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三角比の余弦定理

【1】余弦定理の公式と使い方

余弦定理とは、三角形\(\large{ABC}\) の辺の長さ (\(\large{a,b,c}\)) と、角度 (\(\large{A,B,C}\)) に対して成り立つ等式のことをいいます。

辺\(\large{\overline{BC}}\) の長さ\(\large{a}\) を求める余弦定理は、辺\(\large{\overline{AC},\hspace{2pt}\overline{AB}}\) の長さ \(\large{b,\hspace{2pt}c}\) と 辺\(\large{\overline{BC}}\) に向かい合う角度\(\large{A}\) の 余弦\(\large{(\cos A)}\) を用いて以下の式で表されます。 余弦定理の説明図

上式は 3つの辺 (\(\large{a,b,c}\)) についてそれぞれ成り立ちます。3つの辺 (\(\large{a,b,c}\)) の余弦定理をまとめると、以下のようになります。

  【 余弦定理 】
$$\displaystyle\large{(1)\hspace{5pt}a^2 = b^2 + c^2 -2\hspace{1pt} bc \cos A}$$ $$\displaystyle\large{(2)\hspace{5pt}b^2 = c^2 + a^2 -2\hspace{1pt} ca \cos B}$$ $$\displaystyle\large{(3)\hspace{5pt}c^2 = a^2 + b^2 -2\hspace{1pt} ab \cos C}$$

・余弦定理の使い方 | 辺の長さと角度

余弦定理は、三角形の形状 (辺の長さや角度) を求めるためによく使用されます。

先述したように、三角形\(\large{ABC}\) の2辺の長さ \(\large{b,c}\) と、その2辺の間に位置する角\(\large{A}\) の 余弦(\(\large{\cos A}\)) の値が分かれば、辺\(\large{\overline{BC}}\) の長さ \(\large{a}\) を求めることができます。

【余弦定理から辺の長さ\(\large{a}\)を求める】
\(\large{a^2 = b^2 + c^2 -2 \hspace{1pt}bc \cos A}\)

一方、3つの辺の長さ \(\large{a,b,c}\) が判明していれば、角\(\large{A}\) の 余弦(\(\large{\cos A}\)) の値を以下のように求められます。

【余弦定理から角度\(\large{A}\)を求める】
\(\displaystyle \large{\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2\hspace{1pt} bc}}\)

角\(\large{B}\)、角\(\large{C}\) についても同様に式が成り立つため、3つの辺の長さ \(\large{a,b,c}\) が判明していれば、3つの頂点の角度 \(\large{A,B,C}\) の余弦を求めることができます。 $$\large{\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2 ac}}$$ $$\large{\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 ab}}$$

(余弦定理から 辺の長さや角度の大きさを求める計算問題は 余弦定理の問題 で解説しています。)

・余弦定理の使い方 | 鋭角と鈍角の判定

また、余弦定理から求められる \(\large{\cos A}\) は、鋭角(\(\large{0^\circ < A < 90^\circ}\)) か鈍角(\(\large{90^\circ < A < 180^\circ}\)) かによって符号が変わるため、角度\(\large{A}\) の鋭角、直角、鈍角の判定をすることができます。

角度A 鋭角 直角 鈍角
\(\large{\cos A}\)
の符号
\(\large{+}\) \(\large{0}\) \(\large{-}\)
辺の
条件
\(\large{b^2 + c^2 > a^2}\) \(\large{b^2 + c^2 = a^2}\) \(\large{b^2 + c^2 < a^2}\)

余弦定理から、\(\large{\cos A}\) の符号は \(\large{a^2}\) と \(\large{b^2 + c^2}\) の大小関係により、上の表のようにまとめることができます。

(鋭角、直角、鈍角を判定する計算問題は問題(3)で解説しています。)

【2】余弦定理の証明

本章では、余弦定理の証明について解説します。

三角形\(\large{ABC}\) を、頂点\(\large{A}\) が原点、辺\(\large{\overline{AB}}\) が \(\large{x}\)軸上になるように、\(\large{xy}\)座標上に配置します。
頂点\(\large{C}\) から辺\(\large{\overline{AB}}\) に垂線を下し、その垂線の足を点\(\large{H}\) とします。

このとき、角\(\large{A}\) が鋭角、垂直、鈍角の3つの場合について証明し、余弦定理を導きます。

・角Aが鋭角である場合

角\(\large{A}\)が鋭角である場合は、以下の図のようになります。 余弦定理の証明_角度が鋭角の場合

図に示すように、点\(\large{C}\) の座標は、\(\large{(x,y)=(b \cos A, b \sin A)}\) となります。

このとき、点\(\large{C}\) からの垂線の足\(\large{H}\)と、点\(\large{B}\) までの距離は、点\(\large{B}\) の\(\large{x}\)座標から 点\(\large{H}\) の\(\large{x}\)座標の差分をとり、以下のようになります。 $$\large{\overline{HB} = c-b \cos A}$$

ここで、三角形\(\large{CHB}\) (図中の黄色部分) に着目し、三平方の定理を使用すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large a^2&\large=&\large (b \sin A)^2 + (c-b \cos A)^2 \\ &\large=&\large b^2 \sin^2 A + c^2 -2 bc \cos A + b^2 \cos^2 A\\ \large &\large=&\large b^2 (\sin^2 A + \cos^2 A) + c^2 -2 bc \cos A\\ &\large=&\large b^2 + c^2 -2 bc \cos A\\ \end{eqnarray}

また、角\(\large{A}\) が鋭角であり、点\(\large{C}\) からの垂線の足\(\large{H}\) が辺\(\large{\overline{AB}}\) の外側にある場合は以下のようになります。 余弦定理の証明_角度が鋭角かつ、垂線の足が辺ABの外側の場合

三角形\(\large{CHB}\) (図中の黄色部分) に着目し、三平方の定理を使用すると、以下のようになります。 $$\large{a^2= (b \sin A)^2 + (b \cos A - c)^2}$$ よって、上記と同様に以下の式が成り立ちます。 $$\large{a^2 = b^2 + c^2 -2 bc \cos A}$$

したがって、角\(\large{A}\) が鋭角である場合、余弦定理が成り立ちます。

・角Aが垂直である場合

角\(\large{A}\)が垂直であれば、三角形\(\large{ABC}\) は下図のような直角三角形となります。 余弦定理の証明_角度が鋭角かつ、垂線の足が辺ABの外側の場合

上図の直角三角形では、辺(\(\large{a,b,c}\)) に対して三平方の定理が成り立ちます。 $$\large{a^2 = b^2 + c^2}$$ このとき、角\(\large{A}\) が垂直であることから、\(\large{\cos A = 0}\) となります。
したがって、角\(\large{A}\) が垂直の場合も、以下の余弦定理の式が成立しています。 $$\large{a^2 = b^2 + c^2 -2 bc \cos A}$$

・角Aが鈍角である場合

角\(\large{A}\) が鈍角である場合は、以下の図のようになります。 余弦定理の証明_角度が鈍角の場合

点\(\large{C}\) から\(\large{x}\)軸への垂線の足\(\large{H}\) は、辺\(\large{\overline{AB}}\) の外側に位置します。
このとき、角度\(\large{\angle CAH}\) は \(\large{180^\circ - A}\) となります。

ここで、三角形\(\large{CAH}\) に対して \(\large{\angle CAH=180^\circ - A}\) の三角比を求めると、辺\(\large{\overline{CH}}\) と \(\large{\overline{AH}}\) の大きさが、以下のように求められます。 $$\large{\overline{CH} = b \sin (180^\circ - A)}$$ $$\large{\overline{AH} = b \cos (180^\circ - A)}$$

上式を三角比の180°-θの公式で変形すると、以下の式が求められます。 $$\large{\overline{CH} = b \sin (180^\circ - A)=b \sin A}$$ $$\large{\overline{AH} = b \cos (180^\circ - A) =- b \cos A}$$

ここで、三角形\(\large{CHB}\) (図中の黄色部分) に三平方の定理を使用すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large a^2&\large=&\large (b \sin A)^2 + (c-b \cos A)^2 \\ \large &\large=&\large b^2 (\sin^2 A + \cos^2 A) + c^2 -2 bc \cos A\\ &\large=&\large b^2 + c^2 -2 bc \cos A\\ \end{eqnarray}

よって、角\(\large{A}\) が鈍角の場合も余弦定理が成り立つことが分かります。

以上から、角\(\large{A}\) が鋭角、直角、鈍角のいずれの場合でも余弦定理が成立することが分かります。
また、上記の証明は角\(\large{B}\)、角\(\large{C}\) についても同様に成り立ちます。

【3】余弦定理の問題

三角比の余弦定理に関連した基礎的な問題を解説します。

問題(1)
三角形\(\large{ABC}\) において辺の長さ\(\large{\hspace{2pt}b=3\hspace{1pt},\hspace{3pt}}\)\(\large{c=2\hspace{1pt},\hspace{3pt}}\)角度\(\large{\hspace{1pt}A=120^\circ}\) であるとき、辺の長さ\(\large{a}\) を求めよ。 余弦定理の練習問題_辺の長さの求め方

問題(1)は 余弦定理を利用して三角形の辺の長さを求める問題です。

問題(2)
三角形\(\large{ABC}\) において辺の長さ\(\large{\hspace{1pt}a=\sqrt{2}\hspace{1pt},\hspace{2pt}}\)\(\large{\hspace{1pt}b=3\hspace{1pt},\hspace{2pt}}\)\(\large{\hspace{1pt}c=\sqrt{5}}\) であるとき、角度\(\large{C}\) を求めよ。 余弦定理の練習問題_角度の大きさの求め方

問題(2)は 余弦定理を利用して角度を求める問題です。

問題(3)
三角形\(\large{ABC}\) において辺の長さ \(\large{a=3\hspace{1pt},\hspace{2pt}}\) \(\large{b=7\hspace{1pt},\hspace{2pt}}\) \(\large{c=8}\) であるとき、角\(\large{A}\) は 鋭角、直角、鈍角のいずれかであるか判定せよ。

問題(3)は 余弦定理を利用して角度が鋭角、直角、鈍角のどれかであるか判定する問題です。

問題(4)
三角形\(\large{ABC}\) において辺の長さ\(\large{\hspace{2pt}a=2\sqrt{3}\hspace{1pt},\hspace{3pt}}\)\(\large{b=6\hspace{1pt},\hspace{3pt}}\)角度\(\large{\hspace{1pt}A=30^\circ}\) であるとき、辺の長さ\(\large{\hspace{1pt}c\hspace{1pt},\hspace{3pt}}\)角度\(\large{B\hspace{1pt},\hspace{2pt}C}\) を求めよ。

問題(4)正弦定理 と 余弦定理を利用する問題です。

問題(1) 三角形の辺の長さを求める問題

問題(1)
三角形\(\large{ABC}\) において辺の長さ\(\large{\hspace{2pt}b=3\hspace{1pt},\hspace{3pt}}\)\(\large{c=2\hspace{1pt},\hspace{3pt}}\)角度\(\large{\hspace{1pt}A=120^\circ}\) であるとき、辺の長さ\(\large{a}\) を求めよ。 余弦定理の練習問題_辺の長さの求め方

【解答と解説】
三角形\(\large{ABC}\) の2辺\(\large{\overline{AB}}\)、\(\large{\overline{AC}}\) と、辺\(\large{\overline{CB}}\) の向かう合う角度\(\large{A}\) が判明しているので、辺の長さ\(\large{a}\) は以下の余弦定理で求めることができます。 $$\large{a^2 = b^2 + c^2 -2 bc \cos A}$$

余弦定理に値を入れると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large a^2&\large=&\large 3^2+ 2^2 - 2 \times 3 \times 2 \cos 120^\circ\\ \large &\large=&\large 13 - 12 \times \left(-\frac{1}{2}\right)\\ \large &\large=&\large 19 \\ \end{eqnarray}

したがって、 $$\large{a = \sqrt{19}}$$

問題(2) 三角形の角度を求める問題

問題(2)
三角形\(\large{ABC}\) において辺の長さ\(\large{\hspace{1pt}a=\sqrt{2}\hspace{1pt},\hspace{2pt}}\)\(\large{\hspace{1pt}b=3\hspace{1pt},\hspace{2pt}}\)\(\large{\hspace{1pt}c=\sqrt{5}}\) であるとき、角度\(\large{C}\) を求めよ。 余弦定理の練習問題_角度の大きさの求め方

【解答と解説】
三角形\(\large{ABC}\) の3辺の長さ (\(\large{a,b,c}\)) が判明しているので、角度\(\large{C}\) は以下の余弦定理で求めることができます。 $$\large{\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 ab}}$$

余弦定理に値を入れると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \cos C&\large=&\large \frac{(\sqrt{2})^2 + 3^2 - (\sqrt{5})^2}{2 \times \sqrt{2} \times 3}\\ \large &\large=&\large \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \end{eqnarray}

したがって、 $$\large{C = 45^\circ}$$

問題(3) 鋭角,直角,鈍角 を判定する問題

問題(3)
三角形\(\large{ABC}\) において辺の長さ \(\large{a=3}\), \(\large{b=7}\), \(\large{c=8}\) であるとき、角\(\large{A}\) は 鋭角、直角、鈍角のいずれかであるか判定せよ。

【解答と解説】
角\(\large{A}\) が鋭角、直角、鈍角のどれかは、余弦定理から \(\large{\cos A}\) の値を求め、その符号を確認することで判定することができます。

角度A 鋭角 直角 鈍角
\(\large{\cos A}\)
の符号
\(\large{+}\) \(\large{0}\) \(\large{-}\)

角\(\large{A}\) に関する余弦定理は、以下となります。 $$\large{\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2 bc}}$$ 上式から \(\large{\cos A}\) の値を求めると、以下のように計算されます。 $$\large{\cos A = \frac{7^2 + 8^2 - 3^2}{2 \times 7 \times 8} = \frac{104}{112}}$$ したがって、 $$\large{\cos A > 0}$$

すなわち、\(\large{\cos A}\) の値が正であるため、角\(\large{A}\) は鋭角となります。

【別解】
 計算を省略する方法として、余弦定理の分母 \(\large{2 bc}\) は必ず正となるため、符号の判定は\(\large{b^2 + c^2 -a^2}\) のみで行うこともできます。 $$\large{b^2 + c^2 -a^2 = 104 >0}$$ より、\(\large{\cos A}\) の値が正となるため、角\(\large{A}\) は鋭角と分かります。

問題(4) 正弦定理と余弦定理を利用する問題

問題(4)
三角形\(\large{ABC}\) において辺の長さ\(\large{\hspace{2pt}a=2\sqrt{3}\hspace{1pt},\hspace{3pt}}\)\(\large{b=6\hspace{1pt},\hspace{3pt}}\)角度\(\large{\hspace{1pt}A=30^\circ}\) であるとき、辺の長さ\(\large{\hspace{1pt}c\hspace{1pt},\hspace{3pt}}\)角度\(\large{B\hspace{1pt},\hspace{2pt}C}\) を求めよ。

【解答と解説】
まず、辺の長さ\(\large{\hspace{2pt}a,\hspace{1pt}b\hspace{2pt}}\)と角度\(\large{\hspace{2pt}A,\hspace{1pt}B\hspace{2pt}}\)に関する正弦定理 $$\large{\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}}$$ を利用して角\(\large{B}\) の角度を求めます。 $$\large{\frac{2\sqrt{3}}{\sin 30°} = \frac{6}{\sin B}}$$ $$\large{\displaystyle\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ となります。

つまり、\(\large{0° < B < 180°}\) の範囲で \(\large{\displaystyle\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}}\) を解くと、 $$\large{B = 60°,\hspace{2pt}120°}$$ となります。

2つの角度を \(\large{\color{red}{B_1 = 60°}}\)、\(\large{\color{blue}{B_2 = 120°}}\) としたときの三角形を図にすると以下のようになります。 余弦定理と正弦定理を利用する問題 上図のように、問題の2辺の長さと1つの角度から三角形の形状を求めると、2通りの三角形が考えられます。
よって、角度\(\large{B}\)の大きさによって場合分けして、残りの三角形の形状を求めます。

【Ⅰ】\(\large{B=60°}\) のとき

角度\(\large{C}\) は $$\large{C=180°-(30°+60°)=90°}$$ となります。

辺の長さ\(\large{c}\) は以下の余弦定理 $$\displaystyle\large{c^2 = a^2 + b^2 -2\hspace{1pt} ab \cos C}$$ から、 \begin{eqnarray} \large c^2&\large =&\large (2\sqrt{3})^2+6^2 -2\cdot2\sqrt{3}\cdot6\cdot \cos90°\\[0.5em] \large &\large =&\large 48\\[0.5em] \end{eqnarray} ここで、\(\large{c>0}\) であるから $$\large{c=\sqrt{48}=4\sqrt{3}}$$ となります。

【Ⅱ】\(\large{B=120°}\) のとき

角度\(\large{C}\) は $$\large{C=180°-(30°+120°)=30°}$$ となります。

辺の長さ\(\large{c}\) は以下の余弦定理 $$\displaystyle\large{c^2 = a^2 + b^2 -2\hspace{1pt} ab \cos C}$$ から、 \begin{eqnarray} \large c^2&\large =&\large (2\sqrt{3})^2+6^2 -2\cdot2\sqrt{3}\cdot6\cdot \cos30°\\[0.5em] \large &\large =&\large 12\\[0.5em] \end{eqnarray} ここで、\(\large{c>0}\) であるから $$\large{c=\sqrt{12}=2\sqrt{3}}$$ となります。

したがって、求める辺の長さと角度は $$\large{c=4\sqrt{3}\hspace{1pt},\hspace{2pt}B=60°\hspace{1pt},\hspace{2pt}C=90°}$$ もしくは、 $$\large{c=2\sqrt{3}\hspace{1pt},\hspace{2pt}B=120°\hspace{1pt},\hspace{2pt}C=30°}$$ となります。

(問題4の別解)
辺\(\large{c}\) の長さは正弦定理から求めることもできます。

【Ⅰ】\(\large{B=60°}\) のとき

正弦定理 $$\large{\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}}$$ から、 $$\large{\frac{2\sqrt{3}}{\sin 30°} = \frac{c}{\sin 90°}}$$ $$\large{c=4\sqrt{3}}$$

【Ⅱ】\(\large{B=120°}\) のとき

正弦定理 $$\large{\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}}$$ から、 $$\large{\frac{2\sqrt{3}}{\sin 30°} = \frac{c}{\sin 30°}}$$ $$\large{c=2\sqrt{3}}$$ と求められます。


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