三角関数 sin,cos の積分公式

本項では、『三角関数 sin, cos の積分公式』 と 『問題の解き方』について解説します。

【1】sin,cosの積分公式の一覧

以下に \(\large{\sin}\) と \(\large{\cos}\) に関連する不定積分の一覧を示します。
『導出』をクリックすると、各公式の導出方法に移動します。

三角関数 \(\large{\sin x}\) , \(\large{\cos x}\) の逆数の不定積分の一覧を示します。

三角関数 \(\large{\sin x}\) と \(\large{\cos x}\) の積、指数関数\(\large{e^x}\) との積の不定積分の一覧を示します。

・三角関数の不定積分のポイント

\(\displaystyle\large{\int \sin^2 x \hspace{1pt}dx}\)、\(\displaystyle\large{\int \cos^3 x \hspace{1pt}dx}\)、\(\displaystyle\large{\int \sin3x \cos 2x \hspace{1pt}dx}\) などの積分を求める場合は、『\(\large{\sin x}\) や \(\large{\cos x}\) の次数を1次に変換する』ことがポイントです。

例えば、三角関数の2乗の積分を計算するときは、以下の 半角の公式 を利用します。 $$\displaystyle\large{\hspace{3pt}\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}}$$ $$\displaystyle\large{\hspace{3pt}\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}}$$

また、三角関数の3乗の積分を計算するときは、以下の 三倍角の公式 を利用します。 \begin{eqnarray} \large \sin3 x &\large =&\large 3\sin x -4\sin^3 x\\[0.5em] \large \cos3 x &\large =&\large -3\cos x +4\cos^3 x\\[0.5em] \end{eqnarray}

三角関数の積 \(\large{\sin 2x \cos x}\) , \(\large{\sin 2x \sin x}\) などの積分を計算するときは、積和の公式 を利用します。 $$\displaystyle\large{\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}}\hspace{5pt}$$ $$\displaystyle\large{\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}}\hspace{3pt}$$ $$\displaystyle\large{\hspace{3pt}\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}}$$

また、\(\displaystyle\large{\int \sin x \cdot f(\cos x)\hspace{1pt}dx}\)、\(\displaystyle\large{\int \cos x \cdot f(\sin x)\hspace{1pt}dx}\) の式に変形し、置換積分法を用いることもあります。

例えば、sinの逆数の積分 \(\displaystyle\large{\int \frac{1}{\sin x}\hspace{1pt}dx}\) を計算する場合は、 \begin{eqnarray} \large \int \frac{1}{\sin x}\hspace{1pt} dx &\large =&\large \int \frac{\sin x}{\sin^2 x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \int \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \end{eqnarray} と変形し、\(\large{t = \cos x}\) とおくことで置換積分法が使用できます。

【2】sinx,cosxの不定積分

三角関数の微分から、三角関数 \(\large{\sin x}\) と \(\large{\cos x}\) を微分すると以下のようになります。 \begin{eqnarray} &&\large (\sin x)' \hspace{3pt}= \hspace{10pt}\cos x\\[0.7em] &&\large (\cos x)'\hspace{3pt}= \hspace{1pt}-\sin x\\[0.5em] \end{eqnarray} 不定積分とは、微分すると関数 \(\large{f(x)}\) となる関数 \(\large{F(x)}\) を求める操作であることから、三角関数 \(\large{\sin x}\) と \(\large{\cos x}\) の不定積分は、以下の公式で表されます。

また、\(\displaystyle\large{\int f(x) \hspace{1pt}dx =F(x) + C}\) , \(\large{a \neq 0}\) であるときの積分の公式 $$\large{\int f(ax+b) \hspace{1pt}dx = \frac{1}{a}F(ax+b) + C}$$ から上記の公式は、以下のように表すことができます。

【3】sinx,cosxの2乗の不定積分

\(\large{\sin^2 x}\) と \(\large{\cos^2 x}\) の不定積分は、以下の式により表されます。

三角関数の2乗の積分を計算するときは、以下の 半角の公式 を利用します。 $$\displaystyle\large{\hspace{3pt}\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}}$$ $$\displaystyle\large{\hspace{3pt}\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}}$$

・sinxの2乗の不定積分の導出

半角の公式から、\(\large{\sin^2 x}\) の不定積分は、以下のように求められます。 \begin{eqnarray} \large \int \sin^2 x\hspace{1pt} dx &\large =&\large \int \frac{1-\cos 2x}{2}\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}\int (1-\cos 2x)dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}\sin 2x) +C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 2x +C\\[0.5em] \end{eqnarray}

・cosxの2乗の不定積分の導出

また、\(\large{\cos^2 x}\) の不定積分は、以下のように求められます。 \begin{eqnarray} \large \int \cos^2 x\hspace{1pt} dx &\large =&\large \int \frac{1+\cos 2x}{2}\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}\int (1+\cos 2x)dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin 2x) +C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x +C\\[0.5em] \end{eqnarray}

【4】sinx,cosxの3乗の不定積分

\(\large{\sin^3 x}\) と \(\large{\cos^3 x}\) の不定積分は、以下の式により表されます。

\(\large{\sin x}\)、\(\large{\cos x}\) の3乗の積分を計算するときは、以下の 三倍角の公式 を利用します。 \begin{eqnarray} \large \sin3 x &\large =&\large 3\sin x -4\sin^3 x\\[0.5em] \large \cos3 x &\large =&\large -3\cos x +4\cos^3 x\\[0.5em] \end{eqnarray}

・sinxの3乗の不定積分の導出

三倍角の公式から、\(\large{\sin^3 x}\) の積分を計算すると、以下のように計算されます。 \begin{eqnarray} \large \int \sin^3 x\hspace{1pt} dx &\large =&\large \int \left(\frac{3}{4}\sin x -\frac{1}{4}\sin 3x \right)\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{4}\int \left(3\sin x -\sin 3x \right)\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{4}(-3 \cos x +\frac{1}{3}\cos 3x) + C\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{3}{4}\cos x +\frac{1}{12}\cos 3x + C\\[0.5em] \end{eqnarray}

・cosxの3乗の不定積分の導出

また、\(\large{\cos^3 x}\) の積分を変形すると、以下のように計算されます。 \begin{eqnarray} \large \int \cos^3 x\hspace{1pt} dx &\large =&\large \int \left(\frac{3}{4}\cos x +\frac{1}{4}\cos 3x \right)\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{4}\int \left(3\cos x +\cos 3x \right)\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{4}(3 \sin x +\frac{1}{3}\sin 3x) + C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{3}{4}\sin x +\frac{1}{12}\sin 3x + C\\[0.5em] \end{eqnarray}

また、\(\large{\sin^3 x}\) と \(\large{\cos^3 x}\) の不定積分は、置換積分法を利用して解くこともできます。
置換積分法による導出は、後述する問題で解説しています。(問題(4) , 問題(5))

【5】sinx,cosxの逆数の不定積分

\(\displaystyle\large{\frac{1}{\sin x}}\) と \(\displaystyle\large{\frac{1}{\cos x}}\) の不定積分は、以下の式により表されます。

・sinxの逆数の不定積分の導出

\(\displaystyle\large{\frac{1}{\sin x}}\) と \(\displaystyle\large{\frac{1}{\cos x}}\) の不定積分は、置換積分法を利用して解くことができます。

\(\displaystyle\large{\frac{1}{\sin x}}\) を以下のように変形します。 \begin{eqnarray} \large \int \frac{1}{\sin x}\hspace{1pt} dx &\large =&\large \int \frac{\sin x}{\sin^2 x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \int \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \end{eqnarray}

ここで、\(\large{t = \cos x}\) とおき、両辺を \(\large{x}\) で微分すると $$\large{\frac{dt}{dx}=-\sin x}$$ すなわち、\(\displaystyle\large{dt = -\sin x \hspace{1pt}dx}\) と表せます。

置換積分法から、問題の積分を \(\large{t}\) の式に変換すると、以下のように計算できます。 \begin{eqnarray} \large \int \frac{1}{\sin x}\hspace{1pt} dx &\large =&\large \int \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large - \int \frac{1}{1-t^2}\hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large - \int \frac{1}{(1+t)(1-t)}\hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large - \frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{1+t} + \frac{1}{1-t}\right)\hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large - \frac{1}{2} (\log |1+t| - \log |1-t|)+C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2} \log \left|\frac{1-t}{1+t}\right|+C\\[0.5em] \end{eqnarray} \(\large{t = \cos x}\) であることから、 $$\large{\int \frac{1}{\sin x}\hspace{1pt} dx = \frac{1}{2} \log \frac{1-\cos x}{1+\cos x}+C}$$ となります。

・cosxの逆数の不定積分の導出

また、\(\displaystyle\large{\frac{1}{\cos x}}\) は以下のように導出します。

\(\displaystyle\large{\frac{1}{\cos x}}\) を以下のように変形します。 \begin{eqnarray} \large \int \frac{1}{\cos x}\hspace{1pt} dx &\large =&\large \int \frac{\cos x}{\cos^2 x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \end{eqnarray}

ここで、\(\large{t = \sin x}\) とおき、両辺を \(\large{x}\) で微分すると $$\large{\frac{dt}{dx}=\cos x}$$ すなわち、\(\displaystyle\large{dt = \cos x \hspace{1pt}dx}\) と表せます。

置換積分法から、\(\large{t}\) の式に変換すると、以下のように計算できます。 \begin{eqnarray} \large \int \frac{1}{\cos x}\hspace{1pt} dx &\large =&\large \int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \int \frac{1}{1-t^2}\hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \int \frac{1}{(1+t)(1-t)}\hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{1+t} + \frac{1}{1-t}\right)\hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2} (\log |1+t| - \log |1-t|)+C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2} \log \left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C\\[0.5em] \end{eqnarray} \(\large{t = \sin x}\) であることから、 $$\large{\int \frac{1}{\cos x}\hspace{1pt} dx = \frac{1}{2} \log \frac{1+\sin x}{1-\sin x}+C}$$ となります。

【6】sinx,cosxの二乗の逆数の不定積分

\(\displaystyle\large{\frac{1}{\sin^2 x}}\) と \(\displaystyle\large{\frac{1}{\cos^2 x}}\) の不定積分は、以下の式により表されます。

・sinxの二乗の逆数の不定積分の導出

\(\displaystyle\large{\frac{1}{\sin^2 x}}\) の不定積分は、置換積分法を利用して解くことができます。

\(\large{t=\tan x}\) とおき、両辺を \(\large{x}\) で微分すると、三角関数の微分から $$\large{\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x}}$$

ここで、\(\displaystyle\large{\tan^2 x +1 = \frac{1}{\cos^2 x}}\) より、 $$\large{\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x} = t^2 + 1}$$ すなわち、\(\displaystyle\large{dx = \frac{1}{1+t^2} dt}\) となります。

また、\(\displaystyle\large{\frac{1}{\sin^2 x}}\) を \(\large{t}\) で表すと、 \begin{eqnarray} \large \frac{1}{\sin^2 x} &\large =&\large \frac{1}{1-\cos^2 x} \\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{1-\frac{1}{1+\tan^2 x}}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1+\tan^2 x}{\tan^2 x}\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1+t^2}{t^2}\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。

以上より、積分を変形すると、以下のように計算されます。 \begin{eqnarray} \large \int \frac{1}{\sin^2 x} \hspace{1pt} dx &\large =&\large \int\frac{1+t^2}{t^2}\cdot \frac{1}{1+t^2} \hspace{1pt}dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \int \frac{1}{t^2} \hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{t} +C\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{\tan x}+C\\[0.5em] \end{eqnarray}

・cosxの二乗の逆数の不定積分の導出

\(\displaystyle\large{\frac{1}{\cos^2 x}}\) の不定積分は、\(\displaystyle\large{\frac{1}{\sin^2 x}}\) と同様に、置換積分法を利用して解くことができます。

\(\large{t=\tan x}\) とおき、両辺を \(\large{x}\) で微分すると、三角関数の微分から $$\large{\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x}}$$

ここで、\(\displaystyle\large{\tan^2 x +1 = \frac{1}{\cos^2 x}}\) より、 $$\large{\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x} = t^2 + 1}$$ すなわち、\(\displaystyle\large{dx = \frac{1}{1+t^2} dt}\) となります。

以上から、以下のように計算されます。 \begin{eqnarray} \large \int \frac{1}{\cos^2 x} \hspace{1pt} dx &\large =&\large \int (1 + \tan^2 x) \hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \int (1+ t^2)\cdot \frac{1}{1+t^2} \hspace{1pt}dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \int 1 \hspace{1pt}dt\\[0.5em] \large &\large =&\large t + C\\[0.5em] \large &\large =&\large \tan x + C\\[0.5em] \end{eqnarray}

【7】sinxcosxの不定積分

\(\displaystyle\large{\sin x \cos x}\) の不定積分は、以下の式により表されます。

・sinxcosxの不定積分の導出

三角関数の \(\large{\sin x}\) と \(\large{\cos x}\) の積 \(\large{\sin x \cos x}\) の積分を計算するときは、二倍角の公式を利用します。 $$\displaystyle\large{\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}}$$

二倍角の公式から、問題の積分を変形すると、以下のように計算されます。 \begin{eqnarray} \large \int \sin x \cos x\hspace{1pt} dx &\large =&\large \int \frac{\sin 2x}{2}\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}\int \sin 2x \hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}\cos 2x) +C\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{4}\cos 2x +C\\[0.5em] \end{eqnarray}

【8】指数関数との積の不定積分

三角関数と指数関数の積 \(\large{e^x \sin x}\) , \(\large{e^x \cos x}\) の不定積分は、以下の式により表されます。

・指数関数との積の不定積分の導出

三角関数と指数関数の積 \(\large{e^x \sin x}\) , \(\large{e^x \cos x}\) の積分を計算するときは、部分積分から積分を求めた後、連立方程式として解くことにより求めます。

部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ から、 $$\large{\int e^x \sin x \hspace{1pt}dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \hspace{1pt}dx \cdots (1)}$$ $$\large{\int e^x \cos x \hspace{1pt}dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \hspace{1pt}dx \cdots (2)}$$ が成り立ちます。

ここで、(1)式と(2)式から \(\displaystyle\large{\int e^x \sin x \hspace{1pt}dx}\)、 \(\displaystyle\large{\int e^x \cos x \hspace{1pt}dx}\) について解くと、 $$\large{\int e^x \sin x\hspace{1pt}dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x)+C}$$ $$\large{\int e^x \cos x\hspace{1pt}dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x + \cos x)+C}$$ と求めることができます。

【9】問題と解き方

\(\large{\sin}\) と \(\large{\cos}\) の不定積分に関連する問題と解き方について解説します。

問題(1)～(3)は、三基本的な角関数の不定積分を求める問題です。
(解答と解説 : 問題(1) 問題(2) 問題(3))

問題(4),(5)は、置換積分法で不定積分を求める問題です。(【4】3乗の不定積分の導出では、三倍角の公式から求めています)

(解答と解説 : 問題(4) 問題(5))

問題(6)～(8)は、積和の公式から三角関数の積の積分を求める問題です。
(解答と解説 : 問題(6) 問題(7) 問題(8))

問題(1) sinxの不定積分

【解答と解説】
本問は、三角関数の不定積分を求める問題です。

三角関数の不定積分の公式 $$\large{\int \sin x \hspace{1pt}dx = -\cos x + C}$$ から計算します。

また、\(\large{F'(x)=f(x),\hspace{2pt}a \neq 0}\) のときの積分の公式 $$\large{\int f(ax+b) \hspace{1pt}dx = \frac{1}{a}F(ax+b) + C}$$ を利用して不定積分を計算すると、以下のようになります。

$$\large{\int \sin (3x-2)\hspace{1pt} dx = - \frac{1}{3}\cos(3x-2) + C}$$

問題(2) cosxの不定積分

【解答と解説】
本問は、三角関数の不定積分を求める問題です。

三角関数の不定積分の公式 $$\large{\int \cos x \hspace{1pt}dx = \sin x + C}$$ から計算します。

また、\(\large{F'(x)=f(x),\hspace{2pt}a \neq 0}\) のときの積分の公式 $$\large{\int f(ax+b) \hspace{1pt}dx = \frac{1}{a}F(ax+b) + C}$$ を利用して不定積分を計算すると、以下のようになります。

$$\large{\int \cos (5x+1)\hspace{1pt} dx = \frac{1}{5}\sin(5x+1) + C}$$

問題(3) cosxの2乗の不定積分

【解答と解説】
本問は、三角関数 \(\large{\cos 3x}\) の2乗の不定積分を求める問題です。

三角関数の2乗の積分を計算するときは、半角の公式を利用します。 $$\displaystyle\large{\hspace{3pt}\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}}$$ $$\displaystyle\large{\hspace{3pt}\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}}$$

半角の公式から、問題の積分を変形すると、以下のように計算されます。 \begin{eqnarray} \large \int \cos^2 3x\hspace{1pt} dx &\large =&\large \int \frac{1+\cos 6x}{2}\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}\int (1+\cos 6x)dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}(x+\frac{1}{6}\sin 6x) +C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}x+\frac{1}{12}\sin 6x +C\\[0.5em] \end{eqnarray}

問題(4) sinxの3乗の不定積分

【解答と解説】
\(\large{\sin^3 x}\) の不定積分は、三倍角の公式から求められますが、置換積分法を利用して解くこともできます。

問題の積分を変形すると、 $$\large{\int \sin^3 x\hspace{1pt} dx = \int \sin x (1-\cos^2 x)\hspace{1pt} dx}$$ となります。

ここで、\(\large{t = \cos x}\) とおき、両辺を \(\large{x}\) で微分すると $$\large{\frac{dt}{dx}=-\sin x}$$ すなわち、\(\displaystyle\large{dt = -\sin x \hspace{1pt}dx}\) と表せます。

置換積分法から、問題の積分を \(\large{t}\) の式に変換すると、以下のように計算できます。 \begin{eqnarray} \large \int \sin^3 x\hspace{1pt} dx &\large =&\large \int \sin x (1-\cos^2 x)\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large -\int (1-t^2)\hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large -(t-\frac{1}{3}t^3) + C\\[0.5em] \large &\large =&\large -t+\frac{1}{3}t^3 + C\\[0.5em] \end{eqnarray} \(\large{t = \cos x}\) であることから、 $$\large{\int \sin^3 x\hspace{1pt} dx = -\cos x + \frac{1}{3}\cos^3 x+C}$$ となります。

上式を 三倍角の公式 \(\large{\cos3 x = -3\cos x +4\cos^3 x}\) から変形すると、 $$\large{\int \sin^3 x\hspace{1pt} dx = -\frac{3}{4}\cos x + \frac{1}{12}\cos 3x+C}$$ となり、三倍角の公式を使用した導出(【4】sinの3乗の不定積分の導出)と一致することが分かります。

問題(5) cosxの3乗の不定積分

【解答と解説】
\(\large{\cos^3 x}\) の不定積分は、三倍角の公式から求められますが、置換積分法を利用して解くこともできます。

問題の積分を変形すると、 $$\large{\int \cos^3 x\hspace{1pt} dx = \int \cos x (1-\sin^2 x)\hspace{1pt} dx}$$ となります。

ここで、\(\large{t = \sin x}\) とおき、両辺を \(\large{x}\) で微分すると $$\large{\frac{dt}{dx}=\cos x}$$ すなわち、\(\displaystyle\large{dt = \cos x \hspace{1pt}dx}\) と表せます。

置換積分法から、問題の積分を \(\large{t}\) の式に変換すると、以下のように計算できます。 \begin{eqnarray} \large \int \cos^3 x\hspace{1pt} dx &\large =&\large \int \cos x (1-\sin^2 x)\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \int (1-t^2)\hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large t-\frac{1}{3}t^3 + C\\[0.5em] \end{eqnarray} \(\large{t = \sin x}\) であることから、 $$\large{\int \cos^3 x\hspace{1pt} dx = \sin x - \frac{1}{3}\sin^3 x+C}$$ となります。

上式を 三倍角の公式 \(\large{\sin3 x = 3\sin x -4\sin^3 x}\) から変形すると、 $$\large{\int \cos^3 x\hspace{1pt} dx = \frac{3}{4}\sin x +\frac{1}{12}\sin 3x + C}$$ となり、三倍角の公式を使用した導出(【4】cosの3乗の不定積分の導出)と一致することが分かります。

問題(6) 積和の公式を利用した三角関数の積分

【解答と解説】
本問は、三角関数 \(\large{\sin 3x}\) と \(\large{\cos x}\) の積の不定積分を求める問題です。

三角関数の積の積分を計算するときは、積和の公式を利用します。

積和の公式とは、\(\displaystyle \large{\sin\alpha \cos\beta}\) や \(\displaystyle \large{\sin\alpha\sin\beta}\) など積で表される値を、三角関数の和や差に変形する式です。

積和の公式から、問題の積分を変形すると、以下のように計算されます。 \begin{eqnarray} \large \int \sin 3x \cos x\hspace{1pt} dx &\large =&\large \frac{1}{2}\int (\sin(3x+x) + \sin(3x-x))\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}\int (\sin 4x + \sin 2x)\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}(-\frac{1}{4} \cos 4x - \frac{1}{2}\cos 2x) + C\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{8} \cos 4x - \frac{1}{4}\cos 2x + C\\[0.5em] \end{eqnarray}

問題(7) 積和の公式を利用した三角関数の積分

【解答と解説】
本問は、三角関数 \(\large{\cos 5x}\) と \(\large{\cos 2x}\) の積の不定積分を求める問題です。

前問と同様に、三角関数の積の積分を計算するときは、積和の公式を利用します。

積和の公式を以下に示します。

積和の公式から、問題の積分を変形すると、以下のように計算されます。 \begin{eqnarray} \large \int \cos 5x \cos 2x\hspace{1pt} dx &\large =&\large \frac{1}{2}\int (\cos(5x+2x) + \cos(5x-2x))\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}\int (\cos 7x + \cos 3x)\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}\left(\frac{1}{7} \sin 7x + \frac{1}{3}\sin 3x \right) + C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{14} \sin 7x + \frac{1}{6}\sin 3x + C\\[0.5em] \end{eqnarray}

問題(8) 積和の公式を利用した三角関数の積分

【解答と解説】
本問は、三角関数 \(\large{\sin 3x}\) と \(\large{\sin 2x}\) の積の不定積分を求める問題です。

問題(6),(7)と同様に、三角関数の積の積分を計算するときは、積和の公式を利用します。

積和の公式を以下に示します。

積和の公式から、問題の積分を変形すると、以下のように計算されます。 \begin{eqnarray} \large \int \sin 3x \sin 2x\hspace{1pt} dx &\large =&\large -\frac{1}{2}\int (\cos(3x+2x) - \cos(3x-2x))\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{2}\int (\cos 5x - \cos x)\hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5} \sin 5x - \sin x \right) + C\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{10} \sin 5x + \frac{1}{2}\sin x + C\\[0.5em] \end{eqnarray}

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