レンズの公式とは
本項では、レンズの公式の意味や導出,使い方について解説します。
【1】レンズの公式とは
レンズの公式とは、凸レンズや凹レンズにより結像したときの物体と像の位置関係を与える式です。
図1に凸レンズの焦点\(\large{F}\)の外側に物体があるときの結像の様子を図示します。
このとき、凸レンズの前後の物体と像に対して、以下のレンズの公式が成り立ちます。
\(\Large{ \displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}}\)
\(\large{a}\) : レンズから物体までの距離
\(\large{b}\) : レンズから像までの距離
\(\large{f}\) : レンズの焦点距離
また、このとき像の倍率は以下の式により表されます。
\(\Large{ \displaystyle M = \left|\frac{b}{a}\right|}\)
\(\large{a}\) : レンズから物体までの距離
\(\large{b}\) : レンズから像までの距離
【1-1】レンズの公式の符号
レンズの公式は、凸レンズか凹レンズか、実像か虚像かで符号を変えて使用します。
凸レンズは焦点距離\(\large{f}\)を正、凹レンズは焦点距離\(\large{f}\)を負として扱います。
また、実像ができるときは像位置\(\large{b}\)を正、虚像ができるときは像位置\(\large{b}\)を負とします。
凹レンズでは、常に虚像となるため、像位置\(\large{b}\)は常に負となります。
| 焦点距離\(\large{f}\) | 物体位置\(\large{a}\) | 像位置\(\large{b}\) | ||
|---|---|---|---|---|
| 凸レンズ | 正 | 正 | 正(実像) | 負(虚像) |
| 凹レンズ | 負 | 正 | 負 | |
レンズの公式の符号の覚え方のコツは、図1の凸レンズにより実像が作られているとき、焦点距離\(\large{f}\)、物体距離\(\large{a}\)、像距離\(\large{b}\)のすべて正であると覚えることです。
凹レンズを使用した場合は焦点距離\(\large{f}\)を負、虚像ができるときは像距離\(\large{b}\)を負に変えると覚えると分かりやすいです。
【2】レンズの公式の導出
【2-1】正レンズで実像が作られる場合のレンズの公式の導出
正レンズで実像が作られる場合のレンズの公式の導出について解説します。
図2より、△ABQと△A'B'Qは相似の関係にあるため、以下の関係が成り立ちます。
$$\large{\frac{AB}{A'B'}=\frac{QB}{QB'}=\frac{a}{b}\hspace{20pt}(1)}$$
また、図3より、△PQF'と△A'B'F'は相似の関係にあるため、以下の関係が成り立ちます。 $$\large{\frac{PQ}{A'B'}=\frac{QF'}{F'B'}=\frac{f}{b-f}\hspace{20pt}(2)}$$
ここで、PQ=ABであることから、(1)式と(2)式は等しいとすることができます。したがって、以下の関係が導かれます。 $$\large{\frac{a}{b} = \frac{f}{b-f}}$$
上式を変形すると、レンズの公式を導出することができます。 $$\large{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}}$$
【2-2】正レンズで虚像が作られる場合のレンズの公式の導出
正レンズで虚像が作られる場合のレンズの公式の導出について解説します。
図4より、△ABQと△A'B'Qは相似の関係にあるため、以下の関係が成り立ちます。
$$\large{\frac{AB}{A'B'}=\frac{QB}{QB'}=\frac{a}{b}\hspace{20pt}(3)}$$
また、図5より、△PQF'と△A'B'F'は相似の関係にあるため、以下の関係が成り立ちます。 $$\large{\frac{PQ}{A'B'}=\frac{QF'}{B'F'}=\frac{f}{b+f}\hspace{20pt}(4)}$$
ここで、PQ=ABであることから、(3)式と(4)式は等しいとすることができます。したがって、以下の関係が導かれます。 $$\large{\frac{a}{b} = \frac{f}{b+f}}$$
上式を変形すると、レンズの公式を導出することができます。 $$\large{\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{f}}$$
正レンズで実像が作られるときと、虚像が作られるときではレンズの公式の像位置\(\large{b}\)の符号が異なっています。
そこで、実像のときは\(\large{b}\)が正の値、虚像のときは\(\large{b}\)は負の値とすることで、以下の式で統一することができます。
$$\large{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}}$$
【2-3】負レンズで虚像が作られる場合のレンズの公式の導出
負レンズで虚像が作られる場合のレンズの公式の導出について解説します。
図6より、△ABQと△A'B'Qは相似の関係にあるため、以下の関係が成り立ちます。
$$\large{\frac{AB}{A'B'}=\frac{QB}{QB'}=\frac{a}{b}\hspace{20pt}(5)}$$
また、図7より、△PQFと△A'B'Fは相似の関係にあるため、以下の関係が成り立ちます。 $$\large{\frac{PQ}{A'B'}=\frac{QF}{B'F}=\frac{f}{f-b}\hspace{20pt}(6)}$$
ここで、PQ=ABであることから、(5)式と(6)式は等しいとすることができます。したがって、以下の関係が導かれます。 $$\large{\frac{a}{b} = \frac{f}{f-b}}$$
上式を変形すると、レンズの公式を導出することができます。 $$\large{\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = -\frac{1}{f}}$$
正レンズと負レンズではレンズの公式の焦点距離の符号が異なっています。 そこで、凸レンズのときは焦点距離\(\large{f}\)は正の値、凹レンズのときは焦点距離\(\large{f}\)は負の値とすることで、以下の式に統一することができます。 $$\large{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}}$$
【3】レンズの公式の計算問題
本章では、レンズの公式に関連した計算問題について解説します。
【3-1】凸レンズの計算問題
【問題】
焦点距離f=10[cm]の凸レンズの前方15cmの場所に高さ5cmの物体を置いた。このときレンズによって作られる像のレンズからの距離と大きさを求めよ。
【回答と解説】
レンズの公式の物体距離\(\large{a}\)に\(\large{a=15[cm]}\)、焦点距離\(\large{f}\)に\(\large{f=10[cm]}\)を代入して、像距離\(\large{b}\)を計算します。
$$\large{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}}$$
上記のレンズの公式に\(\large{a=15}\)、\(\large{f=10}\)を代入すると、
$$\large{\frac{1}{15} + \frac{1}{b} = \frac{1}{10}}$$
$$\large{\frac{1}{b} = \frac{1}{30}}$$
$$\large{b = 30 }$$
したがって、像距離\(\large{b=30[cm]}\)の位置に実像が作られます。
また、倍率\(\large{M}\)は以下のように計算できます。 $$\large{\displaystyle M = \left|\frac{b}{a}\right| = \left|\frac{30}{15}\right| = 2}$$ 倍率が2となるので、作られる実像は物体に比べて2倍の大きさであることが分かります。したがって、像の大きさは10cmとなります。
以下に計算結果の数値を入れた図を示します。
【3-2】像距離が焦点距離の2倍となる条件
【問題】
凸レンズの前に物体を置いたとき、実像の像距離\(\large{b}\)が凸レンズの焦点距離\(\large{f}\)の2倍となる条件を求めよ。
また、そのときの倍率\(\large{M}\)を求めよ。
【回答と解説】
レンズの公式の像距離\(\large{b}\)に\(\large{b=2f}\)を代入して、物体距離\(\large{a}\)を計算します。
$$\large{\frac{1}{a} + \frac{1}{2f} = \frac{1}{f}}$$
$$\large{\frac{1}{a} = \frac{1}{2f}}$$
$$\large{a = 2f }$$
したがって、物体距離が\(\large{a=2f}\)を満たすとき、実像の像距離\(\large{b}\)が凸レンズの焦点距離\(\large{f}\)の2倍となります。
また、倍率\(\large{M}\)は以下のように計算できます。 $$\large{\displaystyle M = \left|\frac{b}{a}\right| = \left|\frac{2f}{2f}\right| = 1}$$ 倍率が1となるので、作られる実像は物体と同じ大きさの像であることが分かります。