スネルの法則とは

本項では、スネルの法則の意味や、入射角と屈折角の関係、練習問題について記述しています。

スネルの法則の導出方法については、別の記事で詳しく解説しています。
また、屈折角や臨界角を計算するツールを別ページで作成しています。

【1】スネルの法則とは

異なる屈折率を持つ媒質の境界に光が入射すると、屈折により境界面で光の進行方向が変化します。

スネルの法則(snell's law)とは、境界に光が入射したときの入射角と屈折角の関係を表す式です。

図1のように、境界面の法線を基準とした入射角を \(\large{\theta_1}\)、屈折角を \(\large{\theta_2}\) とします。
また、入射側の媒質の絶対屈折率を \(\large{n_1}\)、透過側の媒質の絶対屈折率を \(\large{n_2}\) とします。

このとき、入射角\(\large{\theta_1}\) と屈折角\(\large{\theta_2}\) の間には、以下の関係式が成り立ちます。

2つの媒質の絶対屈折率の比を相対屈折率といいます。相対屈折率は2つの媒質の記号を使用して\(\large{n_{12}}\)のように書きます。相対屈折率\(\large{n_{12}}\) は、\(\displaystyle\large{n_{12} = \frac{n_2}{n_1}}\)を意味します。

相対屈折率\(\large{n_{12}}\) によりスネルの法則を書き表すと、以下のようになります。 $$\large{ \displaystyle n_{12}=\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2}}$$

【1-1】スネルの法則の位相速度と波長による表現

ここで、屈折率\(\large{n}\) の媒質を進行する光速(位相速度)\(\large{v}\) は、真空中の光速を\(\large{c}\)とすると \(\displaystyle\large{v=\frac{c}{n}}\) と表せます。

先述したスネルの法則から、入射側の媒質中の光速を \(\large{v_1}\)、透過側の光速を\(\large{v_2}\) とすると以下の関係が成り立ちます。 $$\large{\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{v_1}{v_2}}$$

上式は、光の屈折の現象が、物質中を伝搬する光速\(\large{v}\) が物質により異なることに起因していることを表しています。この式の意味は、ホイヘンスの原理によりスネルの法則を導出することで理解することができます。

また、屈折の前後で波の振動数\(\large{f}\) は変化しないという性質があります。波長\(\large{\lambda}\) を使用して波の速さを表す式 \(\large{v=f\lambda}\) から、屈折率\(\large{n_1,n_2}\) の媒質中の光速に対して \(\large{v_1=f\lambda_1,v_2=f\lambda_2}\) が成り立ちます。

つまり、スネルの法則は以下のように波長\(\large{\lambda}\) で書き表せます。 $$\large{\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}}$$

したがって、以上の式変形をまとめると、スネルの法則は以下のように書き表せます。

【1-2】屈折率の大小関係による違い

スネルの法則から、媒質の屈折率 (\(\large{n_1,n_2\hspace{1pt}}\)) の大小関係によって、入射角と屈折角の大小関係が変わることが分かります。

・入射側の屈折率が透過側より小さい場合(空気から水に入射する例)

入射側の屈折率\(\large{n_1}\) が 透過側の屈折率\(\large{n_2}\) より小さい場合(\(\large{n_1 < n_2\hspace{1pt}}\))、入射角より屈折角の方が小さくなります。

例として、表1に空気 (\(\large{n_1=1.00\hspace{1pt}}\)) から水 (\(\large{n_2=1.33\hspace{1pt}}\)) に光が入射した場合の入射角\(\large{\theta_1}\) と屈折角\(\large{\theta_2}\) を示します。

・入射側の屈折率が透過側より大きい場合(水から空気に入射する例)

入射側の屈折率\(\large{n_1}\) が 透過側の屈折率\(\large{n_2}\) より大きい場合(\(\large{n_1 > n_2}\))、入射角より屈折角の方が大きくなります。

例として、表2に水 (\(\large{n_1=1.33\hspace{1pt}}\)) から空気 (\(\large{n_2=1.00\hspace{1pt}}\)) に光が入射した場合の入射角\(\large{\theta_1}\) と屈折角\(\large{\theta_2}\) を示します。

入射側の屈折率が透過側より大きい場合、特定の入射角より大きくなると、境界面を光が透過しなくなり、光の全エネルギーが反射される現象が発生します。 このような現象を全反射といいます。

全反射が発生する入射角を臨界角といい、表2の数値例では 約48.8° が臨界角となります。

表2の48.8°以降の屈折角\(\large{\theta_2}\) が記載されていない理由は、全反射が発生するために、入射光が境界面より透過側に進行しなくなるためです。

【2】スネルの法則の問題

本章では、スネルの法則に関連した問題について解説します。

【2-1】水中の物体の見かけの深さの問題

【回答と解説】
物体から観測者に向かう光は、境界面でスネルの法則にしたがって屈折します。このとき、観測者は点Oから直線に延長した点A'にあたかも物体が存在しているように見えます。
このとき境界面から点A'までの距離\(\large{\overline{A'B}}\) を見かけの深さといいます。

図3に示されているように、\(\large{\angle OA'B = \theta_1}\)、\(\large{\angle OAB = \theta_2}\) が成り立ちます。

ここで、三角形OA'B と OAB に着目すると、辺BO を共通にしているため、以下の式が成り立ちます。 \begin{eqnarray} \large \overline{BO}=\overline{A'B}\hspace{1pt} \tan \theta_1 &\large =&\large \overline{AB}\hspace{1pt} \tan \theta_2\\[0.5em] \large \overline{A'B} &\large =&\large \frac{\tan \theta_2}{\tan \theta_1}\overline{AB} \end{eqnarray}

与えられた近似式 \(\large{\tan \theta \approx \sin \theta}\) を用いると、以下が得られます。 $$\large{\overline{A'B} \approx \frac{\sin \theta_2}{\sin \theta_1} \hspace{1pt}\overline{AB}}$$

ここで、境界面でのスネルの法則から \(\large{\sin \theta_1 = n \sin \theta_2}\) が成り立つため、以下が求められます。 $$\large{\overline{A'B}\approx \frac{1}{n}\overline{AB}}$$

以上より、屈折率\(\large{n}\) の媒質中では、実際の深さに比べて \(\displaystyle\large{\frac{1}{n}}\)倍だけ浅い位置に物体が見えることになります。

水中における見かけの深さは、水の屈折率が\(\large{n=1.33}\) であることから、 $$\large{\overline{A'B}=\frac{1}{1.33}\overline{AB}\approx0.75 \hspace{1pt}\overline{AB}}$$ であるため、実際の深さに比べて 約\(\displaystyle\large{\frac{3}{4}}\)倍 の深さに物体があるように見えます。

【2-2】スネルの法則と薄膜の問題

【回答と解説】
図2から、スネルの法則を薄膜の境界面それぞれに適用すると以下の式が成り立ちます。 $$\large{n_0 \sin \theta_0 = n_1 \sin \theta_1}$$ $$\large{n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2}$$

したがって、図4の薄膜について以下が成り立ちます。 $$\large{n_0 \sin \theta_0 = n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\hspace{20pt}(1)}$$

(1)式は、薄膜への入射角\(\large{\theta_0}\) と射出角\(\large{\theta_2}\) は、薄膜の屈折率\(\large{n_1}\) に関係なく、入射側の屈折率\(\large{n_0}\)と射出側の屈折率\(\large{n_2}\) によって決定されることが分かります。

したがって、求める射出角\(\large{\theta_2}\) は、以下のように求められます。 $$\large{\theta_2 = \sin^{-1}\left({\frac{n_0}{n_2}\sin \theta_0}\right)}$$

例えば、入射側と射出側の媒質が同じ屈折率 (\(\large{n_0=n_2}\)) である場合、\(\large{\theta_0=\theta_2}\) が成り立ち、薄膜への入射角と射出角が等しくなることが分かります。

【2-3】スネルの法則と多層膜の問題

【回答と解説】
薄膜の場合と同様に、第1層から第k層までの屈折にスネルの法則を適用することで、以下の式を得られます。 $$\large{n_0 \sin \theta_0 = n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2 = \cdots = n_{k+1} \sin \theta_{k+1}\hspace{20pt}(3)}$$

(3)式より、多層膜に入射するときの \(\large{n_0 \sin \theta_0}\) の値は保存され、多層膜中の屈折率 (\(\large{n_1}\)~\(\large{n_k}\)) に関わらずに、射出角度\(\large{\theta_k}\) を求めることができます。

したがって、射出角\(\large{\theta_{k+1}}\) は、以下のように求められます。 $$\large{n_0 \sin \theta_0 = n_{k+1} \sin \theta_{k+1}}$$

\(\large{\theta_{k+1}}\) について解くと、以下が得られます。 $$\large{\theta_{k+1} = \sin^{-1}\left({\frac{n_0 }{n_{k+1}}\sin \theta_0}\right)}$$

---