本項では以下の内容を解説しています。
\(\large{1}\) から \(\large{\hspace{1pt} n \hspace{1pt}}\) までの自然数の数列の和 $$\large{S_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n}$$ は 初項 \(\large{a \hspace{1pt}}\), 末項 \(\large{l \hspace{1pt}}\), 項数 \(\large{n}\) の等差数列の和の公式 $$\large{S_n = \frac{1}{2} n (a+l)}$$ において、初項 \(\large{a=1}\), 末項 \(\large{l=n}\) とすればよいので、 $$\large{1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2} n (n+1)}$$ と求められます。
一方、自然数の二乗の和 $$\large{S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2}$$ は以下のような公式で求められます。
例題の数列は、自然数の二乗の数列であるため、二乗の和の公式 $$\large{S_n = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$$ に \(\large{n=10}\) を代入すると \begin{eqnarray} \large S_{10} &\large =&\large \frac{1}{6}\cdot 10 \cdot (10+1) \cdot(2\cdot 10+1)\\[0.7em] \large &\large =&\large \frac{1}{6}\cdot 10 \cdot 11 \cdot 21\\[0.7em] \large &\large =&\large 385\\[0.7em] \end{eqnarray} したがって、問題の数列の和は \(\large{385}\) となります。
本章では、先述した二乗の和の公式 $$\large{1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) }$$を証明します。
二乗の和の公式の証明には、以下の式を使用します。 $$\large{(k+1)^3-k^3 = 3k^2 + 3k +1 \hspace{15pt}(1)}$$
(1)式において、\(\large{k=1\hspace{1pt},\hspace{1pt}2\hspace{1pt},\hspace{1pt}3,\cdots,\hspace{1pt}n}\) の計算結果を並べると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large 2^3 - 1^3 &\large =&\large 3 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 1\\[0.7em] \large 3^3 - 2^3 &\large =&\large 3 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 + 1\\[0.7em] \large 4^3 - 3^3 &\large =&\large 3 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 + 1\\[0.7em] \large \cdots & &\large \cdots\\[0.7em] \large (n+1)^3 - n^3 &\large =&\large 3 \cdot n^2 + 3 \cdot n + 1\\[0.7em] \end{eqnarray}
上記の \(\large{n}\)個の式の両辺を足し合わせると、
となります。
ここで、\(\large{1}\) から \(\large{n}\) までの自然数の二乗の和を \(\large{S_n}\) とおきます。 $$\large{S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2}$$ また、\(\large{1}\) から \(\large{n}\) までの自然数の和が $$\large{1+2+3+ \cdots + n = \frac{1}{2} n (n+1)}$$ と表されることから、(2)式は $$\large{(n+1)^3 -1^3 = 3\hspace{1pt}S_n+ \frac{3}{2}n(n+1)+n}$$ となります。
上式から \(\large{S_n}\) を求めると、 \begin{eqnarray} \large 3S_n &\large =&\large (n+1)^3-1-\frac{3}{2}n(n+1)-n\\[0.7em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)\\[0.7em] \end{eqnarray} すなわち、 $$\large{S_n = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$$ 以上から、二乗の和の公式が導出されます。
本章では、二乗の和に関する問題と解き方について解説します。
【問題1の解答】
問題の数列の和は、 二乗の数列の和であるため、二乗の和の公式
\begin{eqnarray}
\large
S_n &\large =&\large 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2\\[0.7em]
\large &\large =&\large \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\[0.7em]
\end{eqnarray}
から求めます。
問題の数列の和は、\(\large{15}\) の二乗までの和 \(\large{(S_{15})}\) から \(\large{6}\) の二乗までの和 \(\large{(S_6)}\) を引くことで和を求めます。 $$\large{S = S_{15} - S_6}$$
まず、\(\large{1}\) の二乗から \(\large{6}\) の二乗までの和は \begin{eqnarray} \large S_{6} &\large =&\large \frac{1}{6}\cdot 6 \cdot (6+1) \cdot(2\cdot 6+1)\\[0.7em] \large &\large =&\large \frac{1}{6}\cdot 6 \cdot 7 \cdot 13\\[0.7em] \large &\large =&\large 91\\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
次に、\(\large{1}\) の二乗から \(\large{15}\) の二乗までの和は \begin{eqnarray} \large S_{15} &\large =&\large \frac{1}{6}\cdot 15 \cdot (15+1) \cdot(2\cdot 15+1)\\[0.7em] \large &\large =&\large \frac{1}{6}\cdot 15 \cdot 16 \cdot 31\\[0.7em] \large &\large =&\large 1240\\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
したがって、求める和は \begin{eqnarray} \large S &\large =&\large S_{15}-S_6\\[0.7em] \large &\large =&\large 1240 - 91\\[0.7em] \large &\large =&\large 1149\\[0.7em] \end{eqnarray} となります。
【問題2の解答】
問題の数列の和は、 偶数の二乗の和であるため、二乗の和の公式
\begin{eqnarray}
\large
S_n &\large =&\large 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2\\[0.7em]
\large &\large =&\large \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\[0.7em]
\end{eqnarray}
が利用できるように変形します。
問題の数列の和を変形すると、
と求められます。
【問題2の解答】
問題の数列の和は、 奇数の二乗の和であるため、二乗の和の公式
\begin{eqnarray}
\large
S_n &\large =&\large 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2\\[0.7em]
\large &\large =&\large \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\[0.7em]
\end{eqnarray}
が利用できるように変形します。
問題の数列の和を変形すると、
と求められます。