虚数と複素数の英語表現

本項では以下の内容を解説しています。

• ・虚数と複素数の英語表現
• ・虚数と複素数に関連する式の読み方
• ・関連用語

【1】虚数と複素数の英語表現

数学で使用される虚数は、英語でimaginary numberといいます。

また、2つの実数(real number)\(\large{a,b}\)を使用して、\(\large{z=a+bi}\)と記述される\(\large{z}\)を複素数といいます。
複素数は英語でcomplex numberといいます。

複素数\(\large{z =a+bi}\)の\(\large{a}\)を複素数の実部(real part)、\(\large{b}\)を虚部(imaginary part)といいます。

複素数のうち、\(\large{b \neq 0}\)である数が虚数(imaginary number)に含まれます。 例えば、『\(\large{2+3i}\)』や『\(\large{4i}\)』は虚数に含まれる値です。

また、\(\large{a=0,b \neq 0}\)の場合を純虚数といいます。純虚数は英語で、"pure imaginary number"といいます。 例えば、実部\(\large{a}\)がゼロである『\(\large{-2i}\)』や『\(\large{4i}\)』は純虚数と呼ばれます。

【1-1】虚数単位の英語表現

複素数の『\(\large{i}\)』は虚数単位といいます。虚数単位は英語で、imaginary unitといいます。

虚数単位\(\large{i}\)は、2乗して『-1』となる数によって定義されています。

英語で虚数単位を説明すると、『虚数単位\(\large{i}\)は\(\large{\sqrt{-1}}\)により定義されます』を英訳して以下のようになります。
"The imaginary unit \(\large{i}\) is defined as the square root of minus one"

("the square root of X"は、\(\large{\sqrt{X}}\)を表します。ルートなどの表現はべき乗の英語表現で解説しています。)

【1-2】複素数の大きさの英語表現

複素数(\(\large{z=a+bi}\))の大きさは、\(\large{|z|=\sqrt{a^2 + b^2}}\)と計算されます。

『複素数の大きさ』は英語で"Magnitude of complex number"もしくは、"Modulus of complex number"といいます。また、『絶対値(Absolute value)』を使用して"Absolute value of complex number"ということもできます。

複素数の大きさ(\(\large{|z| =\sqrt{a^2 + b^2}}\))の式を英語で表すと、以下のようになります。
The magnitude of complex number z is equal to the square root of a squared plus b squared.

"the square root of A"は『\(\large{A}\)の平方根(\(\large{\sqrt{A}}\))』を表します。A squaredは『Aの2乗』を表します。(平方根や2乗の英語表現はべき乗の記事に記載しています。)

【1-3】共役複素数の英語表現

複素数\(\large{z=a+bi}\)に対して、\(\large{\overline{z}=a-bi}\)を共役複素数といいます。共役複素数は英語で、"conjugate of complex number"といいます。

『複素数\(\large{z}\)とその共役複素数\(\large{\overline{z}}\)の積は、複素数の大きさの2乗(\(\large{{|z|}^2}\))に等しくなります。』を英語で表すと、以下のようになります。
"The product of a complex number and its conjugate is equal to the square of magnitude of the complex number."

"the product of A and B"は、『AとBの積』を意味しています。
また、"the square of A"は『Aの2乗』を意味します。(2乗を表す英語表現はべき乗の記事に記載しています。)

【2】複素平面(complex plane)の英語表現

複素平面(complex plane)とは、複素数の実部\(\large{a}\)と虚部\(\large{b}\)を直交座標系により表したものです。
複素平面では、複素数\(\large{z=a+bi}\)に対し、実部\(\large{a}\)を\(\large{x}\)座標、虚部\(\large{b}\)を\(\large{y}\)座標に対応させます。

このとき、横軸を実軸(Real axis)、縦軸を虚軸(Imaginary axis)といいます。
Real axisを略して"Re"、Imaginary axisを略して"Im"と表記することもあります。

【2-1】複素数の極形式の英語表現

複素平面上の点は、極座標(\(\large{r,\theta}\))により記述されることがあります。極座標で表記する場合を極形式、英語で"polar form"といいます。

複素数の実部と虚部(\(\large{a,b}\))と、極形式の(\(\large{r,\theta}\))は以下の関係にあります。 $$\large{a = r \cos \theta}$$ $$\large{b = r \sin \theta}$$ したがって、複素数\(\large{z=a+bi}\)に対して、以下の関係が成り立ちます。

このとき、\(\large{r}\)は複素平面の原点からの距離であるため、以下のような関係があります。 $$\large{r = |z|=\sqrt{a^2 + b^2}}$$

また、\(\large{\theta}\)を偏角(argument)といい、以下の式により表されます。 $$\large{\theta = \tan^{-1} \left(\frac{b}{a} \right)}$$

・極形式の英語表現

上記の複素数の極形式"\(\large{z=r(\cos \theta + i\sin \theta)}\)"を英語で表現すると、
z is equal to r (times) cosine (of) theta plus i sine (of) thetaと言い表します。

三角関数『\(\large{\sin \theta}\)』は、sine (of) thetaといいます。"of"は省略されることも多いです。
(sin,cosなどの三角関数については三角比と三角関数の英語表現のページに解説しています。)

・偏角の英語表現

また、偏角(\(\large{\theta = \tan^{-1} \left(\frac{b}{a} \right)}\))の式を英語で表すと、以下のようになります。
Theta is equal to the arctangent of b over a.などと言い表します。

("X over Y"は分数\(\Large{\frac{X}{Y}}\)を表す表現です。詳しくは分数の英語表現のページに解説しています。)

【2-2】オイラーの公式の英語表現

オイラーの公式とは、指数関数と三角関数の間に成り立つ以下のような関係式のことです。

オイラーの公式は、英語で"Euler's formula"といいます。

複素数(\(\large{z=a+bi}\))は、オイラーの公式より以下の式によっても表されることが分かります。 \begin{eqnarray} \large z &\large =&\large a + ib\\ &\large =&\large r(\cos \theta + i\sin \theta)\\ &\large =&\large re^{i\theta}\\ \end{eqnarray}

このように、複素数を指数関数で表示する方法を指数関数表示といい、英語で"exponential form"といいます。

・オイラーの公式の英語表現

オイラーの公式(\(\large{e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta}\))を英語で表すと、以下のようになります。
e (raised) to the (power of) i theta is equal to cosine (of) theta plus i sine (of) theta.

("X (raised) to the (power of) a"は\(\large{X^a}\)を表します。詳しくはべき乗の英語表現のページに解説しています。)

【3】複素数に関連する英語用語の一覧

以下の表に複素数に関連する英語用語の一覧を示します。

以下の表に複素平面に関連する英語用語の一覧を示します。

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