本項では以下の内容を解説しています。
偏微分は英語でpartial differentiationといいます。
また、偏微分により得られる導関数をpartial derivativeといいます。
偏微分とは、2つ以上の独立変数を持つ関数に対して、特定の変数に対する微分を表します。
例えば、関数\(\large{f(x,y)}\)が独立変数\(\large{x}\)と\(\large{y}\)を持つ場合、『関数\(\large{f}\)の\(\large{x}\)に関する偏導関数』は英語で以下のように表します。
"the partial derivative of f"が『関数fの偏導関数』、"with respect to x"が『xに関する(偏)微分』であることを表します。
また、『関数fのxに関する二階偏微分』のように何階微分の導関数かは、『(序数)-order partial derivative』により表すことができます。
例えば、『関数fのxに関する二階偏微分』は、the second-order partial derivative of f with respect to xと言います。
(階数を表す"order"が省略され、the second partial derivativeといわれることもあります。)
以下に、階数ごとの偏導関数の表記の一覧を示します。
| 意味 | 英語 |
|---|---|
| 一階 偏微分 |
・(first-order) partial derivative of \(\large{f}\) with respect to x |
| 二階 偏微分 |
・second-order partial derivative of \(\large{f}\) with respect to x |
| 三階 偏微分 |
・third-order partial derivative of \(\large{f}\) with respect to x |
| : | : |
| n階 偏微分 |
・nth-order partial derivative of \(\large{f}\) with respect to x |
2階以上の偏微分では、『関数fを変数xで偏微分し、さらに変数y偏微分した導関数』のように異なる変数で偏微分を計算する場合があります。
この場合は、"with respect to x and y"と変数を並べて表現します。
例えば、『関数fのx,yに関する二階の偏導関数』は以下のように表されます。
上記のような異なる変数に対する偏微分を、英語でmixed partial derivativeといいます。
関数fの点(a,b)における偏微分係数は、"at the point (a,b)"などによって点の座標を指定することで表現することができます。
点の座標を表す"point (a,b)"は、そのままpoint a comma bと読みます。もしくは、commaを省略してpoint a bと読む場合もあります。
本章では、偏微分の記号の英語の読み方について解説します。
偏微分の記法には、ライプニッツの記法がよく使用されます。(微分で使用される記法の英語表現については別ページで解説しています。)
例えば、関数\(\large{f(x,y)}\)の\(\large{x}\)に関する偏微分の導関数は、ライプニッツの記法では\(\displaystyle \large{\frac{\partial f}{\partial x}}\)と記述されます。
『\(\large{\partial}\)』は、微分に使用する記号の『\(\large{d}\)』を丸く描いた文字で、del、rounded d、partial dなどの読み方があります。
\(\large{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}\)の記号を英語で読むと、"del f del x (デル エフ デル エックス)"などと読みます。
分数を意味する"over"や"by"を使用して、"del f over del x"、"del f by del x"ということもありますが、省略されることが多いです。
(分数の英語表現は別ページに解説しています。)
以下に、階数ごとの偏導関数の読み方の一覧を示します。
| 数式 | 意味 | 英語の読み方 |
|---|---|---|
| \(\large{ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}\) | 一階 偏微分 |
・del f del x ・del f over del x ・del f by del x |
| \(\large{ \displaystyle \frac{\partial^2 f}{ \partial x^2}}\) | 二階 偏微分 |
・del two f (over) del x two ・del squared f (over) del x squared |
| \(\large{\displaystyle \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}}\) | 三階 偏微分 |
・del three f (over) del x three ・del cubed f (over) del x cubed |
| … | … | … |
| \(\large{\displaystyle \frac{\partial^nf}{\partial x^n}}\) | n階 偏微分 |
・del n f (over) del x n |
上記の『X squared』はXの2乗、『X cubed』はXの3乗を表す用語です。詳しくは、べき乗の英語表現で解説しています。
また、異なる独立変数に対する偏微分は以下の表のように表します。
| 数式 | 意味 | 英語の読み方 |
|---|---|---|
| \(\large{ \displaystyle \frac{\partial^2 f}{ \partial x \partial y}}\) | x,yに関する 二階偏微分 |
・del two f (over) del x del y ・del squared f (over) del x del y |
| \(\large{\displaystyle \frac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y}}\) | x,yに関する 三階偏微分 |
・del three f (over) del x two del y ・del cubed f (over) del x squared del y |
『関数fのxに関する偏微分\(\large{\frac{\partial f}{\partial x}}\)』は、\(\large{f_x}\)と略して表記する場合があります。
この場合は、通常の下付き文字と同様に、"f sub x (エフ サブ エックス)"と読みます。
ここで、"sub"とは、下付き文字を意味するsubscriptを略した表現です。
"sub"が省略されて、"f x (エフ エックス)"と読む場合もあります。
同様な表記方法で、二階の偏微分\(\large{\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}}\)は、\(\large{f_{xx}}\)と略して表記する場合があります。
この場合は、"f sub double x (エフ サブ ダブル エックス)"や"f sub x x (エフ サブ エックス エックス)"などと読みます。
以下に、下付き文字で偏導関数を表したときの読み方の一覧を示します。
| 数式 | 意味 | 英語の読み方 |
|---|---|---|
| \(\large{f_x}\) | xに関する 一階偏微分 |
・f (sub) x |
| \(\large{f_{xx}}\) | xに関する 二階偏微分 |
・f (sub) double x ・f (sub) x x |
| \(\large{f_{xy}}\) | x,yに関する 二階偏微分 |
・f (sub) x y |
本項で解説した偏微分に関連する英語表現の用語の一覧を示します。
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| partial differentiation | ・偏微分 |
| partial derivative | ・偏導関数 |
| with respect to x | ・xに関する(偏微分) |
| first-order partial derivative |
・一階の偏導関数 |
| second-order partial derivative |
・二階の偏導関数 |
| third-order partial derivative |
・三階の偏導関数 |
| mixed partial derivative | ・異なる変数に対する偏微分 |
その他、偏微分に関連する英語表現の用語の一覧を示します。
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| multivariable function | ・多変数関数 |
| partial differential equation | ・偏微分方程式 |
| slope | ・傾き |
| rate of change | ・変化率 |
| tangent line | ・接線 |
| local maximum | ・極大値 |
| local minimum | ・極小値 |
| inflection point | ・変曲点 |