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二次方程式の解の公式

【1】二次方程式の解の公式

解の公式とは、二次方程式の解を求める公式です。
二次方程式が \(\large{ax^2 +bx+c=0}\) (\(\large{a \neq 0}\)) と表されるとき、以下の解の公式により計算することができます。

【解の公式】
\(\displaystyle \large{x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}}\)

例えば、以下のような二次方程式の解を求める問題を解くとします。

【例題】
二次方程式 \(\large{x^2 +3x+2=0}\) の解を求めよ。

上記の解の公式に \(\large{a=1,\hspace{2pt}b=3,\hspace{2pt}c=2}\) を代入し、 $$\large{x=\frac{-3 \pm \sqrt{3^2 -4 \times 1 \times 2}}{2 \times 1}=\frac{-3 \pm 1}{2}}$$ すなわち、求める解は $$\large{x=-1,-2}$$ と解を求めることができます。

ここで、二次方程式 \(\large{x^2 +3x+2=0}\) は、\(\large{(x+1)(x+2)=0}\) と因数分解できるため、解の公式を用いなくても解を求めることができます。

しかし、二次方程式は簡単に因数分解できない場合も多く、その場合は解の公式から解を求める必要があります。

・解の公式(bが偶数の場合)

二次関数の\(\large{x}\)の係数\(\large{b}\)が偶数の場合、解の公式の計算を簡単にすることができます。

【解の公式】
\(\large{y=ax^2 + \color{blue}{2b'}\color{black}{}x+c}\)のとき
\(\displaystyle \large{x = \frac{-\color{blue}{b'}\color{black}{} \pm \sqrt{\color{blue}{b'}\color{black}{}^2 -ac}}{a}}\)

公式の証明は、本項に後述しています。(解の公式の証明)

【2】二次方程式の解の公式の問題

本章では、二次方程式の解の公式の問題について解説します。

【2-1】解の公式の問題(1)

【問題.1】
二次方程式 \(\large{2x^2+5x+3 = 0}\) の解を求めよ。

与えられた二次方程式に解の公式を使用します。 解の公式は、 $$\large{x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}}$$ であり、上式に \(\large{a=2,b=5,c=3}\) を代入します。 \begin{eqnarray} \large x &\large=&\large \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 -4\times2\times3}}{2\times2}\\ \large &\large=&\large\frac{-5 \pm 1}{4}\\ \end{eqnarray}

したがって、求める解は $$\large{x=-1, -\frac{3}{2}}$$

【2-2】解の公式の問題(2)

【問題.2】
二次方程式 \(\large{-3x^2+8x-1 = 0}\) の解を求めよ。

与えられた二次方程式に解の公式を使用します。 \(\large{x}\) の係数 \(\large{b}\) が偶数であるため、以下の解の公式を使用します。 $$\large{x=\frac{-b' \pm \sqrt{{b'}^2 -ac}}{a}}$$ 上式に \(\large{a=-3,b'=4,c=-1}\) を代入します。

\begin{eqnarray} \large x &\large=&\large \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 -(-3) \times (-1)}}{-3}\\ \large &\large=&\large\frac{4 \pm \sqrt{13}}{3}\\ \end{eqnarray}

したがって、求める解は $$\large{x=\frac{4+ \sqrt{13}}{3}, \frac{4- \sqrt{13}}{3}}$$

【3】解の公式の証明

解の公式は、二次方程式を \(\large{x}\) について解くことで証明することができます。

まず、二次関数 \(\large{ax^2+bx+c = 0}\) (\(\large{b^2-4ac \geqq 0 }\)とする) を以下の手順で平方完成します。 \begin{eqnarray} \large a \left(x^2+\frac{b}{a}x \right) +c&\large=&\large 0\\ \large a \left \lbrace x^2+\frac{b}{a}x +\left( \frac{b}{2a} \right)^2 -\left( \frac{b}{2a} \right)^2 \right \rbrace +c &\large=&\large 0\\ \large a \left(x+\frac{b}{2a} \right)^2 -\frac{b^2 -4ac}{4a} &\large=&\large 0 \end{eqnarray}

上式から、\(\large{x}\)について解きます。 \begin{eqnarray} \large \left(x+\frac{b}{2a} \right)^2 &\large=&\large \frac{b^2 -4ac}{4a^2}\\ \large x &\large=&\large -\frac{b}{2a}\pm {\frac{\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}}\\ \large x &\large=&\large\frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \end{eqnarray}

以上より、解の公式を導くことができます。

・解の公式(bが偶数の場合)の導出

二次方程式 \(\large{ax^2+bx+c = 0}\) の \(\large{x}\) の係数が偶数 \(\large{(b=2b')}\) であるとき、解の公式は以下の式で表されます。 $$\large{x = \frac{-b' \pm \sqrt{b'^2 -ac}}{a}}$$

この式は、解の公式において \(\large{b=2b'}\) と置くことで求められます。 \begin{eqnarray} \large x &\large=&\large \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\\ \large &\large=&\large\frac{-2b' \pm \sqrt{(2b')^2 -4ac}}{2a}\\ \large &\large=&\large\frac{-2b' \pm 2\sqrt{(b')^2 -ac}}{2a}\\ \large &\large=&\large\frac{-b' \pm \sqrt{{b'}^2 -ac}}{a}\\ \end{eqnarray}

以上より、\(\large{x}\) の係数が偶数の場合の 解の公式を導くことができます。


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