二次関数の最大値・最小値の計算ツール

本ツールは以下の計算結果を出力します。

• ・二次関数の最大値と最小値
• ・定義域と頂点の関係
• ・二次関数のグラフ

黄色い枠内の二次関数の係数 \(\large{a,b,c}\) (\(\large{a \neq 0}\))と、\(\large{x}\)の定義域を入力し『計算実行』を押してください。

(※当サイトの提供する計算結果や情報については一切責任は負いません。)

計算ツールの計算方法の説明

本計算ツールの計算方法について説明します。

二次関数の最大値・最小値の計算

計算ツール内の二次関数の最大値・最小値の求め方について説明します。

閉区間\(\large{a \leq x \leq b}\)で定義された二次関数 \(\large{y=ax^2+bx+c}\) の最大値・最小値を求めるとします。

下図(左)のように、二次関数の頂点\(\large{(p,q)}\)が定義域 \(\large{a \leq x \leq b}\) に含まれない場合、最大値・最小値の候補は、定義域の端\(\large{(x=a,b)}\)のどちらかになります。

また、二次関数の頂点\(\large{(p,q)}\)が定義域 \(\large{a \leq x \leq b}\) に含まれる場合、最大値・最小値の候補は、定義域の端\(\large{(x=a,b)}\)もしくは頂点\(\large{(x=p)}\)の3つになります。

計算ツール内では、二次関数の頂点\(\large{(p,q)}\)が定義域に含まれるか判定し、含まれない場合は定義域の端\(\large{(x=a,b)}\)の\(\large{y}\)座標の大小関係から最大値・最小値を求めます。

また、二次関数の頂点\(\large{(p,q)}\)が定義域に含まれる場合は、定義域の端\(\large{(x=a,b)}\)と頂点\(\large{(x=p)}\)の3点の\(\large{y}\)座標の大小関係から最大値・最小値を計算します。

二次関数の頂点の計算

二次関数の頂点の座標は以下の計算により求めます。

二次関数 \(\large{y=ax^2+bx+c}\) は平方完成により、以下の式に変形されます。 $$\large{y=a \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 -4ac}{4a}}$$

上式から、頂点の座標\(\large{(p,q)}\)は係数 \(\large{a,b,c}\) を使用して以下のように求められます。 $$\large{p = -\frac{b}{2a} }$$ $$\large{q=-\frac{b^2 -4ac}{4a}}$$

本計算ツールでは、上式から頂点の座標\(\large{(p,q)}\)を計算します。

出力値の設定

『出力値の小数点以下の桁数』では、入力された桁より1つ小さい桁で出力値を四捨五入します。
 (例)『出力値の小数点以下の桁数』が2 → 出力が『10.59284...』の場合は、小数点以下3桁で四捨五入して『10.59』となります。

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