本項では以下の内容を解説しています。
本章では、確率の分野でよく使われる用語の解説をします。
\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)個のサイコロを振ると $$\large{\hspace{2pt}1\hspace{2pt},\hspace{3pt}2\hspace{2pt},\hspace{3pt}3\hspace{2pt},\hspace{3pt}4\hspace{2pt},\hspace{3pt}5\hspace{2pt},\hspace{3pt}6\hspace{2pt}}$$ のいずれかの目が出ることになります。
このサイコロを振ることを試行といいます。
試行とは、サイコロを振る、コインを投げる、くじを引くなど『同じ条件の元で繰り返し行い、その結果が偶然により決まる実験・観察』のことをいいます。
また、事象とは試行の結果として起こることを意味します。
例えば、\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)個のサイコロを振った時に『\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)の目がでること』、『出た目が偶数であること』、『出た目が\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)以上であること』などが事象となります。
『出た目が偶数であること』を事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)とすると $$\large{A =\{\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{2pt}4\hspace{1pt},\hspace{2pt}6\hspace{1pt}\}}$$ と表されます。
これ以上分けられない事象のことを根元事象といいます。
例えば、サイコロを振る試行の根元事象は $$\large{\{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\}}$$ の\(\large{\hspace{1pt}6\hspace{2pt}}\)個となります。
ある試行において、すべての事象の集合を全事象といいます。
例えば、サイコロを振る試行の全事象\(\large{\hspace{1pt}U\hspace{2pt}}\)は $$\large{U=\{\hspace{2pt}1\hspace{2pt},\hspace{3pt}2\hspace{2pt},\hspace{3pt}3\hspace{2pt},\hspace{3pt}4\hspace{2pt},\hspace{3pt}5\hspace{2pt},\hspace{3pt}6\hspace{2pt}\}}$$ となります。
また、ある試行において、決して起こらない事象を空事象といい、記号\(\large{\hspace{1pt}\phi\hspace{2pt}}\)で表します。
ある試行に対して特定の事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)が起こる割合を数値で表したものを確率といいます。
事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)の起こる確率は\(\large{\hspace{1pt}P(A)\hspace{1pt}}\)と表します。
ある試行において、どの根元事象が起こることが同じ程度に期待できるとき、これらの根元事象は同様に確からしいといいます。
例えば、\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)個の通常のサイコロを振ったときの目 $$\large{\{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}4\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}5\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{3pt}\{\hspace{1pt}6\hspace{1pt}\}}$$ はどの目も同じ程度に出ることが期待できるため、同様に確からしいと考えます。
このような試行では、起こりうるすべての場合の数(全事象)を\(\large{\hspace{1pt}N\hspace{2pt}}\)通り、事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)の起こる場合の数を\(\large{\hspace{1pt}a\hspace{1pt}}\)とすると、事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{1pt}}\)の起こる確率\(\large{\hspace{1pt}P(A)\hspace{2pt}}\)は以下のように表せます。
まず、起こりうるすべての場合の数は、\(\large{1\hspace{1pt}}\)から\(\large{\hspace{1pt}20\hspace{1pt}}\)の番号のカードを\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)枚だけ引くことから、\(\large{20\hspace{1pt}}\)通りとなります。
次に、\(\large{1\hspace{1pt}}\)から\(\large{\hspace{1pt}10\hspace{1pt}}\)の番号が振られたカードのうち、\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)の倍数の数を書き並べると $$\large{\{\hspace{1pt}3\hspace{1pt},\hspace{2pt}6\hspace{1pt},\hspace{2pt}9\hspace{1pt},\hspace{2pt}12\hspace{1pt},\hspace{2pt}15\hspace{1pt},\hspace{2pt}18\hspace{1pt}\}}$$ の\(\large{\hspace{1pt}6\hspace{1pt}}\)通りとなります。
よって、求める確率は \(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{6}{20}\hspace{2pt}}\)と求められます。
先述した、起こりうるすべての場合の数\(\large{\hspace{1pt}N\hspace{1pt}}\) と 事象\(\large{\hspace{1pt}A\hspace{2pt}}\)の起こる場合の数\(\large{\hspace{1pt}a\hspace{1pt}}\) から定義される確率を数学的確率といいます。
数学的確率によってサイコロの目の出る確率を計算する場合は、サイコロの目の出方が同様に確からしいという前提の元で場合の数を数えて確率を求めます。
一方、統計的確率とは実際にサイコロを振った結果から、確率を推定する方法です。
例えば、サイコロを\(\large{\hspace{1pt}1000\hspace{1pt}}\)回振って\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)の目が\(\large{\hspace{1pt}167\hspace{1pt}}\)回出れば、\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)の目が出る確率を\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{167}{100}\hspace{1pt}}\)と推定します。
サイコロの目のようにどの目も同じ程度の割合で出る(同様に確からしい)ことが分かる現象では、数学的確率によって簡単に確率を求めることができます。
一方、『明日の降水確率』や『一年間に交通事故に遭う確率』などでは、同様に確からしいとして場合の数を求めることが困難であるため、過去のデータから統計的確率を求めて確率を推定することになります。
本章では、確率の基本的な問題と解き方について解説します。
解答と解説 : 問題1
解答と解説 : 問題2
解答と解説 : 問題3
まず、起こりうるすべての場合の数は、\(\large{6 \times 6 =36\hspace{1pt}}\)通りとなります。
次に、目の和が\(\large{\hspace{1pt}5\hspace{1pt}}\)になる\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}}\)個のサイコロの目を書き並べると以下のようなります。 $$\large{(\hspace{1pt}1\hspace{1pt},4\hspace{1pt})\hspace{2pt},\hspace{1pt}(\hspace{1pt}2\hspace{1pt},3\hspace{1pt})\hspace{2pt},\hspace{1pt}(\hspace{1pt}3\hspace{1pt},2\hspace{1pt})\hspace{2pt},\hspace{1pt}(\hspace{1pt}1\hspace{1pt},4\hspace{1pt})}$$ つまり、\(\large{\hspace{1pt}4}\)通りとなります。
したがって、目の和が\(\large{\hspace{1pt}5\hspace{1pt}}\)になる確率は \(\displaystyle\large{\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\hspace{2pt}}\)となります。
目の和が\(\large{\hspace{1pt}9\hspace{1pt}}\)以上になる\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}}\)個のサイコロの目を書き並べると以下のようなります。 \begin{eqnarray} \large & & \large (\hspace{1pt}3\hspace{1pt},6\hspace{1pt})\hspace{2pt},\hspace{1pt}(\hspace{1pt}4\hspace{1pt},5\hspace{1pt})\hspace{2pt},\hspace{1pt}(\hspace{1pt}5\hspace{1pt},4\hspace{1pt})\hspace{2pt},\hspace{1pt}(\hspace{1pt}6\hspace{1pt},3\hspace{1pt})\\[0.7em] \large & & \large (\hspace{1pt}4\hspace{1pt},6\hspace{1pt})\hspace{2pt},\hspace{1pt}(\hspace{1pt}5\hspace{1pt},5\hspace{1pt})\hspace{2pt},\hspace{1pt}(\hspace{1pt}6\hspace{1pt},4\hspace{1pt})\hspace{2pt},\hspace{1pt}(\hspace{1pt}5\hspace{1pt},6\hspace{1pt})\\[0.7em] \large & & \large (\hspace{1pt}6\hspace{1pt},5\hspace{1pt})\hspace{2pt},(\hspace{1pt}6\hspace{1pt},6\hspace{1pt}) \\[0.7em] \end{eqnarray} つまり、\(\large{\hspace{1pt}10}\)通りとなります。
したがって、目の和が\(\large{\hspace{1pt}9\hspace{1pt}}\)以上になる確率は \(\displaystyle\large{\frac{10}{36}=\frac{5}{18}\hspace{2pt}}\)となります。
\(\large{2\hspace{1pt}}\)個のサイコロの目の積が奇数となる場合を書き並べると以下のようなります。 \begin{eqnarray} \large & & \large (\hspace{1pt}1\hspace{1pt},1\hspace{1pt})\hspace{2pt},\hspace{1pt}(\hspace{1pt}1\hspace{1pt},3\hspace{1pt})\hspace{2pt},\hspace{1pt}(\hspace{1pt}1\hspace{1pt},5\hspace{1pt})\hspace{2pt},\hspace{1pt}(\hspace{1pt}3\hspace{1pt},1\hspace{1pt})\\[0.7em] \large & & \large (\hspace{1pt}3\hspace{1pt},3\hspace{1pt})\hspace{2pt},\hspace{1pt}(\hspace{1pt}3\hspace{1pt},5\hspace{1pt})\hspace{2pt},\hspace{1pt}(\hspace{1pt}5\hspace{1pt},1\hspace{1pt})\hspace{2pt},\hspace{1pt}(\hspace{1pt}5\hspace{1pt},3\hspace{1pt})\\[0.7em] \large & & \large (\hspace{1pt}5\hspace{1pt},5\hspace{1pt})\hspace{2pt} \\[0.7em] \end{eqnarray} つまり、\(\large{\hspace{1pt}9}\)通りとなります。
したがって、サイコロの目の積が奇数となる確率は \(\displaystyle\large{\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\hspace{2pt}}\)となります。
まず、起こりうるすべての場合の数は\(\large{\hspace{1pt}100\hspace{2pt}}\)通りとなります。
次に、\(\large{1\hspace{1pt}}\)から\(\large{\hspace{1pt}100\hspace{1pt}}\)の番号が振られたカードのうち、\(\large{\hspace{1pt}9\hspace{1pt}}\)の倍数を書き並べると $$\large{\{\hspace{1pt}9 \cdot 1\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{2pt}\{\hspace{2pt}9 \cdot 2\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{2pt}\cdots\hspace{2pt},\hspace{2pt}\{\hspace{1pt}9 \cdot 11\hspace{1pt}\}}$$ の\(\large{\hspace{1pt}11\hspace{1pt}}\)通りとなります。
よって、求める確率は \(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{11}{100}\hspace{2pt}}\)となります。
\(\large{1\hspace{1pt}}\)から\(\large{\hspace{1pt}100\hspace{1pt}}\)の番号が振られたカードのうち、\(\large{\hspace{1pt}5\hspace{1pt}}\)で割ると\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)余る数を書き並べると $$\large{\{\hspace{1pt}5 \cdot 0 +1\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{2pt}\{\hspace{2pt}5 \cdot 1 +1\hspace{1pt}\}\hspace{2pt},\hspace{2pt}\cdots\hspace{2pt},\hspace{2pt}\{\hspace{1pt}5 \cdot 19 +1\hspace{1pt}\}}$$ の\(\large{\hspace{1pt}20\hspace{1pt}}\)通りとなります。
よって、求める確率は \(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{20}{100}=\frac{1}{5}\hspace{2pt}}\)となります。
この問題では、見た目が同じ\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}}\)個の赤玉がありますが、\(\large{2\hspace{1pt}}\)個の赤玉を区別して計算することがポイントです。
そこで、赤玉を\(\large{\hspace{1pt}A_1\hspace{1pt},A_2}\) , 白玉を\(\large{\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)とおいて引き方を数え上げてみます。
まず、起こりうるすべての場合を書き並べると $$\large{\{\hspace{1pt}A_1\hspace{1pt},\hspace{1pt}A_2\hspace{1pt}\}\hspace{1pt},\{\hspace{1pt}A_1\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\}\hspace{1pt},\{\hspace{1pt}A_2\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\}}$$ の\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)通りとなります。
次に、赤玉と白玉が\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)個ずつとなる場合は\(\large{\hspace{2pt}\{\hspace{1pt}A_1\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\}\hspace{1pt},\{\hspace{1pt}A_2\hspace{1pt},\hspace{1pt}B\hspace{1pt}\}\hspace{2pt}}\)の\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}}\)通りとなります。
よって、求める確率は \(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{2}{3}\hspace{2pt}}\)となります。
上記の回答では赤玉と白玉の組み合わせを書き出すことで確率を求めましたが、組み合わせの公式から求めることもできます。
まず、起こりうるすべての場合は、\(\large{3\hspace{1pt}}\)個の異なる玉から\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}}\)個を選ぶ組み合わせであるため、 \begin{eqnarray} \large {}_3 C_{\hspace{1pt}2} & \large = & \large \frac{{}_3 P_{\hspace{1pt}2} }{2\hspace{1pt}!} \\[0.7em] \large & \large = & \large \frac{ 3 \cdot 2 }{ 2 \cdot 1}\\[0.7em] \large & \large = & \large 3 \\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
次に、\(\large{2\hspace{1pt}}\)個の赤玉から\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)個を取り出す場合の数は \begin{eqnarray} \large {}_2 C_{\hspace{1pt}1} & \large = & \large \frac{{}_2 P_{\hspace{1pt}1} }{1\hspace{1pt}!} \\[0.7em] \large & \large = & \large 2\\[0.7em] \end{eqnarray} また、\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)個の白玉から\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)個とる場合の数は\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)通りとなります。
以上から、赤玉と白玉を\(\large{\hspace{1pt}1\hspace{1pt}}\)個ずつ取り出す場合の数は $$\large{2 \times 1 = 2}$$ から\(\large{\hspace{1pt}2\hspace{1pt}}\)通りとなります。
したがって、求める確率は\(\displaystyle\large{\hspace{1pt}\frac{2}{3}\hspace{1pt}}\)となります。