階差数列

本項では以下の内容を解説しています。

• ・階差数列の一般項の公式
• ・問題の一覧と解き方

【1】階差数列とは

数列 \(\large{\{a_n\}}\) の隣り合う項の差 \(\large{a_{n}-a_{n-1}}\) を項とする数列\(\large{\{b_n\}}\) を 階差数列といいます。

例えば、数列 \(\large{\{a_n\}}\) $$\large{2\hspace{2pt},\hspace{3pt}3\hspace{2pt},\hspace{3pt}6\hspace{2pt},\hspace{3pt}11\hspace{2pt},\hspace{3pt}18\hspace{2pt},\hspace{3pt}27\hspace{2pt}\cdots }$$ の階差数列\(\large{\{b_n\}}\) を求めます。

数列 \(\large{\{a_n\}}\) の隣り合う項の差分を計算すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large 3\hspace{3pt} -\hspace{3pt} 2\hspace{3pt} &\large = &\large \hspace{3pt} 1 \\[0.7em] \large 6\hspace{3pt}-\hspace{3pt}3 \hspace{3pt} &\large =&\large \hspace{3pt} 3 \\[0.7em] \large 11 -\hspace{2pt} 6\hspace{3pt} &\large= &\large \hspace{3pt} 5 \\[0.7em] \large 18 - 11 &\large =&\large \hspace{3pt} 7 \\[0.7em] \large 27 - 18 &\large =&\large \hspace{3pt} 9 \\[0.7em] \end{eqnarray} となることから、階差数列 \(\large{\{b_n\}}\) は $$\large{1\hspace{2pt},\hspace{3pt}3\hspace{2pt},\hspace{3pt}5\hspace{2pt},\hspace{3pt}7\hspace{2pt},\hspace{3pt}9\hspace{2pt},\hspace{3pt}\cdots}$$ と求められます。

【1-1】階差数列の一般項の公式

数列\(\large{\{a_n\}}\) の階差数列が \(\large{\{b_n\}}\) であるとき、数列\(\large{\{a_n\}}\) の一般項は以下の公式によって求められます。

階差数列の公式は \(\large{n \geqq 2}\) でのみ成り立つ点に注意が必要です。

\(\large{n \geqq 2}\) の条件が付く理由は、階差数列は隣り合う項との差分によって定義されるため、\(\large{n=1}\) には 階差数列 \(\large{\{b_n\}}\) を定めることができないためです。

そのため、階差数列の一般項を求める場合は、以下の手順を踏みます。

【1-2】階差数列の例題

問題の数列\(\large{\{a_n\}}\) の階差数列を \(\large{\{b_n\}}\) とします。

数列\(\large{\{a_n\}}\) $$\large{3\hspace{1pt},\hspace{2pt}4\hspace{1pt},\hspace{2pt}9\hspace{1pt},\hspace{2pt}18\hspace{1pt},\hspace{2pt}31\hspace{1pt},\hspace{2pt}48\hspace{1pt},\hspace{2pt}\cdots}$$ の階差数列\(\large{\{b_n\}}\) は $$\large{1\hspace{1pt},\hspace{2pt}5\hspace{1pt},\hspace{2pt}9\hspace{1pt},\hspace{2pt}13\hspace{1pt},\hspace{2pt}17\cdots}$$ となります。

この階差数列\(\large{\{b_n\}}\) は 初項 \(\large{1\hspace{1pt}}\), 公差 \(\large{4}\) の等差数列であるため、階差数列\(\large{\{b_n\}}\) の一般項は $$\large{b_n = 1 + (n-1)\times 4 = 4n-3}$$ したがって、数列\(\large{\{a_n\}}\) は \(\large{n \geqq 2}\) のとき \begin{eqnarray} \large a_n &=& \large a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k\\[0.7em] &&\large =\large 3 + \sum_{k=1}^{n-1}(4k-3) \\[0.7em] &&\large =\large 3 + 4\sum_{k=1}^{n-1} k -3 \sum_{k=1}^{n-1} 1 \\[0.7em] &&\large =\large 3 + 4 \cdot \frac{1}{2}(n-1)n-3 (n-1) \\[0.7em] &&\large =\large 2n^2 -5n +6 \hspace{5pt}\cdots (1)\\[0.7em] \end{eqnarray}

ここで、\(\large{n =1}\) のとき \(\large{(1)\hspace{1pt}}\)式は $$\large{a_1 = 3}$$ となるため、\(\large{(1)\hspace{1pt}}\)式は \(\large{n =1}\) のときも成り立ちます。

したがって、 $$\large{a_n = 2n^2 -5n +6}$$ となります。

【1-3】階差数列の公式の証明

以下の階差数列から一般項を求める公式を導出します。

数列\(\large{\{a_n\}}\) の階差数列を \(\large{\{b_n\}}\) とします。

\(\large{n \geqq 2 }\) のとき 数列\(\large{\{a_n\}}\) の \(\large{a_1}\) から \(\large{a_n}\) までの隣り合う項の差分を式で表すと、以下のような \(\large{n-1\hspace{2pt}}\)個の式となります。 \begin{eqnarray} &&\large \hspace{10pt} \color{blue}{a_2}\color{black}{} - a_1 = b_1 \\[0.7em] &&\large \hspace{10pt} \color{blue}{a_3}\color{black}{} - \color{blue}{a_2} \color{black}{} = b_2 \\[0.7em] &&\large \hspace{10pt} \color{blue}{a_4}\color{black}{} - \color{blue}{a_3} \color{black}{} = b_3 \\[0.7em] &&\large \hspace{25pt}\cdot \hspace{30pt} \cdot \\[0.7em] &&\large \hspace{25pt}\cdot \hspace{30pt} \cdot \\[0.7em] &&\large a_n - \color{blue}{a_{n-1}}\color{black}{} = b_{n-1}\\[0.7em] \end{eqnarray} 上記の式の両辺を足し合わせると、

すなわち、右辺を シグマの記号 で表すと $$\large{a_n - a_1 = \sum_{k=1}^{n-1}b_k}$$ となるため、\(\large{n \geqq 2 }\) のとき階差数列から一般項を求める公式 $$\large{a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k}$$ が導かれます。

【2】階差数列の問題一覧

本章では、階差数列に関連する問題と解き方について解説します。

問題(1)～(5)は 階差数列の公式から一般項を求める基本的な問題です。

解答と解説 : 問題(1) , 問題(2) , 問題(3) , 問題(4) , 問題(5)

問題(6)の数列は 二段階で階差数列を求めて一般項を求める問題です。

解答と解説 : 問題(6)

問題(7),(8) は漸化式で定義される数列を階差数列の公式から求める問題です。

解答と解説 : 問題(7) , 問題(8)

問題1. 階差数列が等差数列の場合

【問題1の解答】

問題の数列\(\large{\{a_n\}}\) の階差数列を \(\large{\{b_n\}}\) とします。

数列\(\large{\{a_n\}}\) $$\large{1\hspace{1pt},\hspace{2pt}6\hspace{1pt},\hspace{2pt}13\hspace{1pt},\hspace{2pt}22\hspace{1pt},\hspace{2pt}33\hspace{1pt},\hspace{2pt}46\hspace{1pt},\hspace{2pt}\cdots}$$ の階差数列\(\large{\{b_n\}}\) は $$\large{5\hspace{1pt},\hspace{2pt}7\hspace{1pt},\hspace{2pt}9\hspace{1pt},\hspace{2pt}11\hspace{1pt},\hspace{2pt}13\cdots}$$ となります。

この階差数列\(\large{\{b_n\}}\) は 初項 \(\large{5\hspace{1pt}}\), 公差 \(\large{2}\) の等差数列であるため、階差数列\(\large{\{b_n\}}\) の一般項は $$\large{b_n = 5 + (n-1)\times 2 = 2n+3}$$ したがって、数列\(\large{\{a_n\}}\) は \(\large{n \geqq 2}\) のとき \begin{eqnarray} \large a_n &=& \large a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k\\[0.7em] &&\large =\large 1 + \sum_{k=1}^{n-1}(2k+3) \\[0.7em] &&\large =\large 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k +3 \sum_{k=1}^{n-1} 1 \\[0.7em] &&\large =\large 1 + 2 \cdot \frac{1}{2}(n-1)n+3 (n-1) \\[0.7em] &&\large =\large 1 + n^2-n +3n-3 \\[0.7em] &&\large =\large n^2 +2n -2\hspace{5pt} \cdots (2)\\[0.7em] \end{eqnarray}

ここで、\(\large{n =1}\) のとき \(\large{(2)\hspace{1pt}}\)式は $$\large{a_1 = 1}$$ となるため、\(\large{(2)\hspace{1pt}}\)式は \(\large{n =1}\) のときも成り立ちます。

したがって、 $$\large{a_n = n^2 +2n -2}$$ となります。

問題2. 階差数列が等差数列の場合

【問題2の解答】

問題の数列\(\large{\{a_n\}}\) の階差数列を \(\large{\{b_n\}}\) とします。

数列\(\large{\{a_n\}}\) $$\large{-1\hspace{1pt},\hspace{2pt}1\hspace{1pt},\hspace{2pt}2\hspace{1pt},\hspace{2pt}2\hspace{1pt},\hspace{2pt}1\hspace{1pt},\hspace{2pt}-1\hspace{1pt},\hspace{2pt}\cdots}$$ の階差数列\(\large{\{b_n\}}\) は $$\large{2\hspace{1pt},\hspace{2pt}1\hspace{1pt},\hspace{2pt}0\hspace{1pt},\hspace{2pt}-1\hspace{1pt},\hspace{2pt}-2\cdots}$$ となります。

この階差数列\(\large{\{b_n\}}\) は 初項 \(\large{2\hspace{1pt}}\), 公差 \(\large{-1}\) の等差数列であるため、階差数列\(\large{\{b_n\}}\) の一般項は $$\large{b_n = 2 + (n-1)\times (-1) = -n+3}$$ したがって、数列\(\large{\{a_n\}}\) は \(\large{n \geqq 2}\) のとき \begin{eqnarray} \large a_n &=& \large a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k\\[0.7em] &&\large =\large -1 + \sum_{k=1}^{n-1}(-k+3) \\[0.7em] &&\large =\large -1 - \sum_{k=1}^{n-1} k +3 \sum_{k=1}^{n-1} 1 \\[0.7em] &&\large =\large -1 - \frac{1}{2}(n-1)n+3 (n-1) \\[0.7em] &&\large =\large -\frac{1}{2}n^2 +\frac{7}{2}n -4\hspace{5pt} \cdots (3)\\[0.7em] \end{eqnarray}

ここで、\(\large{n =1}\) のとき \(\large{(3)\hspace{1pt}}\)式は $$\large{a_1 = -1}$$ となるため、\(\large{(3)\hspace{1pt}}\)式は \(\large{n =1}\) のときも成り立ちます。

したがって、 $$\large{a_n = -\frac{1}{2}n^2 +\frac{7}{2}n -4}$$ となります。

問題3. 階差数列が等比数列の場合

【問題3の解答】

問題の数列\(\large{\{a_n\}}\) の階差数列を \(\large{\{b_n\}}\) とします。

数列\(\large{\{a_n\}}\) $$\large{1\hspace{1pt},\hspace{2pt}4\hspace{1pt},\hspace{2pt}10\hspace{1pt},\hspace{2pt}22\hspace{1pt},\hspace{2pt}46\hspace{1pt},\hspace{2pt}94\hspace{1pt},\hspace{2pt}\cdots}$$ の階差数列\(\large{\{b_n\}}\) は $$\large{3\hspace{1pt},\hspace{2pt}6\hspace{1pt},\hspace{2pt}12\hspace{1pt},\hspace{2pt}24\hspace{1pt},\hspace{2pt}48\cdots}$$ となります。

この階差数列\(\large{\{b_n\}}\) は 初項 \(\large{3\hspace{1pt}}\), 公比 \(\large{2}\) の等比数列であるため、階差数列\(\large{\{b_n\}}\) の一般項は $$\large{b_n = 3 \cdot 2^{n-1} }$$ したがって、数列\(\large{\{a_n\}}\) は \(\large{n \geqq 2}\) のとき \begin{eqnarray} \large a_n &=& \large a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k\\[0.7em] &&\large =\large 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3 \cdot 2^{k-1} \\[0.7em] &&\large =\large 1 +3 \cdot \frac{2^{n-1}-1}{2-1} \\[0.7em] &&\large =\large 1 + 3 \cdot (2^{n-1}-1) \\[0.7em] &&\large =\large 3\cdot 2^{n-1} -2 \hspace{5pt} \cdots (4)\\[0.7em] \end{eqnarray}

ここで、\(\large{n =1}\) のとき \(\large{(4)\hspace{1pt}}\)式は $$\large{a_1 = 1}$$ となるため、\(\large{(4)\hspace{1pt}}\)式は \(\large{n =1}\) のときも成り立ちます。

したがって、 $$\large{a_n = 3\cdot 2^{n-1} -2 }$$ となります。

問題4. 階差数列が等比数列の場合

【問題4の解答】

問題の数列\(\large{\{a_n\}}\) の階差数列を \(\large{\{b_n\}}\) とします。

数列\(\large{\{a_n\}}\) $$\large{20\hspace{1pt},\hspace{2pt}-4\hspace{1pt},\hspace{2pt}8\hspace{1pt},\hspace{2pt}2\hspace{1pt},\hspace{2pt}5\hspace{1pt},\hspace{2pt}\frac{7}{2}\hspace{1pt},\hspace{2pt}\cdots}$$ の階差数列\(\large{\{b_n\}}\) は $$\large{-24\hspace{1pt},\hspace{2pt}12\hspace{1pt},\hspace{2pt}-6\hspace{1pt},\hspace{2pt}3\hspace{1pt},\hspace{2pt}-\frac{3}{2}\cdots}$$ となります。

この階差数列\(\large{\{b_n\}}\) は 初項 \(\large{-24\hspace{1pt}}\), 公比 \(\displaystyle\large{-\frac{1}{2}}\) の等比数列であるため、階差数列\(\large{\{b_n\}}\) の一般項は $$\large{b_n = -24 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} }$$ したがって、数列\(\large{\{a_n\}}\) は \(\large{n \geqq 2}\) のとき \begin{eqnarray} \large a_n &=& \large a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k\\[0.7em] &&\large =\large 20 + \sum_{k=1}^{n-1} -24 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1} \\[0.7em] &&\large =\large 20 -24 \cdot \frac{1-(-\frac{1}{2})^{n-1}}{1-(-\frac{1}{2})} \\[0.7em] &&\large =\large 20 -16 \cdot \left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right) \\[0.7em] &&\large =\large 4+16 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \hspace{5pt}\cdots (5)\\[0.7em] \end{eqnarray}

ここで、\(\large{n =1}\) のとき \(\large{(5)\hspace{1pt}}\)式は $$\large{a_1 = 20}$$ となるため、\(\large{(5)\hspace{1pt}}\)式は \(\large{n =1}\) のときも成り立ちます。

したがって、 $$\large{a_n = 4+16 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} }$$ となります。

問題5. 階差数列が二乗の和の場合

【問題5の解答】

問題の数列\(\large{\{a_n\}}\) の階差数列を \(\large{\{b_n\}}\) とします。

数列\(\large{\{a_n\}}\) $$\large{1\hspace{1pt},\hspace{2pt}2\hspace{1pt},\hspace{2pt}6\hspace{1pt},\hspace{2pt}15\hspace{1pt},\hspace{2pt}31\hspace{1pt},\hspace{2pt}56\hspace{1pt},\hspace{2pt}92\hspace{1pt},\hspace{2pt}\cdots}$$ の階差数列\(\large{\{b_n\}}\) は $$\large{1\hspace{1pt},\hspace{2pt}4\hspace{1pt},\hspace{2pt}9\hspace{1pt},\hspace{2pt}16\hspace{1pt},\hspace{2pt}25\hspace{1pt},\hspace{2pt}36\cdots}$$ すなわち $$\large{1^2\hspace{1pt},\hspace{2pt}2^2\hspace{1pt},\hspace{2pt}3^2\hspace{1pt},\hspace{2pt}4^2\hspace{1pt},\hspace{2pt}5^2\hspace{1pt},\hspace{2pt}6^2\cdots}$$ となります。

この階差数列\(\large{\{b_n\}}\) は自然数の二乗であるため、階差数列\(\large{\{b_n\}}\) の一般項は $$\large{b_n = n^2 }$$ したがって、数列\(\large{\{a_n\}}\) は \(\large{n \geqq 2}\) のとき 二乗の和の公式から $$\large{\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$$ であることを用いると \begin{eqnarray} \large a_n &=& \large a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k\\[0.7em] &&\large =\large 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 \\[0.7em] &&\large =\large 1 + \frac{1}{6}(n-1)n(2(n-1)+1) \\[0.7em] &&\large =\large 1 + \frac{1}{6}(n-1)n(2n-1) \\[0.7em] &&\large =\large \frac{1}{6}(2n^3-3n^2 + n + 6 )\hspace{5pt}\cdots (6)\\[0.7em] \end{eqnarray}

ここで、\(\large{n =1}\) のとき \(\large{(6)\hspace{1pt}}\)式は $$\large{a_1 = 1}$$ となるため、\(\large{(6)\hspace{1pt}}\)式は \(\large{n =1}\) のときも成り立ちます。

したがって、 $$\large{a_n = \frac{1}{6}(2n^3-3n^2 + n + 6 ) }$$ となります。

問題6. 第二階差数列 | 二段階で階差数列を計算

【問題6の解答】

本問は、数列\(\large{\{a_n\}}\) の階差数列 \(\large{\{b_n\}}\) を調べても、規則性が見つかりません。

そこで、さらに数列\(\large{\{b_n\}}\) の階差数列\(\large{\{c_n\}}\) を調べることで \(\large{\{a_n\}}\) の一般項を求めます。

このときの 階差数列\(\large{\{c_n\}}\) を第二階差数列といいます。

問題の数列\(\large{\{a_n\}}\) の階差数列を \(\large{\{b_n\}}\) とします。

数列\(\large{\{a_n\}}\) $$\large{1\hspace{1pt},\hspace{2pt}4\hspace{1pt},\hspace{2pt}10\hspace{1pt},\hspace{2pt}21\hspace{1pt},\hspace{2pt}39\hspace{1pt},\hspace{2pt}66\hspace{1pt},\hspace{2pt}104\hspace{1pt},\hspace{2pt}\cdots}$$ の階差数列\(\large{\{b_n\}}\) は $$\large{3\hspace{1pt},\hspace{2pt}6\hspace{1pt},\hspace{2pt}11\hspace{1pt},\hspace{2pt}18\hspace{1pt},\hspace{2pt}27\hspace{1pt},\hspace{2pt}38\cdots}$$ となります。

階差数列 \(\large{\{b_n\}}\) を調べても規則性が見つからないため、さらに数列\(\large{\{b_n\}}\) の階差数列\(\large{\{c_n\}}\) を求めます。

数列\(\large{\{b_n\}}\) の階差数列\(\large{\{c_n\}}\) は $$\large{3\hspace{1pt},\hspace{2pt}5\hspace{1pt},\hspace{2pt}7\hspace{1pt},\hspace{2pt}9\hspace{1pt},\hspace{2pt}11\hspace{1pt},\hspace{2pt}\cdots}$$ となります。

この階差数列\(\large{\{c_n\}}\) は初項 \(\large{3\hspace{1pt}}\), 公差 \(\large{2}\) の等差数列であるため、階差数列\(\large{\{c_n\}}\) の一般項は $$\large{c_n = 3 + (n-1)\times 2 = 2n+1}$$ したがって、数列\(\large{\{b_n\}}\) は \(\large{n \geqq 2}\) のとき \begin{eqnarray} \large b_n &=& \large b_1 + \sum_{k=1}^{n-1}c_k\\[0.7em] &&\large =\large 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1) \\[0.7em] &&\large =\large 3 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1 \\[0.7em] &&\large =\large 3 + 2\cdot \frac{1}{2}(n-1)n + (n-1) \\[0.7em] &&\large =\large 3 + n(n-1) + (n-1) \\[0.7em] &&\large =\large n^2 +2 \hspace{5pt}\cdots (7)\\[0.7em] \end{eqnarray}

ここで、\(\large{n =1}\) のとき \(\large{(7)\hspace{1pt}}\)式は $$\large{a_1 = 3}$$ となるため、\(\large{(7)\hspace{1pt}}\)式は \(\large{n =1}\) のときも成り立ちます。

したがって、 $$\large{b_n = n^2 +2 }$$ となります。

階差数列 \(\large{\{b_n\}}\) の一般項が求められたため、数列\(\large{\{a_n\}}\) の一般項を求めると \(\large{n \geqq 2}\) のとき \begin{eqnarray} \large a_n &=& \large a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k\\[0.7em] &&\large =\large 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k^2+2) \\[0.7em] &&\large =\large 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} 1 \\[0.7em] &&\large =\large 1 + \frac{1}{6}(n-1)n(2n-1) + 2(n-1) \\[0.7em] &&\large =\large \frac{1}{6} (6 + n(n-1)(2n-1) + 12(n-1)) \\[0.7em] &&\large =\large \frac{1}{6} ( 2n^3-3n^2 + 13n-6)\hspace{5pt}\cdots (8) \\[0.7em] \end{eqnarray}

ここで、\(\large{n =1}\) のとき \(\large{(8)\hspace{1pt}}\)式は $$\large{a_1 = 1}$$ となるため、\(\large{(8)\hspace{1pt}}\)式は \(\large{n =1}\) のときも成り立ちます。

したがって、 $$\large{a_n = \frac{1}{6} ( 2n^3-3n^2 + 13n-6) }$$ となります。

問題7. 漸化式と階差数列

【問題7の解答】

問題の漸化式を変形すると $$\large{a_{n+1} - a_n = 2n}$$ となることから、数列\(\large{\{a_n\}}\) の階差数列の一般項は \(\large{b_n = 2n}\) となります。

したがって、数列\(\large{\{a_n\}}\) は \(\large{n \geqq 2}\) のとき \begin{eqnarray} \large a_n &=& \large a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k\\[0.7em] &&\large =\large 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k \\[0.7em] &&\large =\large 3 +2 \cdot \frac{1}{2}n(n-1) \\[0.7em] &&\large =\large 3 + n(n-1) \\[0.7em] &&\large =\large n^2 -n +3 \hspace{5pt}\cdots (9)\\[0.7em] \end{eqnarray}

ここで、\(\large{n =1}\) のとき \(\large{(9)\hspace{1pt}}\)式は $$\large{a_1 = 3}$$ となるため、\(\large{(9)\hspace{1pt}}\)式は \(\large{n =1}\) のときも成り立ちます。

したがって、 $$\large{a_n = n^2 -n +3 }$$ となります。

問題8. 漸化式と階差数列

【問題8の解答】

問題の漸化式を変形すると $$\large{a_{n+1} - a_n = 4\cdot(-3)^{n-1}}$$ となることから、数列\(\large{\{a_n\}}\) の階差数列の一般項は \(\large{b_n = 4\cdot(-3)^{n-1}}\) となります。

したがって、数列\(\large{\{a_n\}}\) は \(\large{n \geqq 2}\) のとき \begin{eqnarray} \large a_n &=& \large a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k\\[0.7em] &&\large =\large 4 + \sum_{k=1}^{n-1} 4\cdot(-3)^{k-1} \\[0.7em] &&\large =\large 4 + 4\cdot\frac{1-(-3)^{n-1}}{1-(-3)} \\[0.7em] &&\large =\large 5- (-3)^{n-1} \hspace{5pt}\cdots (10)\\[0.7em] \end{eqnarray}

ここで、\(\large{n =1}\) のとき \(\large{(10)\hspace{1pt}}\)式は $$\large{a_1 = 4}$$ となるため、\(\large{(10)\hspace{1pt}}\)式は \(\large{n =1}\) のときも成り立ちます。

したがって、 $$\large{a_n = 5- (-3)^{n-1} }$$ となります。

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