本項では、二次方程式の解と係数の関係の公式や問題について解説します。
二次方程式 \(\large{ax^2 +bx + c=0}\) (\(\large{a \neq 0}\)) の2つの解を \(\large{\alpha,\hspace{1pt}\beta}\) とすると、\(\large{\alpha + \beta}\) と \(\large{\alpha \beta}\) に以下の式が成り立ちます。
上記の公式を 二次方程式の解と係数の関係 といいます。
解と係数の関係から、以下の二次方程式の解の和と積の問題を解くことができます。
解と係数の関係から、 $$\large{\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{2}}$$ $$\large{\alpha \beta = \frac{c}{a} = 3}$$ となります。
二次方程式の解と係数の関係は、解の公式から証明することができます。
解の公式とは、二次方程式の解を求める公式です。
二次方程式が \(\large{ax^2 +bx+c=0}\) (\(\large{a \neq 0}\)) であるとき、解の公式は以下のようになります。
上記の解の公式から、\(\large{\alpha + \beta}\) を計算すると、 \begin{eqnarray} \large \alpha + \beta&\large =&\large \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{b}{a} \\ \end{eqnarray}
また、\(\large{\alpha \beta}\) を計算すると、 \begin{eqnarray} \large \alpha \beta&\large =&\large \frac{-b + \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \times \frac{-b - \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\[0.5em] \large &\large =&\large \large \frac{(-b)^2 - (b^2 -4ac)}{4a^2} \\[0.5em] &\large =&\large \large \frac{ 4ac}{4a^2} \\[0.5em] &\large =&\large \large \frac{c}{a} \\ \end{eqnarray} となるため、解と係数の関係を導出できます。
本章では、以下の二次方程式の解と係数の関係に関する問題と解き方について解説します。
問題1 と 問題2 は、二次方程式の解に関する対称式の値を求める問題です。
(解答と解説 : 問題1 問題2)
問題3 は、二次方程式の2つの解の関係から、二次方程式の係数を決定する問題です。
(解答と解説 : 問題3)
問題4 と 問題5 は、2つの解から二次方程式を作成する問題です。
(解答と解説 : 問題4 問題5)
【問題1(1)の解答】
\(\large{\alpha^2+\beta^2\hspace{1pt},\hspace{4pt}\alpha^3+\beta^3\hspace{1pt},\hspace{4pt}\alpha^4+\beta^4}\) は 対称式(\(\large{\alpha\hspace{1pt},\hspace{2pt}}\)\(\large{\beta}\) を入れ替えても変化しない)といわれる式です。
対称式は、\(\large{\alpha+\beta}\) と \(\large{\alpha\beta}\) から計算することができます。
二次方程式の解と係数の関係から、 $$\large{\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = 4}$$ $$\large{\alpha \beta = \frac{c}{a} = 3}$$ となります。
2次の因数分解の公式 $$\large{(\alpha+\beta)^2 = \alpha^2+2\alpha\beta + \beta^2}$$ から、 \begin{eqnarray} \large \alpha^2+\beta^2&\large =&\large (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta \\[0.5em] \large &\large =&\large \large 4^2 -2 \cdot 3 \\[0.5em] &\large =&\large \large 10 \end{eqnarray} となります。
【問題1(2)の解答】
また、3次の因数分解の公式
$$\large{(\alpha+\beta)^3 = \alpha^3+3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 + \beta^3}$$
から、
\begin{eqnarray}
\large
\alpha^3+\beta^3&\large =&\large (\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta) \\[0.5em]
\large
&\large =&\large \large 4^3 -3 \cdot 3 \cdot 4\\[0.5em]
&\large =&\large \large 28
\end{eqnarray}
となります。
【問題1(3)の解答】
2次の因数分解の公式 \(\large{(\alpha+\beta)^2 = \alpha^2+2\alpha\beta + \beta^2}\) において、
\(\large{\alpha \rightarrow \alpha^2}\)、\(\large{\beta \rightarrow \beta^2}\) と置き換えると
$$\large{(\alpha^2+\beta^2)^2 = \alpha^4+2\alpha^2\beta^2 + \beta^4}$$
から、
\begin{eqnarray}
\large
\alpha^4+\beta^4&\large =&\large (\alpha^2+\beta^2)^2 - 2(\alpha\beta)^2\\[0.5em]
\large
&\large =&\large \large 10^2 -2 \cdot 3^2 \\[0.5em]
&\large =&\large \large 82
\end{eqnarray}
となります。
【問題2(1)の解答】
問題1と同様に、\(\displaystyle\large{(1)\hspace{2pt}\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\hspace{2pt},\hspace{5pt}}\)\(\displaystyle\large{(2)\hspace{2pt}\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}}\) は 対称式であるため \(\large{\alpha+\beta}\) と \(\large{\alpha\beta}\) から計算することができます。
二次方程式の解と係数の関係から、 $$\large{\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = 3}$$ $$\large{\alpha \beta = \frac{c}{a} = 2}$$ となります。
\(\displaystyle\large{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}}\) を変形すると $$\large{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}=\frac{3}{2}}$$ となります。
【問題2(2)の解答】
また、\(\displaystyle\large{\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}}\) を変形すると
\begin{eqnarray}
\large
\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}&\large =&\large \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} \\[0.5em]
\large
&\large =&\large \large\frac{(\alpha + \beta)^2-2\alpha\beta}{\alpha \beta}\\[0.5em]
&\large =&\large \large \frac{3^2-2\cdot2}{2}\\[0.5em]
&\large =&\large \large \frac{5}{2}\\
\end{eqnarray}
となります。
【問題3の解答】
1つの解を \(\large{\alpha}\) としたとき、もう1つの解は \(\large{3\alpha}\) とすることができます。
二次方程式の解と係数の関係から、 $$\large{\alpha + 3\alpha = 4 }$$ $$\large{\alpha \cdot 3\alpha = m}$$ となります。
上式から、\(\large{4\alpha=4}\) すなわち \(\large{\alpha = 1}\) となります。
また、\(\large{3\alpha^2 = m}\) から、 $$\large{m=3\cdot1^2 = 3}$$
したがって、\(\large{m=3}\)、2つの解は \(\large{1,\hspace{2pt}3}\) となります。
【問題4の解答】
2つの解の和を計算すると
$$\large{(2+\sqrt{5}) + (2-\sqrt{5}) = 4}$$
2つの解の積を計算すると
\begin{eqnarray}
\large
(2+\sqrt{5}) \times (2-\sqrt{5}) &\large =&\large 2^2-(\sqrt{5})^2 \\[0.5em]
\large
&\large =&\large \large-1\\[0.5em]
\end{eqnarray}
よって 二次方程式の解と係数の関係 から、 $$\large{ax^2 + bx +c = 0}$$ において、 \begin{eqnarray} \large -\frac{b}{a} &\large =&\large 4\\[0.5em] \large \frac{c}{a} &\large =&\large -1\\[0.5em] \end{eqnarray} であるとき、二次方程式の解が \(\large{2+\sqrt{5}\hspace{1pt},\hspace{3pt}2-\sqrt{5}}\) となります。
したがって、
$$\large{x^2 -4 x -1 = 0}$$
が \(\large{2+\sqrt{5}\hspace{1pt},\hspace{3pt}2-\sqrt{5}}\) を解にもつ二次方程式になります。
(上記は \(\large{a=1}\) とおいて \(\large{b,\hspace{2pt}c}\) を求めた解答です。)
【問題5(1)の解答】
二次方程式の解と係数の関係から、
$$\large{\alpha + \beta= -3 }$$
$$\large{\alpha \beta = -4}$$
となります。
すなわち、 $$\large{2\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta) = -6}$$ $$\large{2\alpha \cdot 2\beta = 4\alpha \beta = -16}$$ したがって、解と係数の関係から $$\large{ax^2 + bx +c = 0}$$ において、 \begin{eqnarray} \large -\frac{b}{a} &\large =&\large -6\\[0.5em] \large \frac{c}{a} &\large =&\large -16\\[0.5em] \end{eqnarray} であるとき、二次方程式の解が \(\large{2\alpha,\hspace{3pt}2\beta}\) となります。
したがって、
$$\large{x^2 +6 x -16 = 0}$$
が \(\large{2\alpha,\hspace{3pt}2\beta}\) を解にもつ二次方程式になります。
(上記は \(\large{a=1}\) とおいて \(\large{b,\hspace{2pt}c}\) を求めた解答です。)
【問題5(2)の解答】
また、
\begin{eqnarray}
\large
\alpha^2 + \beta^2 &\large =&\large (\alpha + \beta)^2 -2\alpha\beta\\[0.5em]
\large
&\large =&\large (-3)^2-2\cdot(-4)\\[0.5em]
&\large =&\large 17\\[0.5em]
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\large
\alpha^2 \beta^2 &\large =&\large (\alpha\beta)^2\\[0.5em]
\large
&\large =&\large (-4)^2\\[0.5em]
&\large =&\large 16\\[0.5em]
\end{eqnarray}
したがって、解と係数の関係から
$$\large{ax^2 + bx +c = 0}$$
において、
\begin{eqnarray}
\large
-\frac{b}{a} &\large =&\large 17\\[0.5em]
\large
\frac{c}{a} &\large =&\large 16\\[0.5em]
\end{eqnarray}
であるとき、二次方程式の解が \(\large{\alpha^2,\hspace{3pt}\beta^2}\) となります。
したがって、
$$\large{x^2 -17 x +16 = 0}$$
が \(\large{\alpha^2,\hspace{3pt}\beta^2}\) を解にもつ二次方程式になります。
(上記は \(\large{a=1}\) とおいて \(\large{b,\hspace{2pt}c}\) を求めた解答です。)