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波数とは

本項では以下の内容を解説しています。

  • ・波数の意味と定義
  • ・波数の変換式(波長や周波数、光子エネルギー)

【1】波数とは

波数(wave number)とは、『単位長さあたりの波の数』もしくは、『単位長さあたりの波の数の\(\large{2 \pi}\)倍』により定義される量です。

分光学の分野では、波数の記号を\(\large{\overline{\nu}}\)と記述します。
波数\(\large{\overline{\nu}}\)は波長\(\large{\lambda}\)の逆数により計算されます。単位として[\(\large{cm^{-1}}\)]を使用し、カイザーといいます。 $$\large{\overline{\nu} = \frac{1}{\lambda}[cm^{-1}]}$$

一方、正弦波など振動現象を記述する場合には、波数の記号を\(\large{k}\)と記述します。波数の単位には、\(\large{[rad/m]}\)を使用します。
波数\(\large{k}\)は、前記の\(\large{\overline{\nu}}\)と区別するために、角波数といわれることもあります。

波数\(\large{k}\)は波長\(\large{\lambda}\)の逆数の\(\large{2 \pi}\)倍により計算されます。 $$\large{k = \frac{2 \pi}{\lambda} [rad/m]}$$

【2】波数の変換式

波数\(\large{\overline{\nu}}\)は分光学の分野で光子エネルギーや周波数、波長を表す値として使用されます。

光子エネルギーは、光の振動数\(\large{\nu}\)とプランク定数により、計算されます。
$$\large{E = h \nu\hspace{20pt}(1)}$$ また、光速\(\large{c}\)、周波数\(\large{\nu}\)、波長\(\large{\lambda}\)には以下の関係があります。 $$\large{c = \nu \lambda\hspace{20pt}(2)}$$ したがって、(1)と(2)式から、波数\(\large{\overline{\nu}}\)と光子エネルギー\(\large{E}\)、周波数\(\large{\nu}\)、波長\(\large{\lambda}\)は以下の式により計算されます。

【波数\(\large{\overline{\nu}}\)の関係式】

$$\large{E = h \nu = \frac{c h}{\lambda} = ch \times \overline{\nu}}$$

・波数と波長,周波数の計算例

波数\(\large{\overline{\nu}=2 \times 10^4[cm^{-1}]}\)をもつ、光の波長\(\large{\lambda}[nm]\)と、周波数\(\large{\nu}\)[Hz]を求めます。

波長\(\large{\lambda}\)と波数\(\large{\nu}\)は以下の関係にあります。 $$\large{\lambda = \frac{1}{\overline{\nu}}=\frac{1}{2 \times 10^4}}$$ したがって、波長\(\large{\lambda}\)は以下のように計算されます。(\(\large{1[nm]=1\times 10^{-9}[m]}\)の関係があります。) $$\large{\lambda = 5 \times 10^{-5}[cm]=500[nm]}$$

また、周波数\(\large{\nu}\)と波数\(\large{\overline{\nu}}\)は以下の関係にあります。 $$\large{\nu = c \overline{\nu}}$$ 光速\(\large{c=3.0 \times 10^8[m/s]}\)から、以下のように計算されます。 $$\large{\nu = 3.0 \times 10^8 [m/s] \times 2 \times 10^4[cm^{-1}] }$$ したがって、周波数\(\large{\nu}\)は以下のように求められます。 $$\large{\nu \approx 6.0 \times 10^{14}[Hz]}$$

・波数と光子エネルギーの計算例

波数\(\large{\overline{\nu}=2 \times 10^4[cm^{-1}]}\)をもつ、光の光子エネルギー\(\large{E}[J]\)を求めます。

光子エネルギー\(\large{E}\)は以下のように計算されます。 $$\large{E = ch \times \overline{\nu}}$$ 上式に光速(\(\large{c=3.0 \times 10^8 [m/s] }\))と、プランク定数(\(\large{h=6.6\times10^{-34}[J \cdot s] }\))の値を入れると、光子エネルギー\(\large{E}\)は以下のように求められます。 $$\large{E \approx 4.0 \times 10^{-19}[J]}$$

【3】波数kの変換式

波数\(\large{k}\)は正弦波の式中でよく使用されるため、波の速度\(\large{v}\)や振動数\(\large{\nu}\)、周期\(\large{T}\)を波数\(\large{k}\)と関連付ける式がよく使用されます。

波の周波数\(\large{\nu}\)に\(\large{2 \pi}\)をかけた値を角周波数\(\large{\omega}\)といいます。 $$\large{\omega = 2 \pi \nu}$$

波の速度\(\large{v}\)、周波数\(\large{\nu}\)、波長\(\large{\lambda}\)の関係式(\(\large{v = \nu \lambda}\))を変形すると、波の速度\(\large{v}\)、波数\(\large{k}\)、角周波数\(\large{\omega}\)の関係式が導かれます。 $$\large{v = \nu \lambda = \frac{\omega}{2 \pi} \times \frac{2 \pi}{k}=\frac{\omega}{k}}$$

また、波が1波長分だけ進行する時間を周期\(\large{T}\)といいます。波の速度\(\large{v}\)は、波長\(\large{\lambda}\)を周期\(\large{T}\)で割った値に等しいため、以下の式が成り立ちます。 $$\large{v = \frac{\lambda}{T} =\frac{\omega}{k}}$$

【補足】波数kはなぜ2πが必要なのか

波数\(\large{k}\)は波長\(\large{\lambda}\)の逆数の\(\large{2 \pi}\)倍により定義されます。 $$\large{k = \frac{2 \pi}{\lambda} [rad/m]}$$

波数\(\large{k}\)の\(\large{2 \pi}\)はなぜ必要なのでしょうか。

数学のサイン関数では、変数\(\large{\theta}\)をradian単位の位相として記述します。 $$\large{f(\theta)= A \sin \theta \hspace{20pt}(1)}$$

一方、波の振動を表現する正弦波の場合、変数を位置\(\large{x}\)[m]にとることが一般的です。
そのため、波の振動をサイン関数で表すときは、位置\(\large{x}\)[m]を位相\(\large{\theta}\)[rad]に変換する必要があります。

正弦波では、以下のように波数\(\large{k}\)により、位置\(\large{x}\)[m]を位相\(\large{\theta}\)[rad]に変換しています。 $$\large{f(x)= A \sin (k x) \hspace{20pt}(2)}$$

ここで、(1)式のサイン関数は、位相\(\large{\theta}\)に対して\(\large{2 \pi}\)の周期性を持っている関数です。一方、(2)式の正弦波は、位置\(\large{x}\)に対して波長\(\large{\lambda}\)の周期性を持っています。

波数は位置\(\large{x}\)を位相\(\large{\theta}\)に変換する係数なので、1周期あたりの位相(\(\large{2 \pi}\))を、1周期あたりの位置(\(\large{\large{\lambda}}\))で割った値が波数\(\large{k}\)となります。 $$\large{k = \frac{2 \pi}{\lambda}}$$

また、\(\large{2 \pi}\)を使用せずに正弦波の式を書くことも可能ですが、その場合は式中に\(\large{2 \pi}\)が必要になるため、式が煩雑になります。 例えば、波長\(\large{\lambda}\)で正弦波の式を書くと、以下のようになります。 $$\large{f(x)= A \sin \left(\frac{2 \pi}{\lambda}x \right)}$$ このように、波数に\(\large{2 \pi}\)を使用することは、式の煩雑さを防ぐ意味もあります。


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