本項では、偏光の状態を計算するジョーンズ・ベクトルとジョーンズ行列について解説します。
偏光を数学的に計算する方法として、ストークス・パラメーターを使用する方法やジョーンズ・ベクトルが知られています。
ジョーンズ・ベクトルの特徴は、異なる偏光の光を重ね合わせたときの偏光や、偏光子を通過したときの偏光を、簡単な計算で記述できるという点にあります。
一方、ジョーンズ・ベクトルは偏光した光にしか適用できないという特徴もあります。
まず最初に、ジョーンズ・ベクトルによってどのように光の偏光状態を記述するかを説明します。
z方向に進行する光の偏光は、x方向とy方向の2つの次元により記述されます。 x方向の電場\(\large{\boldsymbol{E_x}}\)と、y方向の電場\(\large{\boldsymbol{E_y}}\)は以下のように書き表せます。
\begin{eqnarray} \large \boldsymbol{E_x}&=& \large \mathbf{\hat{i}}E_{x0} \cos(kz-\omega t)\\ \large \boldsymbol{E_y}&=& \large \mathbf{\hat{j}}E_{y0} \cos(kz-\omega t+\delta)\\ \end{eqnarray}ここで、\(\large{\mathbf{\hat{i}}}\)と\(\large{\mathbf{\hat{j}}}\)はx軸、y軸方向の単位ベクトル、\(\large{E_{x0}}\)と\(\large{E_{y0}}\)はx、y方向の電場の振幅を表します。 また、\(\large{\delta}\)はx軸方向とy軸方向の振動の位相差を表しています。
ジョーンズ・ベクトルは、上記の偏光の状態を以下のような複素数で表します。 \begin{eqnarray} \large \left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} E_{x0} \hspace{10pt}\\ E_{y0} \ e^{i \delta} \end{array} \right) \end{eqnarray}
上記のように、ジョーンズ・ベクトルでは偏光の共通項である\(\large{\cos(kz-\omega t)}\)の項を省略し、位相差\(\large{\delta}\)のみを複素数で表記します。
また、偏光の計算は光強度の絶対値よりも、x軸とy軸の各成分の相対的な大きさが重要であるため、ジョーンズ・ベクトルは規格化することで簡略に表現することができます。
上記のジョーンズ・ベクトルの大きさが1になるように規格化すると、以下のようになります。
\begin{eqnarray}
\large
\left(
\begin{array}{c}
E_x \\
E_y
\end{array}
\right)= \frac{1}{\sqrt{{E_{x0}}^2+{E_{y0}}^2}}
\left(
\begin{array}{c}
E_{x0} \hspace{10pt}\\
E_{y0} \ e^{i \delta}
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}
直線偏光は電場のx軸方向とy軸方向の位相差が0、すなわち\(\large{\delta = 0}\)となります。
したがって、ジョーンズ・ベクトルによって直線偏光は以下のように書き表せます。
ここで、具体例として、x成分とy成分が同じ振幅(\(\large{E_{x0} = E_{y0}}\))かつ位相差\(\large{\delta = 0}\)であるような偏光について考えます。 このような条件を満たす偏光は、x軸に対して45度の傾きを持つ直線偏光となります。
この直線偏光をジョーンズ・ベクトルで表すと以下のようになります。
\begin{eqnarray} \large \left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} E_{x0} \\ E_{x0} \end{array} \right) \end{eqnarray}ここで、ベクトルの大きさが1になるように\(\large{\sqrt{{E_{x0}}^2+{E_{x0}}^2}=\sqrt{2}E_{x0}}\)で割り規格化すると、以下の式のようになります。 \begin{eqnarray} \large \left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array} \right) \end{eqnarray}
同様の計算により、x軸方向のみに振動する直線偏光は以下のように表せます。 \begin{eqnarray} \large \left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array} \right) \end{eqnarray}
また、y軸方向のみに振動する直線偏光は以下のように表せます。 \begin{eqnarray} \large \left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array} \right) \end{eqnarray}
円偏光は、x軸成分とy軸成分の振幅が等しい(\(\large{E_{x0} = E_{y0}}\))かつ、x軸方向に対してy軸方向の振動の位相が\(\large{\delta = \frac{\pi}{2}}\)だけ異なる場合に相当します。
右回り円偏光は、x軸成分がy軸成分に対して、\(\large{\delta = \frac{\pi}{2}}\)だけ位相が遅れています。
したがって、右回り円偏光のジョーンズ・ベクトルは以下のようになります。
規格化することにより、右回り円偏光のジョーンズ・ベクトルは以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} 1\\ -i \end{array} \right) \end{eqnarray}
左回り円偏光は、y軸成分がx軸成分に対して、\(\large{\delta = \frac{\pi}{2}}\)だけ位相が遅れています。
したがって、左回り円偏光のジョーンズ・ベクトルは以下のようになります。
規格化することにより、左回り円偏光のジョーンズ・ベクトルは以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} 1\\ i \end{array} \right) \end{eqnarray}
以下の表に、ジョーンズ・ベクトルによる規格化された直線偏光と円偏光の記述方法をまとめます。
| ジョーンズ・ベクトルの表記 | |
|---|---|
| 直線偏光(x軸) | $$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right)$$ |
| 直線偏光(y軸) | $$\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)$$ |
| 直線偏光 (x軸から+45度) |
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right)$$ |
| 直線偏光 (x軸から-45度) |
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right)$$ |
| 右回り円偏光 | $$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -i \end{array}\right)$$ |
| 左回り円偏光 | $$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c} 1 \\ i \end{array}\right)$$ |
ジョーンズ・ベクトルを利用することで、偏光した光が重ね合わされたとき、どのような偏光となるかが簡単に計算できます。
例えば、光強度の等しい(電場の振幅の大きさの等しい)x軸方向の直線偏光とy軸方向の直線偏光が重ね合わさったときの偏光\(\large \left(\begin{array}{c} E'_x \\ E'_y \end{array}\right)\)は、表1のジョーンズ・ベクトルの和を計算することで求められます。 $$\large \left(\begin{array}{c} E'_x \\ E'_y \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) $$ したがって、光強度の等しい(電場の振幅の大きさの等しい)x軸方向の直線偏光とy軸方向の直線偏光が重ね合わさると、x軸から45度傾いた直線偏光になることが分かります。
また、光強度の等しい(電場の振幅の大きさの等しい)右回り円偏光\(\large \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{c} 1 \\ -i \end{array}\right)\)と左回り円偏光\(\large \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{c} 1 \\ i \end{array}\right)\)が重ね合わう場合は、以下のように計算されます。 $$\large \left(\begin{array}{c} E'_x \\ E'_y \end{array}\right)= \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{c} 1 \\ -i \end{array}\right)+ \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{c} 1 \\ i \end{array}\right)= \frac{2}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right) $$ したがって、光強度の等しい(電場の振幅の大きさの等しい)右回り円偏光と左回り円偏光が重なると、x軸方向の直線偏光となることが計算されます。
偏光子による偏光の状態の変化は、ジョーンズ行列によって計算することができます。 ジョーンズ行列を使用した偏光の計算方法をジョーンズ計算法(Jones calculas)といい、簡単な行列計算により偏光子を通過した光の偏光を計算することができます。
ジョーンズ行列は、以下のように\(\large{2×2}\)の行列により表現されます。 \begin{pmatrix} \large a & b \\ c & d \end{pmatrix} 偏光子に入射する光のジョーンズ・ベクトルが\(\large \left(\begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array}\right)\)であるとき、偏光子を透過した光の偏光状態 \(\large \left(\begin{array}{c} E'_x \\ E'_y \end{array}\right)\)は以下のように表現されます。 $$\large \left(\begin{array}{c} E'_x \\ E'_y \end{array}\right)= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \left(\begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array}\right)$$
上記の行列計算を実行するだけで、入射した光の偏光が偏光子を通過した後、どのような偏光となるかが計算されます。
さらに、2つの偏光子が並んでいるときは、1つ目の偏光子のジョーンズ行列\(\large{\begin{pmatrix} \large a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix}}\)と2つの目の偏光子のジョーンズ行列\(\large{\begin{pmatrix} \large a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix}}\)を使用することで、複数の偏光子による偏光の変化を計算できます。 $$\large \left(\begin{array}{c} E'_x \\ E'_y \end{array}\right)= \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{pmatrix} \left(\begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array}\right)$$
以下の表2にジョーンズ行列による各偏光子の記述方法の一覧を示します。
| ジョーンズ・行列の表記 | |
|---|---|
| 偏光板(x軸) | $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ |
| 偏光板(y軸) | $$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ |
| 偏光板 (x軸から45度) |
$$\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ |
| 偏光板 (x軸から-45度) |
$$\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ |
| \(\large{\frac{\lambda}{4}}\)波長板
(速軸が垂直) |
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}$$ |
| \(\large{\frac{\lambda}{4}}\)波長板
(速軸が水平) |
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}$$ |
| \(\large{\frac{\lambda}{2}}\)波長板 | $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ |
本章では、ジョーンズ・ベクトルとジョーンズ行列を使用した計算例について解説します。
\(\large{\frac{\lambda}{2}}\)波長板とは、入射した光のx成分、y成分に\(\large{\pi}\)の位相差を与える偏光子です。
例えば、x軸方向から45度傾いた直線偏光を\(\large{\frac{\lambda}{2}}\)波長板に入射したときのジョーンズ行列の計算について考えます。
x軸方向から45度傾いた直線偏光のジョーンズベクトルは以下のように表します。\begin{eqnarray}
\large
\left(
\begin{array}{c}
E_x \\
E_y
\end{array}
\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}
\left(
\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}
また、\(\large{\frac{\lambda}{2}}\)波長板のジョーンズ行列は、以下のように表します。
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}$$
したがって、\(\large{\frac{\lambda}{2}}\)波長板から透過する光の偏光は以下のように計算されます。
$$\large \left(\begin{array}{c}
E'_x \\
E'_y
\end{array}\right)=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\left(\begin{array}{c}
1\\
1
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}
1\\
-1
\end{array}\right)$$
以上の計算により、\(\large{\frac{\lambda}{2}}\)波長板から透過する光の偏光は、x軸から-45度の方向の直線偏光であることが分かります。
\(\large{\frac{\lambda}{4}}\)波長板とは、入射した光のx成分、y成分に\(\large{\frac{\pi}{2}}\)の位相差を与える偏光子です。
x軸方向から45度傾いた直線偏光を\(\large{\frac{\lambda}{4}}\)波長板に入射したときのジョーンズ行列の計算について考えます。
表2から、速軸を垂直に置いた\(\large{\frac{\lambda}{4}}\)波長板のジョーンズ行列は、以下のように表現されます。 $$\large \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix}$$ したがって、x軸方向から45度傾いた直線偏光を、速軸を垂直に置いた\(\large{\frac{\lambda}{4}}\)波長板に入射したときの、光の偏光は以下のように計算されます。 $$\large \left(\begin{array}{c} E'_x \\ E'_y \end{array}\right)= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} \left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 1\\ -i \end{array}\right)$$ したがって、\(\large{\frac{\lambda}{4}}\)波長板から透過する光の偏光は、右回り円偏光であることが分かります。
(1)Grant R.Fowles『INTRODUCTION TO MODERN OPTICS』 DOVER PUBLICATIONS,INC (1989),pp33～38