-光と光学に関連する用語の解説サイト-

和の記号シグマの計算

本項では以下の内容を解説しています。

  • ・シグマ記号の公式と性質
  • ・問題と解き方

【1】シグマ記号の計算

数列の和 \(\large{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}\) は記号 \(\large{\sum}\) (シグマ)を用いて以下のように書き表すことができます。 $$\large{\sum_{k=1}^{n}a_k = a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}$$

\(\displaystyle\large{\sum_{k=1}^{n}a_k}\) は、数列 \(\large{\{a_n\}}\) の初項から第\(\large{\hspace{1pt} n \hspace{1pt}}\)項 までの和を意味します。

例えば、自然数の偶数の数列の 初項から第\(\large{\hspace{1pt} n \hspace{1pt}}\)項 までの和は $$\large{\sum_{k=1}^{n}2k = 2+4+6+ \cdots + 2n}$$ と表します。

また、自然数の偶数のうち、第\(\large{\hspace{1pt} 3 \hspace{1pt}}\)項から第\(\large{\hspace{1pt} n \hspace{1pt}}\)項 までの数列の和は $$\large{\sum_{\hspace{1pt}\color{blue}{k=3}\color{black}{}\hspace{1pt}}^{n}2k = 6+8+10+ \cdots + 2n}$$ となります。

記号 \(\large{\sum}\) の下側の \(\large{\hspace{1pt}\color{blue}{k=3}\color{black}{}\hspace{1pt}}\) は 第\(\large{\hspace{1pt}3\hspace{1pt}}\)項からの和を求めることを意味します。

・シグマ記号の公式

等差数列等比数列の和などは頻繁に和の計算に使われるため、以下に示すように公式として覚えると便利です。

【シグマ記号の公式】
\begin{eqnarray} &\large &\large \sum_{k=1}^n c = nc\hspace{10pt}(\rm{cは定数})\\[0.7em] &\large &\large \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2} n (n+1)\\[0.7em] \large &\large &\large \sum_{k=1}^n k^2= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\[0.7em] \large &\large &\large \sum_{k=1}^n k^3 = \left\{\frac{1}{2} n (n+1)\right\}^2\\[0.7em] \large &\large &\large \sum_{k=1}^n r^{k-1} = \frac{1-r^n}{1-r} = \frac{r^n-1}{r-1}\\[0.7em] \end{eqnarray}

・シグマ記号の性質

シグマ記号には、以下のような性質があります。

【シグマ記号の性質】
\begin{eqnarray} &\large &\large \sum_{k=1}^n (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k \\[0.7em] &\large &\large \sum_{k=1}^n c\hspace{1pt} a_k = c \sum_{k=1}^n a_k \\[0.7em] \end{eqnarray}

上記のシグマ記号の性質は、以下のように証明することができます。

数列 \(\large{\{a_n\}}\) と \(\large{\{b_n\}}\) の和を求めると、

\begin{eqnarray} \large\hspace{10pt} \sum_{k=1}^n (a_k + b_k) &=& \large(a_1+b_1)+(a_2+b_2) +\cdots + (a_n+b_n)\hspace{10pt}\\[0.7em] &\large &\large = a_1+a_2 +\cdots + a_n+ b_1+b_2 +\cdots + b_n \\[0.7em] &\large &\large = \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k \\[0.7em] \end{eqnarray}

したがって、 $$\large{\sum_{k=1}^n (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k}$$ が導かれます。

また、\(\large{c}\) を定数とすると、 \begin{eqnarray} \large \sum_{k=1}^n c\hspace{1pt} a_k &=& \large c\hspace{1pt} a_1+ c\hspace{1pt} a_2 +\cdots + c\hspace{1pt} a_n\\[0.7em] &\large &\large = c\hspace{1pt}(a_1+a_2 +\cdots + a_n) \\[0.7em] &\large &\large = c \hspace{1pt}\sum_{k=1}^n a_k\\[0.7em] \end{eqnarray}

したがって、 $$\large{\sum_{k=1}^n c \hspace{1pt}a_k = c \sum_{k=1}^n a_k}$$ が導かれます。

・例題

【例題】
次の和を求めよ。 $$\large{\sum_{k=1}^n (2k+3)}$$

シグマの計算は、公式が使えるように式を変形する点がポイントになります。

例題の和は、シグマ記号の性質から以下のように変形します。 $$\large{\sum_{k=1}^n (2k+3) = 2 \sum_{k=1}^n k + 3\sum_{k=1}^n 1}$$ 次に、和の公式 \begin{eqnarray} &\large &\large \sum_{k=1}^n c = nc\\[0.7em] &\large &\large \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2} n (n+1)\\[0.7em] \end{eqnarray} から以下のように変形します。 \begin{eqnarray} \large 2 \sum_{k=1}^n k+ 3\sum_{k=1}^n 1 &=& \large 2 \cdot \frac{1}{2} n (n+1) + 3\cdot n\\[0.7em] &\large &\large =n(n+1) + 3n\\[0.7em] &\large &\large = n(n+4)\\[0.7em] \end{eqnarray} となります。

したがって、 $$\large{\sum_{k=1}^n (2k+3) = n(n+4)}$$ と求められます。

【2】シグマの公式の問題と解き方

本章では、シグマの公式に関する問題と解き方について解説します。

問題(1)~(6)
次の和を求めよ
\begin{eqnarray} && \large (1)\hspace{10pt}\sum_{k=1}^n (6k^2-1) \\[0.7em] &&\large (2)\hspace{10pt} \sum_{k=1}^n (k+1)(k-3)\\[0.7em] &&\large (3)\hspace{10pt} \sum_{k=1}^n k^2(k-1) \\[0.7em] &&\large (4)\hspace{10pt} \sum_{k=4}^n (2k-1)\\[0.7em] &&\large (5)\hspace{10pt} \sum_{k=1}^n 5 \cdot 2^{k-1}\\[0.7em] &&\large (6)\hspace{10pt} \sum_{i=1}^n \hspace{1pt}\left(\hspace{1pt}\sum_{k=1}^i 2k \hspace{1pt} \right) \end{eqnarray}
問題(7), (8)
次の和を求めよ
\begin{eqnarray} && \large (7)\hspace{10pt}2\cdot 2 + 4 \cdot 5 +\cdots + 2n\cdot (n^2+1)\\[0.7em] &&\large (8)\hspace{10pt}1\cdot 1 + 3 \cdot 2 +\cdots + (2n-1)\cdot 2^{n-1}\\[0.7em] \end{eqnarray}
問題(9), (10)
次の数列の第\(\large{1}\)項から第\(\large{\hspace{1pt}n \hspace{1pt}}\)までの和 \(\large{S_n}\) を求めよ
\begin{eqnarray} && \large (9)\hspace{10pt}2\cdot 2 \hspace{1pt},\hspace{3pt}4 \cdot 5 \hspace{1pt},\hspace{3pt}6 \cdot 8 \hspace{1pt},\hspace{3pt}8 \cdot 11 \hspace{1pt},\hspace{3pt}\cdots\\[0.7em] &&\large (10)\hspace{10pt}1 \hspace{1pt},\hspace{3pt}1+3 \hspace{1pt},\hspace{3pt}1+3+3^2 \hspace{1pt},\hspace{3pt}\cdots\\[0.7em] \end{eqnarray}

問題1. シグマの公式と性質

問題(1)
次の和を求めよ
$$\large{\sum_{k=1}^n (6k^2-1) }$$

【問題1の解答】

例題の和は、まず シグマ記号の性質から以下のように変形します。 $$\large{\sum_{k=1}^n (6k^2-1) = 6 \sum_{k=1}^n k^2 -\sum_{k=1}^n 1}$$ 次に、和の公式 \begin{eqnarray} &\large &\large \sum_{k=1}^n c = nc\\[0.7em] &\large &\large \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6} n (n+1)(2n+1)\\[0.7em] \end{eqnarray} から以下のように変形すると、 \begin{eqnarray} \large 6 \sum_{k=1}^n k^2 -\sum_{k=1}^n 1 &=& \large 6 \cdot \frac{1}{6} n (n+1)(2n+1) - n\\[0.7em] &\large &\large =n(n+1)(2n+1) -n\\[0.7em] &\large &\large = n\{ (n+1)(2n+1) -1 \}\\[0.7em] &\large &\large = n^2(2n+3)\\[0.7em] \end{eqnarray} となります。

したがって、 $$\large{\sum_{k=1}^n (6k-1) = n^2(2n+3)}$$ と求められます。

問題2. 式を展開して計算

問題(2)
次の和を求めよ
$$\large{\sum_{k=1}^n (k+1)(k-3) }$$

【問題2の解答】
問題の和は、シグマ記号の中が積になっているため、シグマの公式が使えるよう和の式に変形します。 \begin{eqnarray} \large \sum_{k=1}^n (k+1)(k-3) &\large =&\large \sum_{k=1}^n (k^2-2k -3)\\[0.7em] \large &\large =&\large \sum_{k=1}^n k^2 -2 \sum_{k=1}^n k -3 \sum_{k=1}^n 1\\[0.7em] \end{eqnarray}

次に、和の公式 \begin{eqnarray} &\large &\large \sum_{k=1}^n c = nc\\[0.7em] &\large &\large \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1)\\[0.7em] &\large &\large \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6} n (n+1)(2n+1)\\[0.7em] \end{eqnarray} から以下のように変形すると、

\begin{eqnarray} \large \hspace{10pt}\sum_{k=1}^n k^2 -2 \sum_{k=1}^n k -3 \sum_{k=1}^n 1 &=& \large \frac{1}{6} n (n+1)(2n+1) - 2 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) -3n\hspace{10pt}\\[0.7em] &\large &\large =\frac{1}{6}n \{ (n+1)(2n+1) -6(n+1)-18\}\\[0.7em] &\large &\large = \frac{1}{6}n( 2n^2-3n-23 )\\[0.7em] \end{eqnarray}

となります。

したがって、 $$\large{\sum_{k=1}^n (k+1)(k-3) = \frac{1}{6}n( 2n^2-3n-23 )}$$ と求められます。

問題3. 式を展開して計算

問題(3)
次の和を求めよ
$$\large{\sum_{k=1}^n k^2(k-1) }$$

【問題3の解答】
問題の和は、シグマ記号の中が積になっているため、和の式に変形します。 \begin{eqnarray} \large \sum_{k=1}^n k^2(k-1) &\large =&\large \sum_{k=1}^n (k^3-k^2)\\[0.7em] \large &\large =&\large \sum_{k=1}^n k^3 - \sum_{k=1}^n k^2 \\[0.7em] \end{eqnarray}

次に、和の公式 \begin{eqnarray} &\large &\large \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6} n (n+1)(2n+1)\\[0.7em] &\large &\large \sum_{k=1}^n k^3 = \left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2\\[0.7em] \end{eqnarray} から変形すると、

\begin{eqnarray} \large \hspace{10pt} \sum_{k=1}^n k^3 - \sum_{k=1}^n k^2 &=& \large \left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2 - \frac{1}{6} n (n+1)(2n+1)\\[0.7em] &\large &\large =\frac{1}{12}n(n+1) \{3n(n+1) - 2(2n+1)\}\hspace{10pt}\\[0.7em] &\large &\large = \frac{1}{12}n(n+1) (3n^2-n-2)\\[0.7em] &\large &\large = \frac{1}{12}n(n+1)(n-1)(3n+2)\\[0.7em] \end{eqnarray}

となります。

したがって、 $$\large{\sum_{k=1}^n k^2(k-1) = \frac{1}{12}n(n+1)(n-1)(3n+2)}$$ と求められます。

問題4. 初項以外から始まる和

問題(4)
次の和を求めよ
$$\large{ \sum_{k=4}^n (2k-1)}$$

【問題4の解答】
問題の和は、シグマの計算が 初項\(\large{(k=1)}\) からではなく、第\(\large{4}\)項からの和になっています。

シグマの公式は、初項\(\large{(k=1)}\) からの和を計算する式であるため、以下のように変形して和を求めます。 $$\large{\sum_{\hspace{1pt}\color{red}{k=4}\color{black}{}\hspace{1pt}}^n (2k-1) = \sum_{\hspace{1pt}\color{red}{k=1}\color{black}{}\hspace{1pt}}^n (2k-1) - \sum_{\hspace{1pt}\color{red}{k=1}\color{black}{}\hspace{1pt}}^3 (2k-1)}$$

上式から和を求めると、

\begin{eqnarray} \large \sum_{k=4}^n (2k-1) &\large =&\large \sum_{k=1}^n (2k-1) - \sum_{k=1}^3 (2k-1)\\[0.7em] \large &\large =&\large 2\sum_{k=1}^n k - \sum_{k=1}^n 1 -(1+3+5)\\[0.7em] \large &\large =&\large 2 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) -n -9 \\[0.7em] \large &\large =&\large n(n+1) -n -9 \\[0.7em] \large &\large =&\large (n+3)(n-3) \\[0.7em] \end{eqnarray}

問題5. 等比数列の和

問題(5)
次の和を求めよ
$$\large{\sum_{k=1}^n 5 \cdot 2^{k-1}}$$

【問題5の解答】
問題の和は 初項 \(\large{5}\), 公比 \(\large{2}\) の等比数列であり、シグマの公式 $$\large{\sum_{k=1}^n r^{k-1} = \frac{r^n-1}{r-1}}$$ から \begin{eqnarray} \large \hspace{10pt} \sum_{k=1}^n 5 \cdot 2^{k-1} &=& \large 5 \sum_{k=1}^n 2^{k-1}\\[0.7em] &\large &\large =5\cdot \frac{2^n -1}{2-1}\\[0.7em] &\large &\large = 5\cdot(2^n-1)\\[0.7em] \end{eqnarray} と求められます。

問題6. シグマ記号が2つ使われる場合

問題(6)
次の和を求めよ
$$\large{\sum_{i=1}^n \hspace{1pt}\left(\hspace{1pt}\sum_{k=1}^i 2k \hspace{1pt} \right)}$$

【問題6の解答】
問題の和は、シグマ記号が2つ重ねて使われています。このような場合は、内側のシグマの式から順に計算すれば和が求められます。

シグマの公式から、 $$\large{\sum_{k=1}^i k = \frac{1}{2}i(i+1)}$$ となります。

よって、問題の和は以下のように計算できます。

\begin{eqnarray} \large \hspace{10pt}\sum_{i=1}^n \left(\sum_{k=1}^i 2k \right) &=& \large \sum_{i=1}^n \left(2 \sum_{k=1}^i k \right) \\[0.7em] \large &=& \large \sum_{i=1}^n 2\cdot \frac{1}{2}i \hspace{1pt}(i+1) \\[0.7em] &\large &\large =\sum_{i=1}^n i^2 + \sum_{i=1}^n i\\[0.7em] &\large &\large = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) +\frac{1}{2}n(n+1)\hspace{10pt}\\[0.7em] &\large &\large =\frac{1}{6}n(n+1) \{(2n+1)+ 3\}\\[0.7em] &\large &\large =\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\\[0.7em] \end{eqnarray}

と求められます。

問題7. シグマの公式と性質

問題(7)
次の数列の和 \(\large{S_n}\) を求めよ
$$\large{2\cdot 2 + 4 \cdot 5 +\cdots + 2n\cdot (n^2+1)}$$

【問題7の解答】

問題の和をシグマ記号で表して、公式から計算します。

\begin{eqnarray} \large \hspace{10pt}\sum_{k=1}^n 2k\cdot (k^2+1) &=& \large \sum_{k=1}^n(2k^3 + 2k) \\[0.7em] &\large &\large =2 \sum_{k=1}^n k^3 +2 \sum_{k=1}^n k\\[0.7em] &\large &\large =2 \left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2 +2 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) \hspace{10pt}\\[0.7em] &\large &\large = \frac{1}{2}n^2(n+1)^2 + n(n+1)\\[0.7em] &\large &\large = \frac{1}{2}n(n+1)\{n(n+1) +2\}\\[0.7em] &\large &\large = \frac{1}{2}n(n+1)(n^2 +n +2)\\[0.7em] \end{eqnarray}

したがって、求める和 \(\large{S_n}\) は、 $$\large{S_n = \frac{1}{2}n(n+1)(n^2 +n +2)}$$ となります。

問題8. シグマの公式が使えない場合の和

問題(8)
次の数列の和 \(\large{S_n}\) を求めよ
$$\large{1\cdot 1 + 3 \cdot 2 +\cdots + (2n-1)\cdot 2^{n-1}}$$

【問題8の解答】

問題の和をシグマの公式から計算しようとすると、 $$\large{\sum_{k=1}^n k \cdot 2^k}$$ の項があるため、計算することができません。

このような和を求める場合は、等比数列の証明と同じ手法により、和を求めます。

$$\large{\hspace{10pt}S_n = 1\cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 +\cdots + (2n-1)\cdot 2^{n-1}\hspace{10pt}(1)\hspace{10pt}}$$

とおき、両辺に \(\large{2}\) をかけると、

$$\large{\hspace{10pt}2S_n = 1\cdot 2 + 3 \cdot 2^2 +5 \cdot 2^3 + \cdots + (2n-1)\cdot 2^{n}\hspace{10pt}(2)\hspace{10pt}}$$

となります。

(1)式-(2)式を求めると、

$$\large{\hspace{10pt}S_n - 2S_n = 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \cdots + 2 \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^n\hspace{10pt}}$$

したがって、\begin{eqnarray} \large \hspace{10pt} -S_n &=& \large 1 + 2 \cdot(2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1}) - (2n-1)\cdot 2^n \\[0.7em] &\large &\large =\large 1 + 2 \cdot \frac{2 \cdot (2^{n-1}-1)}{2-1} - (2n-1)\cdot 2^n\\[0.7em] &\large &\large =\large (3-2n)\cdot 2^n-3\\[0.7em] \end{eqnarray}

したがって、求める和 \(\large{S_n}\) は、 $$\large{S_n = (2n-3)\cdot 2^n+3}$$ となります。

問題9. 一般項を求める問題

問題(9)
次の数列の第\(\large{1}\)項から第\(\large{\hspace{1pt}n \hspace{1pt}}\)までの和 \(\large{S_n}\) を求めよ
$$\large{2\cdot 2 \hspace{1pt},\hspace{3pt}4 \cdot 5 \hspace{1pt},\hspace{3pt}6 \cdot 8 \hspace{1pt},\hspace{3pt}8 \cdot 11 \hspace{1pt},\hspace{3pt}\cdots}$$

【問題9の解答】
問題の和を求めるために、まずは数列の一般項を求めます。

\(\large{2\hspace{1pt},\hspace{1pt}4\hspace{1pt},\hspace{1pt}6\hspace{1pt},\hspace{1pt}8,\cdots}\) は 初項 \(\large{2}\), 公差 \(\large{2}\) の等差数列であるため、一般項は $$\large{a_n = 2 + 2(n-1) = 2n}$$ となります。

また、\(\large{2\hspace{1pt},\hspace{1pt}5\hspace{1pt},\hspace{1pt}8\hspace{1pt},\hspace{1pt}11,\cdots}\) は 初項 \(\large{2}\), 公差 \(\large{3}\) の等差数列であるため、一般項は $$\large{a_n = 2 + 3(n-1) = 3n-1}$$ となります。

したがって、問題の数列の和は、以下のように表せます。

$$\large{2\cdot 2 +4 \cdot 5 +6 \cdot 8+8 \cdot 11 +\cdots + 2n \cdot (3n-1)}$$

次に、上記の和をシグマ記号で表し、変形すると

\begin{eqnarray} \large \hspace{10pt}\sum_{k=1}^n 2k \cdot (3k-1) &=& \large \sum_{k=1}^n(6k^2 -2k) \\[0.7em] &\large &\large =6 \sum_{k=1}^n k^2 -2 \sum_{k=1}^n k\\[0.7em] &\large &\large =6 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) -2 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) \hspace{10pt}\\[0.7em] &\large &\large = n(n+1)(2n+1) - n(n+1)\\[0.7em] &\large &\large = n(n+1)\{(2n+1) - 1\}\\[0.7em] &\large &\large = 2n^2(n+1)\\[0.7em] \end{eqnarray}

したがって、問題の数列の和は $$\large{S_n = 2n^2(n+1)}$$ と求められます。

問題10. 一般項を求める問題

問題(10)
次の数列の第\(\large{1}\)項から第\(\large{\hspace{1pt}n \hspace{1pt}}\)までの和 \(\large{S_n}\) を求めよ
$$\large{1 \hspace{1pt},\hspace{3pt}1+3 \hspace{1pt},\hspace{3pt}1+3+3^2 \hspace{1pt},\hspace{3pt}\cdots}$$

【問題10の解答】
問題の和を求めるために、まずは数列の一般項を求めます。

問題の数列は、第\(\large{\hspace{1pt}n \hspace{1pt}}\)項が 初項 \(\large{1}\), 公比 \(\large{3}\) の等比数列の和であるため、一般項は $$\large{a_n = \frac{3^n-1}{3-1}=\frac{1}{2}(3^n-1)}$$ となります。

したがって、問題の和をシグマの式で表すと、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \hspace{10pt}S_n &=& \large \sum_{k=1}^n \frac{1}{2}(3^k-1) \\[0.7em] &\large &\large =\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n 3^k - \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n 1\\[0.7em] \end{eqnarray} ここで、\(\displaystyle\large{\sum_{k=1}^n 3^k}\) は 初項 \(\large{3}\), 公比 \(\large{3}\) の等比数列の和であるため、 $$\large{\sum_{k=1}^n 3^k = \frac{3 \cdot (3^n-1)}{3-1}=\frac{3}{2}(3^n-1)}$$ となります。

よって、求める和は \begin{eqnarray} \large \hspace{10pt}S_n &=& \large \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n 3^k -\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n 1 \\[0.7em] &\large &\large =\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}(3^n-1) - \frac{1}{2}n\\[0.7em] &\large &\large =\frac{1}{4} \cdot \{3\cdot(3^n-1) - 2n \}\\[0.7em] &\large &\large =\frac{1}{4} \cdot (3^{n+1} -2n -3)\\[0.7em] \end{eqnarray} となります。


Copyright (c) 光学技術の基礎用語 All Rights Reserved.