\cos^2 x}\\[0.5em] \end{eqnarray}

問題(4) 1/sinxの微分

【解答と解説】
本問は、以下の \(\large{\sin}\) の微分公式を使用して微分します。

また、分子が1のときの商の微分公式 $$\large{\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}' = -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$$ を利用して微分します。

与えられた関数を微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large y' &\large =&\large -\frac{(\sin x)'}{\{\sin x\}^2}\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{\cos x}{\sin^2 x}\\[0.5em] \end{eqnarray}

問題(5) 1/cosxの微分

【解答と解説】
本問は、以下の \(\large{\cos}\) の微分公式を使用して微分します。

また、問題(4)と同様に、分子が1のときの商の微分公式 $$\large{\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}' = -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$$ を利用して微分します。

与えられた関数を微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large y' &\large =&\large -\frac{(\cos x)'}{\{\cos x\}^2}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{\sin x}{\cos^2 x}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{\tan x}{\cos x}\\[0.5em] \end{eqnarray}

問題(6) 1/tanxの微分

【解答と解説】
本問は、以下の \(\large{\tan}\) の微分公式を使用して微分します。

また、問題(4)、(5)と同様に、分子が1のときの商の微分公式 $$\large{\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}' = -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$$ を利用して微分します。

与えられた関数を微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large y' &\large =&\large -\frac{(\tan x)'}{\{\tan x\}^2}\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{\cos^2 x}\cdot\frac{1}{\tan^2 x}\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{\cos^2 x}\cdot\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{\sin^2 x}\\[0.5em] \end{eqnarray}

問題(7) ルートと三角関数の微分

【解答と解説】
本問は、以下の \(\large{\sin}\) の微分公式を使用して微分します。

また、合成関数の微分公式 $$\large{ \{f(\hspace{1pt}g(x))\}' = f'(\hspace{1pt}g(x))\hspace{1pt}g'(x)}$$ を利用して微分します。

与えられた関数を微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large y' &\large =&\large \frac{1}{2}(1+\sin x)^{-\frac{1}{2}}\cdot(1+\sin x)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}(1+\sin x)^{-\frac{1}{2}}\cdot(\cos x)\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{\cos x}{2\sqrt{1+\sin x}}\\[0.5em] \end{eqnarray}

問題(8) ルートと三角関数の微分

【解答と解説】
本問は、以下の \(\large{\cos}\) の微分公式を使用して微分します。

また、合成関数の微分公式 $$\large{ \{f(\hspace{1pt}g(x))\}' = f'(\hspace{1pt}g(x))\hspace{1pt}g'(x)}$$ を利用して微分します。

与えられた関数を微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large y' &\large =&\large \frac{1}{2}(\cos x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot(\cos x^2)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}(\cos x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot(-\sin x^2)\cdot 2x\\[0.5em] &\large =&\large -\frac{ x\sin x^2}{\sqrt{\cos x^2}}\\[0.5em] \end{eqnarray}

問題(9) ルートと三角関数の微分

【解答と解説】
本問は、以下の \(\large{\tan}\) の微分公式を使用して微分します。

また、合成関数の微分公式 $$\large{ \{f(\hspace{1pt}g(x))\}' = f'(\hspace{1pt}g(x))\hspace{1pt}g'(x)}$$ を利用して微分します。

与えられた関数を微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large y' &\large =&\large \frac{1}{2}(1+\tan^2 x)^{-\frac{1}{2}}\cdot(1+\tan^2 x)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}(1+\tan^2 x)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2 \tan x \cdot(\tan x)'\\[0.5em] \large &\large =&\large (1+\tan^2 x)^{-\frac{1}{2}}\cdot \tan x\frac{1}{\cos^2 x}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{\tan x}{\cos^2 x \sqrt{1+\tan^2 x}}\\[0.5em] \end{eqnarray}

問題(10) 指数関数と三角関数の積の関数

【解答と解説】
本問は、積の微分公式 $$\large{ \{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$$ を使用して微分します。

また、指数関数の微分 $$\large{(e^x)' = e^x}$$ であることを使用します。

与えられた関数を微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large y' &\large =&\large (e^x)'\sin x + e^x (\sin x)'\\[0.5em] \large &\large =&\large e^x \sin x + e^x \cos x\\[0.5em] \large &\large =&\large e^x (\sin x + \cos x)\\[0.5em] \end{eqnarray}

問題(11) 対数関数と三角関数の関数

【解答と解説】
本問は、対数関数の微分 $$\large{(\log |x|)' = \frac{1}{x}}$$ であることを使用します。

与えられた関数を微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large y' &\large =&\large \frac{1}{\tan x} \cdot (\tan x)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{\sin x \cos x}\\[0.5em] \end{eqnarray}

問題(12) 対数関数と三角関数の関数

【解答と解説】
本問は、対数の公式 \begin{eqnarray} \large \log_a M^b &\large =&\large b \log_a M\\[0.5em] \large \log_a \frac{M}{N}&\large =&\large \log_a M - \log_a N\\[0.5em] \end{eqnarray} から、与えられた関数を以下のように変形します。 \begin{eqnarray} \large y &\large =&\large \log \sqrt{\frac{\cos x}{\sin x + 1}}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2} \log \frac{\cos x}{\sin x + 1}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2} (\log \cos x - \log (\sin x +1))\\[0.5em] \end{eqnarray}

ここで、\(\large{\log \cos x}\) を微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large (\log \cos x)' &\large =&\large \frac{1}{\cos x} \cdot (\cos x)'\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{\sin x}{\cos x} \\[0.5em] \end{eqnarray}

また、\(\large{\log (\sin x +1)}\) を微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large (\log (\sin x +1))' &\large =&\large \frac{1}{\sin x +1} \cdot (\sin x +1)'\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{\cos x}{\sin x + 1} \\[0.5em] \end{eqnarray}

したがって、与えられた関数を微分すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large y' &\large =&\large\frac{1}{2} ((\log \cos x)' - (\log (\sin x +1))')\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2} (-\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x + 1}) \\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{2} \frac{\sin x(\sin x + 1) + \cos^2 x}{\cos x (\sin x + 1)} \\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{2} \frac{\sin x + 1}{\cos x (\sin x + 1)} \\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{2\cos x } \\[0.5em] \end{eqnarray}

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